高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线
平面内到两个定点,
的距离之差的绝对值是常数2a(2a<
)的点的轨迹。

考点
题型一 求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22
22(0)x y m n
λλ-=≠，与双曲线
222
21x y a b
-=共渐近线的方程可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠。

2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。

【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12，离心率为
54
； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；
（3） 与双曲线
22
1916
x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22
221y x a b
-=(0,0)a b >>。

由题意知，2b=12，c e a ==54。

∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或22
16436
y x -=。

（2）∵双曲线经过点M （0，12），
∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。

又2c=26，∴c=13。

∴2
2
2
144b c a =-=。

∴标准方程为
22
114425
y x -=。

（3）设双曲线的方程为22
22x y a b λ
-=
(
3,A -在双曲线上
∴(2
2
3
1916
-= 得1
4
λ=
所以双曲线方程为22
4194
x y -= 题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a
=
和222
c a b =+的关系式。

【例2】双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且
点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4
5
c 。

求双曲线的离心率e 的取值范围。

解：直线l 的方程为
1x y
a b
-=，级bx+ay-ab=0。

由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离
1d =
，
同理得到点（-1，0）到直线l 的距离
2d =
122ab
s d d c
=+=
=。

由s ≥
45c ，得2ab c
≥45c
，即252c ≥。

于是得22e ，即4
2
425250e e -+≤。

解不等式，得
2554e ≤≤。

由于e ＞1＞0，所以e
的取值范围是2
e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使
1290F AF ∠=，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

解：∵1290F AF ∠= ∴2
2
212
4AF AF c +=
又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，
∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴2
2
222
2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，
∴
c a ==
e =。

题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
组，即222222
0Ax By C b x a y a b
++=⎧⎨-=⎩，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
2121l x x y y =-=- 【例4】如图，
已知两定点12(F F ，满足条件
212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、
B 两点，如果AB =，且曲线E 上存在点
C ，
使OA OB mOC +=，求 （1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；
（3）m 的值和△ABC 的面积S 。

解：由双曲线的定义可知，
曲线E
是以12(F F 为焦点的双曲线的左支，
且c =
a=1
，易知1b ==。

故直线E 的方程为221(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),
由题意建立方程组22y=kx-1
x -y =1
⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。

又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有
222
122122
10,(2)8(1)0,20,
12
0.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪
-⎨+=<-⎪
⎪-=>⎪-⎩
解得1k <-。

又∵
12AB x x =-=
==
依题意得=，整理后得422855250k k -+=， ∴2
57k =
或2
54
k =。

但1k <<-，
∴2
k =。

故直线AB
的方程为
102
x y ++=。

（3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，
∴1212
(,)(
,)(0)c c x x y y x y m m m
++=≠。

又122
21k x x k +==--212122222()22811
k y y k x x k k +=+-=-==--，
∴点8
(
)C m m
-。

将点C 的坐标代入曲线E 的方程，的
22
80641m m -=， 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。

∴4m =，C
点的坐标为(，
C 到AB
1
3
=
， ∴△ABC
的面积11
23
S =⨯=
一、抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。

（一） 知识归纳
（二）典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2
y mx =或2
(0)x my m =≠。

【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。

（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；
（2）经过点A （2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.
解：（1）双曲线方程可化为
22
1916
x y -=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32
p
-=-， ∴p=6.
∴方程为212y x =-
（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y 2＝2px 或x 2＝－2py ．
点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝
2
9 点A （2，－3）坐标代入x 2
＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝3
4 ∴所求抛物线的标准方程是y 2
＝
29x 或x 2＝－3
4y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，
代入A 点坐标求得m=
29，n=-3
4， ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2
＝－3
4y
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。

∴焦点为（0，-2），（4，0）。

∴抛物线方程为2
8x y =-或2
16y x =。

（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为2
2(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物 线定义得p
52
AF m ==+
， 又2
(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±，
故所求抛物线方程为2
2y x =±或2
18y x =±。

题型二 抛物线的几何性质
方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处
理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线22(0)y px p =>上一点，则02
p PF x =+。

2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。

【例6】设P 是抛物线24y x =上的一个动点。

（1） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。

解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。

∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。

显然P 是AF 的连线与抛物线的交点，
最小值为AF =（2）同理PF 与P
过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。

∵11
PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。

∴PB PF +的最小值是4。

题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。

【例7】已知抛物线y ＝x 2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。

分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y 1＋y 2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。

