《正多边形与圆 》PPT课件 (公开课获奖)2022年冀教版

直角
锐角 钝角 如果请你把这四个角进行分类,你会怎么分?
说说你的想法.
直角可以用符号
角
定义
“ 常在Rt∠直∠α角”的表范的示围顶,画点┐图处时加
锐角
上“ ”来表示这个 小于90 °的角角是直0º角＜.∠α＜90º
直角
等于90 °的角
∠α=90º
钝角
大于直角而小 于平角的角
90º＜∠α＜180º
图示
求地基的周长和面积(精确到平方米).
F A
B
E
.. O
rR
D
PC
由于ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
∠BAO=∠CAO=30°．
C
B
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？
A
A
D
F
E
O ·
B
E
O·
A
O ·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、 正八边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆内 接正方形，再过圆心作 各边的垂线与⊙O相交， 或作各中心角的角平分 线与⊙O相交，即得圆 接正八边形，照此方法 依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十
• 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 • 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的
关系是（）
A
2. OB叫正△ABC的_半__径__, 它是正△ABC的_外__接___圆
的半径。
3. OD叫作正△ABC边___心__距_,
它是正△ABC的_内__切___
圆的半径。
B
.O
D
C
4. ∠BOC是正△ABC的__中__心____ 角∠; BOC=_1__2_0_度; ∠BOD=__6_0__度.
5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
01 23 4 5
已知∠α（如图），用量角器作一个角，使它等 于已知叫α
下列说法中正确的是( B )
A 两个角的和为180°，那么这两个角都是直角 B 一个钝角一定大于一个锐角 C 大于90°的角叫做钝角 D 钝角与锐角的差为90°
请你说一说:
你的收获!你的困惑!
你的新想法和新发现.
通过本堂课的探索,你学会了什么?有何 收获?最想说的一句话是什么？ 1、比较角的大小的两种方法：
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ × ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ × ）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形
A
F
各边中点所得的多
B
E
边形是正六边形。
C
D
3.求证：正五边形的对角线相等。 A
已知：ABCDE是正五边形，求 证：DB=CE
B
E
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
C
D
C、 2 a2
D、(2 2 - 2)a2
• 11．正六边形9 螺帽的边长2 为a，那么扳手
的开口b最小应是( )
A、 3a
B、1 a
C. 3 a
D. 3
2
2
3
角的大小
手探索(1) 请同学们在白纸上任意画一个角 【同桌比较一下看谁画的角大】
角的大小是由它们的度数确定的,所以比较 两个角的大小，可以量出它们的度数来比较。
探究二. 正多边形有关的概念
E
D
正多边形的中心:
一个正多边形的 外接圆的圆心.
F
.半径R
O
中心角
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的___外__接
圆与___内__切___圆的圆心。
的内∴五接边正形多AB边CD形E是. ⊙O的 内接正五边形.
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗??
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
• 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的 内接正六边形边长为__________．
• 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
• 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 正多边形是( ) A．正三角形 B、正方形 C．正六边形 D正十二边形
得到正多边形吗??
A
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB ⌒
C
D
定理∴∴1∠∠：AA==把∠∠BB圆=∠分C=成同 ∠Dn理=（∠∠nEB≥=∠3C）=∠等D=份∠E：
依又次∵顶连点结A、各B分、点C、所D得、的E都多在边⊙形O上是这个圆
又∵A⌒B=⌒BC
∴AB=BC
B Q
C
E O
S
D R
∴△PAB与△QBC是全等
定理2： 的等腰三角形。经过各分点作圆的切线，以相邻切
∴同理∠Q∠P=RQ∠==RQ∠S=RSP=线外TQ∠==S的切T2=PP∠A=交正2TPA点 多为 边顶 形又 ∴∵五点. 五 边的形边P形多QPRQS边RTS的T形的是各 O是外边这切都正与个五⊙边圆O形相的。切，
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
小结：
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
探究五.画正多边形的方法
停
(1) 正四、正八边形的尺规作图
9
做一做，比一比
1、请同学们同桌分别画两个角，然后交换用 量角器测量其度数，比较它们的大小．
2、下列说法正确的是（B ）
A,角的边越长，则角越大。 B,角的大小与边的长短无关。 C,角的大小与顶点的位置有关。 D,角的大小决定于始边旋转的方向。
温馨提示：角的大小只与开口大小有关，与边的长 短无关;以及要注意角的符号与小于号、大于号书写 时的区别．
根据图解下列问题 如图，点A，O，E在一条直线上
（1）比较∠AOB、∠AOC 、 ∠AOD、∠AOE的大小
（2）找出图中的直角、锐角和钝角
解：（1）由图中可以看出：
A
∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE
O
C
（2）图中的直角有∠AOC，∠BOD，∠COE；
锐角有∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOE；
四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上 截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形.
