路桥区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

路桥区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题中错误的是（ ）
A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
2． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．22⎡
-
⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．,12⎤⎥⎣⎦
D ．1,2⎡-⎢⎣⎦ 3． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ）
A ．243
B ．363
C ．729
D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
4．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
5．椭圆=1的离心率为（）
A．B．C．D．
6．已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B
（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）
A ．[0，2]
B ．[0，3]
C ．[0
，） D ．[0
，）
7． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 8． 若点O 和点F （﹣2，0
）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任
意一点，则的取值范围为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直
10．半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A
．
πR 3
B
．
πR 3
C
．
πR 3
D
．
πR 3
11．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
二、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
14．如图所示，圆C 中，弦AB
的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
15．对于集合M
，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为．
16．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．
17．在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），，则实数k=．
18．已知
,0
()
1,0
x
e x
f x
x
ì³
ï
=í
<
ïî
，则不等式2
(2)()
f x f x
->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．三、解答题
19．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
21．已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．
（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；
（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．
22．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．
23．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴
方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．
24．已知函数f（x0=．
（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．
路桥区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．
∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．
对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为
，
∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积
S==≤=．
故截面的最大面积为．故B错误．
对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．
对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
3．【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
4． 【答案】B
【解析】解：线段AB 的中点为，k AB ==﹣，
∴垂直平分线的斜率 k=
=2，
∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y ﹣=2（x ﹣2）⇒4x ﹣2y ﹣5=0，
故选B ．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
5． 【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e==，
故选D ．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a 2=b 2+c 2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
6． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x 的导数为f ′（x ）=x 2
+2mx+2m+3，
由题意可得，判别式△＞0，即有4m 2
﹣4（2m+3）＞0，
解得m ＞3或m ＜﹣1， 又x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m+3，
直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22
），
即有斜率k==x 1+x 2=﹣2m ，
则有直线AB ：y ﹣x 12
=﹣2m （x ﹣x 1）， 即为2mx+y ﹣2mx 1﹣x 12
=0，
圆（x+1）2+y 2
=的圆心为（﹣1，0），半径r 为
．
则g （m ）=d ﹣r=
﹣，
由于f ′（x 1）=x 12
+2mx 1+2m+3=0，
则g （m ）=﹣，
又m ＞3或m ＜﹣1，即有m 2
＞1．
则g （m ）＜
﹣
=，
则有0≤g （m ）＜．
故选C ．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

8． 【答案】B
【解析】解：因为F （﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a 2+1=4，即a 2
=3，所以双曲线方程为
，
设点P （x 0，y 0），
则有，解得
，
因为，
，
所以
=x 0（x 0+2）+
=
，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为
，
所以当时，取得最小值=，
故的取值范围是，
故选B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
9．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
10．【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=
故选A
11．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性
【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；
对C：在（-和（上单调递增，
但在定义域上不单调，故C错；
故答案为：B
12．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件．
∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，
∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种
∵（a，b）的取值共36种情况
∴所求概率为=．
故答案为：．
14．【答案】8
15．【答案】{1，6，10，12}．
【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，
必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}
={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，
所以A△B={1，6，10，12}．
故答案为{1，6，10，12}．
【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．16．【答案】3．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
17．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），，
∴=﹣
=（k ﹣1，﹣2+3）=（k ﹣1，1），
∴
•
=1×（k ﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
18．【答案】(
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由高BH 所在直线方程为4x+2y ﹣9=0，∴ =﹣2．
∵直线AC ⊥BH ，∴k AC k BH =﹣1．
∴
，
直线AC 的方程为，
联立
∴点C 的坐标C （1，1）．
（2）
，
∴直线BC 的方程为，
联立
，即
．
点B 到直线AC ：x ﹣2y+1=0的距离为．
又
，
∴．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为
．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．
当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（﹣∞，1]．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵，将其代入C1得：，
∴圆C1的直角坐标方程为：．
由直线l1：（t为参数），消去参数可得：y=x，可得（ρ∈R）．
∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．
（2），可得⇒，
∴．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1﹣．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为=，
右手所取的两球颜色相同的概率为=．
P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；
P（X=1）==；
P（X=2）==．
∴X的分布列为：
0 1 2
EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．
23．【答案】
【解析】
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程；
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0，
即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1；
曲线C2的参数方程为（t为参数），
可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．
则由点到直线的距离公式可得d==4，
则切线长为=．
故这条切线长的最小值为．
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为
（﹣∞，0），（1，+∞），
丹迪减区间是（0，1）
（2）由已知可得
或，
解得x≤﹣1或≤x≤，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪
[，]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．。