零状态 全响应 三要素

RC零状态响应电路 uC (0+)= uC (0-)=0
RL零状态响应电路 iL(0+)= iL(0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC

US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
= L/R
iL

US R
Rt
(1 - e L )
t0
2
iL
Req:
• i 2
2
iL
•
用快速公式
•
•
iC uC ( 0 ) uC ( 0 ) 2V
+
u- C
（2）求稳态值 uC ()
关键：画t=∞时的等效电路，电容
∞时的等效电路：
代之以开路
3
•
_
iC
uC( ) 2V
3V +
6
+
u- C
（3）求等效电阻Req
关键：Req为从电容两端看进去的等效电阻
3
•
Req 3//6 2
i() 2A
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL

L di dt

24e V 10t
t0
§3-4 一阶电路的三要素法
t
t
1
6
Req ReqC 1s
• （4）求uC、ic 关键：快速公式
思考：ic的求法？
例3-5-2 t = 0 时由1合2，由三要素法求换路后的i、iL。
S
0-:
• i 2
+
iL
+
2A
2 8V_ 4
0.1H
•
•
8V_ 4
iL 0.1H
0+:
•
i 2
2A
2
•
∞： •
i 2
2A
非齐次方程的特解
uC ：特解（强制分量） uC = US
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为
电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
u全C解：通uuCC解（uA自C e由 R分utCC量，U暂变S 态化分规A量e律）由RtC电路参数和结构决定
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A A= - US
K(t=0) R
i
+uR–
C
+
uC
–
uC (0-)=U0
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t0
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
uc
US
U0
uc
0
u" C
U0 -US
u' C t
稳态解 全解 暂态解
稳态解(稳态响应分量):是t=∞时电路进入稳态时的uc值,其 变化规律是由输入激励决定的.
暂态解(暂态响应分量):按指数规律逐渐衰减,最终趋近于 零,其变化规律与输入激励无关,决定于电路结构和参数.
i

C
duc dt

1 R (U S
t
U0 )e
t
uR Ri (U S U0 )e
t0 稳态分量为零
t0
2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应
K(t=0) R
i
= US
+uR–
C
+
uC
–
uC (0-)=U0
K(t=0) R
i
US
+ +uR– C
+
uC
–
uC (0-)=0
U0 )e
t
uR Ri (U S U0 )e
t0
uL

L diL dt
(U S
t
RI0 )e
t0
t
t0 uR ( RI0 U S )e U S t0
例 3-4-1 开关S打开前已稳定.在t=0时,将开关S断开,求开关S断开
后电路中的电流i及电感电压uL.
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
根据需要任选其中的一种
RC电路 τ=RC
t
uC U S (U 0 U S )e
t0
RL电路τ=L/R
iL

US R
(I0
US R
t
)e
t0
i
C
duc dt

1 R (U S
t
快速公式
三要素 : f () 稳态值 f (0 ) 初始值 时间常数
适用范围：激励源为直流
应用三要素法分析一阶动态电路的步骤：
（1）求初始值 f (0 ) ：按§3-1中介绍的方法求解。
（2）求稳态值 f ()：画出换路后t=∞时的直流稳态等效电
路，在此电路中电容代之以开路，电感代之以短路，其它元 件不变。用分析电阻电路的方法，求出所要求的变量的稳态
速公式” 。
f (0 ) 、 f ()
和

代入“快
例3-5-1
2S
3 •
已知： t=0时，开关1 2，
_
3V +
1+ 3_V 6
iC
1F 2
+
u- C
用三要素法求换路后的uC和ic
解（1）求初始值 uC (0 )
•
•
0-等3效电路：
关键：画0-时刻的等效电路；换路定则
•
+ 3_V 6
t
f (t) f ()(1 e )
2. 上升的快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
因此，只要求出u(∞)或i(∞)和τ，根据公式直接写出uc、iL的零
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
全响应： ？ =零输入响应&0 )e f ( )(1 e )