先作出正六边 形，则可作正三角形， 正十二边形，正二十
四边形………
探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘
停
练习：用量角器作五角星
C
A M
根据勾股定理，可得边心距r 42 22 2 3
亭子的面积S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
探究四、正多边形的性质及对称性
A
B
E
探究、1、正n边形具有怎 C 样的对称性？
D
2、正n边形都是轴对称图形，它有n条对称轴； 当n为偶数时，正多边形是中心对称图形。
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n条对称轴，每条对称轴都通 过n边形的中心。
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36°
B、 18°
C．72°
D．54°
• 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正n边形，那么正n边形的面 积为（ ）
A、(3 2 3)a2 B、7 a2
┓
平角 等于180 °的角 周角
等于360°的角
∠α=180º ∠α=360º
A OB O A（B）
1
1
（1）1直角=_9_0__°=__2___平角=__4___周角
（2） 2平角=1_2__0 °，它是_钝__角（填“钝”“锐”或“直
3
（3） 2周角=_8_0_°，它是_锐__角（填“钝”“锐”或“直”
52°
1
66°
2
∠1＜∠2
度量法
手探索(1) 请同学们试一试:如何比较∠ABC与∠Βιβλιοθήκη EF的大小C FB
A
E
D
F
A
在∠FED的内部，
B
C
经E
D
过
AF
叠
合
B E
C D FA
∠ABC＜∠FED；
在∠FED的外部， ∠ABC＞∠FED；
与EF重合，
B E
C D
∠ABC＝∠FED.
叠合法
你能将图中扇子张开的角描出来吗？
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角， 它的度数是_7_2_度_____
D
E
C
.O
A FB
9、它图的中度正数六是边_形__A6_B_0C_度_D_E_;F的中心角是_∠__A_O__B_;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、判断题。
E
钝角有∠AOD，∠BOE。
如图，比较∠BAC,∠CAD,∠BAD,∠ADB的 大小，并说出其中的锐角、直角、钝角。
01 23 4 5
利用一副三角板，你能画出哪些度数的角？
〔画出的角是0～180度〕
15º,30º,45º,60º,75º,90º,105º,120º， 135º,150º,165º,180º等
2
2
正n边形的一个内角的度数是（__n____2_）_•_1__8_0; n
中心角是___3_6_0______;
n 正多边形的中心角与外角的大小关系是__相___等___.
探究三、正多边形的有关计算
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
29.5 正多边形和圆
E
A
D
B
C
观察下列图形他们有什么特点？
三条边相等，
四条边相等，
正三 三个角相等 正方形 四个角相等
角形 （60度）。
（900）。
探究一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
(2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图 (3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标
志的外缘
(4)用量角器作五角星；
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠COA
=120°．
120 ° O
②用量角器或30°角 的三角板度量，使
菱形, 矩形都 不是正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等
B
C
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
正方形ABCD的___中___心______
6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的___边__心__距____
A
D
.O
BEC
7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的_边__心__距___， 它是正五边形ABCDE的__内__切____圆的半径。
(n 2) 180 内角= _______n____
边长、半径、边心距知一求二
面积S= 1 l r
2
拓展练习
• 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两 个正六边形的面积之比等于________
• 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________
• 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边 心距是________
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
中心角 360
中心角E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na• 边心距（r）
B N
D
小结：画正多边形的方法
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
A
如图：
B
已知点A、B、C、D、
E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外
C
切正五边形
E O
D
课堂小结：
1.正多边形中的有关概念； 2.正多边形的对称性；
3.正多边形中的有关计算：
中心角=外角= __3_6_0_ n