高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.2 柱、锥、台的体积 1.7.3 球讲义 北师大版

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1 2 3 456
1. 已知高为 3 的直三棱柱 ABC-A'B'C'的底面是边长为 1 的正三角形, 则三棱锥 B'-ABC 的体积为( )
A.14
B.12
C.
3 6
D.
所以三棱锥 P-DCQ 的体积 V2=13· 22a2· 2a=13a3, 于是 V1∶V2=1.
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迁移与应用
1.一个圆锥的轴截面是边长为 1 的正三角形,则其体积
为
.
解析:依题意,圆锥的底面半径为12,高为 23,
于是体积 V=13π·
1 2
2
·
3 2
=
243π.
答案: 243π
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解有关球的问题时,常用如下性质: (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的 连线与这个截面垂直. (2)如果分别用 R 和 r 表示球的半径和截面圆的半径,用 d 表示球心 到截面的距离,则 R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三 角形.
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解:正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中 O1,O 分别是两底面的中心. ∵A1C1= 2,AC=5 2,∴A1O1= 22,AO=52 2,
∴O1O=
32-
5 2
2-
2 2
2
=1,
V=13×1×(12+52+ 12 × 52)=13(1+25+5)=331(cm3).
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棱 BC 的中点.正三棱柱的主视图如图②. 求正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.
思路分析:由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱 长,从而可求出正三棱柱的底面边长与高,然后套用体积公式计算.
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解:由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在底面即等
边△ABC 中,AB=sin���6������0���° =
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2.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为
.
解析:设球的半径为 R,由43πR3=4 3π,得 R= 3,所以 S=4πR2=12π.
答案:12π
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计算球的表面积和体积时要注意的问题: (1)关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位置.因 此,在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置,球面上的点等 信息. (2)当球的半径增加为原来的 2 倍时,球的表面积增加为原来的 4 倍, 球的体积增加为原来的 8 倍. (3)注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时, 也可以求出球的半径.
5.球的表面积和体积 活动与探究
例 5(1)设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一
个球面上,则该球的表面积为( )
A.3πa2
B.6πa2
C.12πa2
D.24πa2
(2)如果三个球的半径之比是 1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个
球的体积之和的( )
A.1 倍
B.2 倍
C.3 倍
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方法 1:由于棱锥 P-DCQ 与棱锥 Q-CDP 是同一个棱锥,其体积相等, 而其底面是 Rt△CDP,面积为 S1=12×a×2a=a2. 取 DP 中点 N,连接 QN,则 QN∥AD, 又 AD⊥DC,AD⊥DP,所以 AD⊥平面 CDP, 故 QN⊥平面 CDP. 因此 QN 就是三棱锥 Q-CDP 的高,且 QN=AD=a. 于是棱锥 P-DCQ 的体积 V2=VQ-CDP=13×a×a2=13a3. 于是 V1∶V2=1.
迁移与应用 四边形 ABCD 中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),绕 y 轴旋转一周,求所 得旋转体的体积. 解:∵C(2,1),D(0,3), ∴圆锥的底面半径 r=2,高 h=2. ∴V 圆锥=13πr2h=13π×22×2=83π.
∵B(1,0),C(2,1), ∴圆台的两个底面半径 R=2,R'=1,高 h'=1. ∴V 圆台=13πh'(R2+R'2+RR')=13π×1×(22+12+2×1)=73π,
答案:16π2
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2.
根据图中物体的三视图(单位:cm),求此几何体体积.
解:该几何体上方是底面半径为12,母线长为 1 的圆柱,下方是一个长、
宽、高分别为 4,1,1 的长方体,
从而 V=4×1×1+π·
1 2
2·1=π4+4.
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1.求柱体的体积关键是求其底面积和高,底面积利用平面图形面积 的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投 影组成直角三角形,进而求解.
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方法 2:因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ.于是得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中,可得 DQ=PQ= 22PD,则 PQ⊥QD,所以 PQ⊥
平面 DCQ. 即 PQ 为三棱锥 P-DCQ 的高,且 PQ= 2a, 而△DCQ 的面积为12·a· 2a= 22a2,
∴S 球=4πR2=6πa2.
(2)半径大的球的体积也大,设三个球的半径分别为 x,2x,3x,则最大 球的半径为 3x,其体积为43π×(3x)3,
其余两个球的体积之和为43πx3+43π×(2x)3,
∴43π×(3x)3÷
4 3
����3
+
4 3
π
×
(2������)3
=3.
答案:(1)B (2)C
预习交流 1
柱体、锥体、台体的体积公式有何联系? 提示:台体的体积公式中,如果 S 上=S 下,就得到柱体的体积公式 V 柱体 =Sh;如果 S 上=0,就得到锥体的体积公式 V 锥体=13Sh.因此,柱体、锥体、台 体的体积公式之间的关系,可表示如下.
由上图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
7.2 柱、锥、台的体积 7.3 球
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学习目标 重点难点
1.会用公式求柱、锥、台体的体积.知道柱、锥、台体的体积之 间的关系. 2.记住球的表面积和体积公式,并能进行有关计算. 3.通过学习,提高空间思维能力和空间想象能力,增强了探索问题 和解决问题的信心. 重点:柱体、锥体、台体的体积计算.球的表面积和体积的计算. 难点:与球有关的组合体的体积计算. 疑点:已知几何体的三视图,首先转化为直观图,再求它的体积.
