人教A版高中数学选修1-2课件2.2.1综合法和分析法.pptx
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2.综合法和分析法的定义、框图特点
综合法
分析法
一般地,利用已知条件和某些数学 定义、定理、公理等,经过一系列 的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立,这种证明方法叫做综 合法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻 求使它成立的充分条件,直至最后,把 要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等),这种证明方法叫做分析法
证明:方法一:∵a,b>0,且 a+b=1, ∴a+b≥2 ������������,
∴
������������
≤
12,∴1������
+
1 ������
=
������+������ ������������
=
���1���������≥4.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
2.2.1 综合法和分析法
P⇒ P1 P1⇒ P2 … Pn⇒ P'
⇓
Q'⇒ Qm … Q2⇒ Q1 Q1⇒ Q
2.2.1 综合法和分析法
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一、用综合法证明问题
活动与探究
如何理解综合法? 答:(1)综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件 出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题. (2)综合法的特点 ①从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理,实 际上是寻找它的必要条件. ②用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清 晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.
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迁移与应用
1.(2014 重庆八中高三第二次月考)在一个数列中,如果对任意
n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做
即证 2 42>2 40, 由于上式显然成立,因此原不等式成立.
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3.综合法和分析法的综合应用 在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条 件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q';根据结论的结构特点去转 化条件,得到中间结论 P'.若由 P'可以推出 Q'成立,即可证明结论成立. 用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等,用 Q 表示要证明的结 论,则上述过程可用框图表示为:
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例 3 已知 a,b,c 是不全相等的正数,且 0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc.
logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
������+������ · ������+������ · ������+������
2
2
2
<logx(abc),
由已知 0<x<1,故只需证明������+2������·������+2 ������·������+2 ������>abc.
提示:∵an=2n,∴������������������+������ 1
=
2������+1 2������
=
2×2���2��� ������=2.
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列.
(2)求证: 6 + 7≥2 2 + 5.
证明:要证原不等式成立, 只需证( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2,
222
>
������2 ������ 2 ������ 2 =abc.
即������+2������·������+2 ������·������+2 ������>abc 成立. ∴logx������+2 ������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc 成立.
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例 1 已知 a,b>0,且 a+b=1,求证:1������ + 1������≥4. 思路分析:解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式 a+b≥2 ������������(a,b>0),即可得出结论.
2.2.1 综合法和分析法
高中数学课件
(鼎尚图文*****整理制作)
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
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学习目标 重点难点
1.能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.掌握分析综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分 析法证明数学问题. 重点:综合法与分析法的思维方式和步骤. 难点:综合应用两种方法解题.
二、用分析法证明问题
活动与探究
如何理解分析法? 答:(1)分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”,由求证走向已知,即从待证结论 或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后到达一个明显成立的条件. (2)分析法的特点 ①分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步 靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件. ②由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性 与规范性,即分析法有独特的表述.
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方法二:∵a,b 是正数, ∴a+b≥2 ������������>0,1������ + 1������≥2 ���1���������>0,
∴(a+b)
1 ������
+
1 ������
分析法 逆推证法或执果索因法
续表
书写形式一般为:要证……只需证……即证……,直至 得到一个明显成立的条件,所以结论成立
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预习交流 1
(1)已知数列{an}的通项公式为 an=2n,求证:数列{an}为等比数列.
≥4.又 a+b=1,∴1������ + 1������≥4.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
方法三:1������
+
1 ������
=
������+������ ������
+
������+������ ������=1+������������
+
������������+1≥2+2
������ ������
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证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄ 平面 PCD,PD⊂ 平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点, 所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF⊂ 平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂ 平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PAD.
a3=1×8 2=4,∴a1+a2+a3=1+2+4=7.∴a1+a2+…+a12=4(a1+a2+a3)=28.
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2.设 a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b). 因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,3a2-2b2>0, 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即 3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
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例 2 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证:
(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒ 线面垂直⇒ 面面垂直.
·
������������=4.当且仅当
a=b 时,取“=”号.
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点拨提示:用综合法证明不等式可利用已证过的不等式作为基础, 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式.但要注意防止在推证过 程中盲目套用公式和错用性质.
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(1)综合法的证明步骤:①分析条件,选择方向.确定已知条件和结论 间的联系,合理选择相关定义、定理等.②转化条件,组织过程.将条件合 理转化,书写出严密的证明过程.
(P 表示已知条件、已有的定义、 定理、公理等,Q 表示所要证明的 结论.)
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综合法
顺推证法或由 因导果法
文 “因为……所 字 以……” 语 或“由…… 言 得……”
(2)综合法的适用范围:①定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇 偶性,立体几何中的证明,不等式的证明等问题.②已知条件明确,并且容 易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.
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思路分析:本题中不等式左右两边较为复杂,可用分析法证明,分析 法的步骤为未知→需知→已知,在操作中“要证”“只要证”“即要证”这 些词语是不可缺少的.
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问题导学 当堂检测一二三ຫໍສະໝຸດ 课前预习导学 课堂合作探索
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证明:要证明
由公式知������+������
2
≥
������������>0,������+2 ������ ≥
������������>0,������+2 ������ ≥
������������>0.
又∵a,b,c 是不全相等的正数,
∴������+������·������+������·������+������
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1.直接证明 综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决 数学问题时常用的思维方式.
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这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则
a1+a2+…+a12=( )
A.24
B.28
C.32
D.36
答案:B
解析:由题设可得 anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=8,两式相除得:an+3=an,
所以这是一个周期为 3 的周期数列.又 an+2=���������������8���������+1,所以