江苏省苏州新区一中高三数学10月月考试题苏教版

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．设全集I＝{1，3，a3＋3a2＋2a}，M＝{1，｜2a－1｜}，则使C I M＝{0}的实数a的值为．
2．若11 22
x x-
+=3, 则
3
2
2
2
2
3
2
3
+
+
+
+
-
-
x
x
x
x
=
3.已知集合{}
2
|log1
A x x
=>，(,)
B a
=-∞，若(,23)
A B b b
=+，则实数a的值是
4.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ________________
①. y＝3sinx (x∈R) ② y=3x(x∈R)
③y=x3
1
(x∈R)④ y=lg|x|(x≠0)
5.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，
则f(log212) = ____________
6.若函数f(x)的定义域是［0，1］，则y=f(x+a)·f(x-a)
（0＜a＜
2
1）的定义域是 ___________
7．已知函数()
f x在R上可导，且满足'2'
()2(1)
f x x f
=+，则(1)(1)
f f
--= ____．
8.函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是____
9.设a＞1,实数x,y满足|x|-log a
y
1=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 _________ 10．设方程2ln72
x x
=-的解为
x,则关于x的不等式
2
x x
-<
的最大整数解为
11．已知函数2
()()
f x x x c
=-在2
x=处有极大值，则常数c的值为__________
12．设3
()
f x x
=,则对于任意实数,,
a b“0
a b
+≥”是“()()0
f a f b
+≥”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
13．已知2
1
(),()(),
2
x
f x x
g x m
==-若对
1212
[1,3],[0,2],()()
x x f x g x
∀∈-∃∈≥，则实数m的取值范围是____________
14．已知函数()
y f x
=是R上的偶函数，对于x R
∈都有(6)()(3)
f x f x f
+=+成立，当
12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，给出下列命题：
①(3)0f =；②直线6x =-是函数()y f x =图像的一条对称轴；
③函数()y f x =在[9,6]--上为增函数；④函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点.，其中正确命题的序号是___________
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）15．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1
x ＋1的值域，
集合C 为不等式(ax －1
a )(x ＋4)≤0的解集．
(1)求A ∩B ； (2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．
16．设函数()f x =·a b ，
其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
． （1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期．
17．设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x ∈R ，f(x+2)=-f(x),当-1≤x ≤1时，f(x)=x 3
.
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）当x ∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.
18．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更 大的矩形花坛 AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过
C 点， 已知|AB |＝3米，|A
D |＝2米，
（1） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应
在什么范围内？
（2） 若|AN| [3,4)∈（单位：米），则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积
A
B
C
D
M
N
P
最大？并求出最大面积．
19.已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的实数,m n 都有1()()()2
f m n f m f n +=++
且1()02f =，当1
2
x >时，()0f x > （1） 判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；
（2）若对任意实数x ，不等式22
(1)(22)f ax ax f x x ++≥+恒成立，
求实数a 的取值范围
20已知函数ln ()x
f x x
=
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0,a >求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值；
附加题部分（满分40分，时间30分钟）
21．若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos α
ααα-⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），
求矩阵M 的逆矩阵．
22.已知曲线C 的参数方程为2
sin ,[0,2)cos x y α
απα=⎧∈⎨=⎩
，曲线D 的极坐标方程为a 2)4
sin(=+π
θρ.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；
（2）试确定实数a 的取值范围,使曲线C 与曲线D 有公共点．
23．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=CD ，
E 是PC 的中点．
(1)证明PA // 平面BDE ；
(2)求二面角B-DE-C 的平面角的余弦值； (3)在棱PB 上是否存在点F ,使PB ⊥平面DEF ?证明你的结
论．
24．口袋中有)(*
N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若
30
7
)2(=
=X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．
2014届高三数学月考答题卷（2013.10.8）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．解：
16．解：
17．解：
18．解：19．解：.
20．解：
附加题答题卷21．解
22．解
23．解
24．解
2014届高三数学月考试卷答案（2013.10.8）一．填空题
1．-1 2．2
5
3．7 4．③ 5．
1
3
6．[]
, 1
a a
- 7．
10
3
- 8．()()
x x
f c f b
≥
9．B 10． 4 11． 6 12．充要 13 ．1
4
m ≥ 14 ． ①②④ 二．解答题 15. （１）]
[)(4,2),(,31,A B =-=-∞-+∞(][)4,31,2A B ∴=--
（２）
(]
[),42,R
A =-∞-+∞
当0a >时，214,,R
C A a ⎡⎤=-∴⎢⎥
⎣
⎦
舍去
当(]21,4,C a ⎡⎫
=-∞-+∞⎪
⎢⎣⎭
a<0时，R A ⊆ 21202
a a ∴
≥∴-≤<， 16.（１）略
（２）[][]
3
3
(4) 3,5()(6) 5,7x x f x x x ⎧-∈⎪
=⎨-∈⎪⎩ 17.（1）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，
∵图象经过点π24
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
，∴πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛
⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得1m =． （2）当1m =时，π()1sin 2cos 2214f x x x x ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，∴22T ππ==
18．设AN 的长为x 米（x >2）
∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32x
x -
∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - （1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ，
∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0
∴8
283
x x <<
> 或 即AN 长的取值范围是8(2)
(8)3
∞，，+
（2）令y ＝2
32
x x -，则y ′＝222
6(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ∵当[3,4)x ∈，y ′< 0，∴函数y ＝2
32
x x -在[3,4)上为单调递减函数，
∴当x ＝3时y ＝2
32
x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米） 此时|AN |＝3米，|AM |＝33932
⨯=-米
19．（1）()f x 单调递增，证明如下：
任取12,x x R ∈,且12x x <，则令21(0),x x t t =+>则2111()()()()f x f x f x t f x -=+-
111()()()2f x f t f x =++-=111()222f t +-+11()()122
f t f =++-+ 因为11()()(),()022
f m n f m f n f +=++= 令0m n ==得1(0)2
f =- 令11,22m n =-=可得1111()1;()()1()2222
f f t f f t -=-∴++-+=+ 110,22t t >∴+>，则1()02
f t +>21()()f x f x ∴> 故()f x 单调递增 （2）[2,6]a ∈
20.（1）定义域为(0,)+∞，21ln ()x f x x -'=，令21ln ()0x f x x
-'==，则e x =，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x 的单调增区间为(0,)e ；单调减区间为(,)e +∞.
（2）由（1）知()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以，
当4a e ≤时，即4
e a ≤时，()
f x 在[]2,4a a 上单调递增，∴min ()(2);f x f a = 当2a e ≥时， ()f x 在[]2,4a a 上单调递减，∴min ()(4)f x f a =
当24a e a <<时，即42
e e a <<时，()
f x 在[]2,a e 上单调递增， ()f x 在[],4e a 上单调递减，
∴{}min ()min (2),(4).f x f a f a =下面比较(2),(4)f a f a 的大小，
x (0,e) e (e,)+∞ '()f x + 0 - ()f x
↗ 1e ↘
∵ln (2)(4),4a f a f a a -=
∴若14e a <≤，则()(2)0,f a f a -≤此时min ln 2()(2);2a f x f a a
== 若12e a <<，则()(2)0,f a f a ->此时min ln 4()(4);4a f x f a a
== 综上得：当01a <≤时，min ln 2()(2)2a f x f a a
==； 当1a >时，min ln 4()(4)4a f x f a a
==，
21．2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ ， 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩
解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
．
22.（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα
=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由a 2)4sin(=+π
θρ得曲线D 的直角坐标方程为a y x 2=+
由 ⎩⎨⎧=+=+a
y x y x 212 得a x x 212-=- , 即 2)21(245-=-x a ∵]1,1[-∈x ,∴492450≤-≤
a , 故8521≤≤-
a 时曲线C 与曲线D 有公共点
23．(1) 以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系，设PD=CD=2，则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，PA →=(2,0,-2)，
DE →=(0,1,1)，DB →=(2,2,0)．设n →
=(x ,y ,z )是平面BDE 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1→·DE →=0n →·DB →=0
，得 ⎩⎨⎧y +z=02x+2y=0；取=-1，n 1→=(1,-1,1)， ∵ 3 3
·n →=2-2=0，∴PA →⊥n 1→，又PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE 。