的距离为 d,则有 R2=r2+d2,
于是|OO1|=d= ������2-������2.
又 πr2=25π,∴r=5,于是 d= 132-52=12.
即所求距离为 12 cm.
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迁移与应用 用一个平面截半径为 5 cm 的球,球心到截面距离为 4 cm,求截面圆 的面积.
解:如图,设 AK 为截面圆的半径,则 OK⊥AK.在 Rt△OAK 中,OA=5 cm,OK=4 cm,∴AK= ������������2-O������2 = 52-42=3(cm),∴截面圆的面积为 π·AK2=9π(cm2).
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2.如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,点 P,Q,R 分别是棱
AA1,AB,AD 的中点,则三棱锥 A-PQR 的体积等于
.
解析:VA-PQR=VQ-APR=13S△APR·AQ=13 × 12×3×3×3=92. 答案:92
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1.锥体的体积公式 V=13Sh 既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以 是正棱锥,也可以不是正棱锥.
∴V=V 圆锥+V 圆台=5π.
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1.求台体的体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高, 然后套用公式 V=13(S'+ ������������'+S)h 计算求解.
2.由于台体可以看作是由一个平行于锥体底面的平面截去小锥体 后剩余的部分,因此台体的体积也可以由大锥体的体积减去小锥体的 体积来计算得到.
D.4 倍
思路分析:(1)该球的直径等于长方体的体对角线长.
(2)可设出球的半径,计算出三个球的体积,然后求得结论.
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解析:(1)由于长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,则长方体的体对 角线长为 (2������)2 + ������2 + ������2 = 6a.
又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线, ∴2R= 6a.
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预习交流 2
如果一个三棱锥和一个圆锥的底面积都是 S,高都是 h,那么它们的 体积相等吗?
提示:体积相等,都等于13Sh.
预习交流 3
如果一个圆柱、圆锥的底面半径都是 R,高都是 h,那么其体积公式 是什么?
提示:V 圆柱=πR2h,V 圆锥=13πR2h.
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2.球的表面积和体积 (1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆;被不经过球心 的平面截得的圆叫作球的小圆. (2)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,其中它们的交点称 为直线与球的切点. 过球外一点的所有切线的长度都相等.
2.求组合体的体积应据其结构特征分析求解,如迁移与应用题 2 中 为长方体上放一圆柱,故几何体体积为两体积之和.
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2.锥体的体积 活动与探究 例2
如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA, QA=AB=12PD.
求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值.
(3)S 球面=4πR2,V 球=43πR3(其中 R 为球的半径).
预习交流 4
如果一个球的半径扩大为原来的 2 倍,那么其表面积、体积分别扩 大为原来的多少倍?
提示:表面积扩大为原来的 4 倍,体积扩大为原来的 8 倍.
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1.柱体的体积 活动与探究 例 1 如图①是一个水平放置的正三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是
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1.柱、锥、台体的体积 V 柱体=Sh(S 为柱体的底面积,h 为柱体的高). V 锥体=13Sh(S 为锥体的底面积,h 为锥体的高). V 台体=13(S 上+S 下+ ������上·������下)h(S 上,S 下分别为棱台的上、下底面积,h 为高).
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2.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性,因为三棱锥的任何一个面 都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转 换,这一方法叫做等积法.
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3.台体的体积 活动与探究 例3
正四棱台的侧棱长为 3 cm,两底面边长分别为 1 cm 和 5 cm,求体积. 思路分析:解答本题的关键是利用侧棱与高构成的直角梯形求出 台体的高,进而求出正四棱台的体积.
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1.如图是某几何体的三视图,则该几
何体的体积为( ) A.92π+12 B.92π+18
C.9π+42
D.36π+18
解析:由题意知该几何体上部为直径
为 3 的球,下部为长、宽、高分别为
3,3,2 的长方体,
∴该几何体的体积为 V=43π×
3 2
2+3×3×2=92π+18.
答案:B
3
3
=2,所以正三棱柱的体积
2
V=Sh=12×BC×AD×AA1=12×2× 3×3=3 3.
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迁移与应用
1.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 4π 的正方形,则这个圆柱
的体积为
.
解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,依题意有 2πr=4π,h=4π,所以
r=2,于是体积 V=Sh=πr2h=π·22·4π=16π2.
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思路分析:对于棱锥 Q-ABCD,其底面为正方形 ABCD,高即为 QA, 易求体积;对于三棱锥 P-DCQ,若以△DCQ 为底面,则应证明 PQ 是其高, 然后再计算,也可将三角形 CDP 作为底面,这时其高易证即为 AD,从而 可求体积.
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解:设 AB=a. 由题意知 AQ 即为棱锥 Q-ABCD 的高, 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1=13Sh=13×a2×a=13a3.
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4.球的截面 活动与探究 例 4 用一个平面截一个半径为 13 cm 的球,得到一个面积为
25π cm2 的圆,试求球心到该截面圆圆心的距离. 思路分析:根据球的截面的性质,球心与截面圆圆心的连线垂直于
截面,据此构造直角三角形,利用勾股定理求解. 解:设球的半径为 R,截面圆的半径为 r,球心 O 到该截面圆圆心 O1