f ( ) f ( 0
)
t
f()e
§3-4 一阶电路的全响应(complete response)
全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
值 f ()。
（3） 求时间常数 ：同一电路只有一个时间常数。画出
换路后除源（即将电压源短路，电流源开路）的等效电路，
求出从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻Req。对含有 电容的一阶动态电路，其时间常数为τ= Req C，对含有电 感的一阶动态电路，其时间常数为τ=L/ Req 。
（4）求响应 f (t ) ：将
定则得到电压、电流的初始值； （2）由换路后的电路求与动态元件相连的总电阻，即总的等
效电阻，从而求出电路的时间常数； （3）由RC零输入响应公式和RL零输入响应公式求出各电
压、电流值； （4）需画电压电流波形时，注意确定初始值和时间常数，以
及时间常数的大小和波形衰减的快慢。
§3-3 一阶电路的零状态响应(zero state response)
i
• +
解法一 全响应 i =暂态响应ih + 稳态响应ip
U_ S R1
R2
+ u_L L
•
S
t
ih Ae t 0

ip

US R1 R2

12 24

2A
t
i Ae 2
由初始值求Ａ： i(0 ) 6 i(0 ) A 2
Ａ＝４
L 0.1s
uR RI 0e L
t0
t 0 t 0
t
f (t ) f (0 )e
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响
应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
f (t ) f (0 )e
t>0
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
Rt
uL USe L t 0
Rt
uR US (1 e L )
t0
t
f (t) f ()(1 e )
零输入响应：
t
f (t ) f (0 )e
只需求解出初始值和时间常数即可。
零状态响应：
t
f (t) f ()(1 e )
只需求解出稳态值和时间常数即可。
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL

L
di dt

24e V 10t
t0
解法二 全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
+ 9V U– S
2F C•
+ u– C
3Ω
ic
Req
3Ω R
+ Uoc –
2F C•
+ uC –
解: (1)把RC支路以外的部分等效为戴维宁等效电路（求 Uoc、Req）；
(2)求时间常数t；注意：t=R总C （3）按零状态响应公式直接求出uc和ic。
注意：此时 Us=Uoc
二. RL电路的零状态响应
k(t=0)
R iL
US
+ uR –
L
+
uL
–
已知 iL(0-)=0 求: 电感电流iL(t)
解
iL

US R
Rt
(1 e L
)
t0
uL

L di dt

Rt
USe L
t0
U S iL
R
0
uL US
t0
t
小结： 1. 一阶电路的零状态响应是在零初始状态下，由外加激
励引起的响应 。都是由零按指数规律上升到稳态值。
RC uC uC (0 ) uC () e uC () (U0 US )e US t 0
RL
iL
t
iL(0 ) iL() e

iL ()

(I0

US R
t
)e
US R
t0
t
f (t ) [ f (0 ) f ()]e f ()
RC零输入响应电路 uC (0+)= uC (0-)≠0
RL零输入响应电路 iL(0+)= iL(0-) ≠0
=RC
t
uC U 0e RC
t
iC I0e RC
t
uR U0e RC
t0
t 0
t0
= L/R
Rt
iL I0e L
Rt
uL RI 0e L
Rt
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 因此，只要求出初始值f(0+)和时间常数τ，即可根据公式直接写 出uc、iL的零输入状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他
各个电压、电流。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
求解零输入响应问题的步骤： （1）通过换路前的稳态电路求电容电压、电感电流，由换路
t
t
uc US USe RC US (1 e RC ) (t 0)
强制分量(稳态)
US uc
自由分量(暂态)
u' C
US i
R
-US
u" C
t
0
t
i

C
duC

US
t
e RC
t0
dt R
例 3-3-1 t=0时,开关闭合,求t>0时的电压uc和电流ic.
S
•
6Ω R1
ic 3Ω R R2
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用
下产生的响应(excited response) 一. RC电路的零状态响应
K(t=0) R
i
US
+ uR –
C
+
uC
–
uC (0-)=0
列方程：
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
解答形式为： uc uc' uc"
齐次方程的通解
一阶电路的全响应及其两种分解方式
1. 全解 =暂态响应分量+稳态响应分量
K(t=0) R
US
+ uR –
i
C
+
uC
–
RC duC dt
uC
US
非齐次方程
t
uC U S Ae
uC (0-)= uC (0+)= U0
由起始值定A A=U0 - US t uC U S (U0 U S )e