(2) 由(1)知n 1→=(1,-1,1)是平面BDE 的一个法向量,又n 2→=DA →=(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量。

设二面角B-DE-C 的平面角为θ,由图可知θ=<n 1→,n 2→
>，
∴ cos θ=cos <n 1→,n 2→>=n 1→
·n 2
→
|n 1→|·|n 2→| =2 3 ×2 =3 3
，
故二面角B-DE-C 余弦值为3 3。

(3)∵PB →=(2,2,-2)，DE →=(0,1,1)，∴PB →·DE →=0+2-2=0，∴PB ⊥DE 。

假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设PF →=λPB →(0＜λ＜1)，
则 PF →=(2λ, 2λ,-2λ)，DF →=DP →+PF →=(2λ, 2λ,2-2λ)， 由PF →·DF →=0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ=1 3 ∈(0,1)，此时PF =1 3
PB ，
即在棱PB 上存在点F ，PF =1 3
PB ，使得PB ⊥平面DEF 。

24．（1）由题知,307
)2)(3(3)2(231
13=++=
⨯==+n n n A A A X P n n
2*755420,(76)(7)0.,7.n n n n n N n -+=--=∈=即即因所以为
（2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以
,
120112073071071)4(,
1207
)3(,307)2(,107)1(310
17
333101
72311017A A A X P A A A X P X P A A X P ⋅==---===
=======或
所以，X 的概率分布表为
所以.811
1201412073307
2107
1)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E
11
答X的数学期望是.
8。