解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)
由抛物线方程y ＝x 2知焦点1
F(0,
)4
,准线方程1
4
y =-
，设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、|BC 1|、|MN|，则|AD 1|＋|BC 1|＝2|MN|，且
1
M N =2(y +)4
，根据抛物线的定义，有|AD 1|＝|AF|、
|BC 1|＝|BF|,∴1
2(y+)4
＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，
∴1
2(y+
)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34。

分析二：要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一变量的函数，然后求
此函数的最小值。

解法二：设抛物线y ＝x 2上点A(a,a 2),B(b,b 2
)，AB 的中点为M(x ，y)，则
2
,222b a y b a x +=+=
∵|AB|＝2，∴(a ―b)2
＋(a 2
―b 2
)＝4，则(a ＋b)2
－4ab ＋(a 2
＋b 2)2
－4a 2b 2
＝4
则2x ＝a ＋b,2y ＝a 2＋b 2,得ab ＝2x 2－y,∴4x 2―4(2x 2―y)＋4y 2―4(2x 2
―y)＝4 整理得1
412
2
++
=x x y
43411414124
1141)14(4122=-=-≥-+++=
∴x x y 即点M 纵坐标的最小值为3/4。

练习： 1、以y =±
3
2
x 为渐近线的双曲线的方程是（ ） Ａ、3y 2
―2x 2
=6 Ｂ、9y 2
―8x 2
=1 C 、3y 2
―2x 2
=1 D 、9y 2
―4x 2
=36
【答案D 】解析：A 的渐近线为y=，B 的渐近线为y=3x ±
C 的渐近线为y=，只有
D 的渐近线符合题意。

2、若双曲线22
1x y -=的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x a+b 的值为
（ ） A 、12-
B 、1
2
C 、2-
D 、2 【答案A 】解析：∵P 在双曲线上，
∴22
1a b -=即（a+b ）（a-b ）=1
又P （a ，b ）到直线y=x
=a b <
即2a b -=- ∴a+b=1
2
-
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上，那么抛物线的方程是（）
A 、216y x =-
B 、212y x =
C 、216y x =
D 、212y x =-
【答案C 】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
∴直线34120x y --=与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。

∴焦点为（0，-3），（4，0）。

∴抛物线方程为212x y =-或216y x =。

4、若抛物线y=
4
1x 2
上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是 A.（4，±4） B.（±4，4） C.（
1679，±879） D.（±8
79，1679） 【答案B 】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是1y =-，
P 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。

设P （x ，y ），则y=4，
∴4x ===±
5、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，
点P 是抛物线上的一动点，则PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ C ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（2，2）
D ．)1,2
1
(
【答案C 】解析：抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。

∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （3，2）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。

显然P 是A 到准线的垂线与抛物线的交点， ∴P 的坐标为（2，2）
6、已知A 、B 是抛物线2
2(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若︱OA ︱=︱OB ︱，且 △AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）
A 、x=p
B 、x=3p
C 、x=
32p D 、x=52
p 【答案D 】解析：设A （22y p ，y ），B （2
2y p
，-y ），
∵F （p ，0）是△AOB 的垂心， ∴
22122
2y y
y p y p p
∙
=-- 整理得225y p =
∴25
22
y x p p ==
7、过点P （4，1），且与双曲线
22
1916
x y -=只有一个公共点的直线有 条。

【答案】两条
解析：因为P （4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个
公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。

这两条直线是：41(4)3y x -=
-和4
1(4)3
y x -=-- 8、双曲线C 与双曲线2
212
x y -=有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则C 的两条准线之间的距离为 。

【答案】
3
解析：设双曲线C 的方程为2
2(0)2
x y k k -=≠， 将点A 代入，得k=-2。

故双曲线C 的方程为：
22
124
y x -=
∴a =
b=2, c =
所以两条准线之间的距离是22a c =。

9、已知抛物线2
2(0)y px p =>，一条长为4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦
中点到y 轴的最小距离是
【答案】32
p 解析：设动弦两个端点为A 、B ，中点为C ，作AA ’，BB ’，CC ’垂直于准线的垂线，垂
足分别为A ’、 B ’、 C ’，连接AF 、BF ，由抛物线定义可知，︱A F ︱=︱AA ’︱， ︱B F ︱=︱BB ’︱
∵CC ′是梯形ABB ′A ′的中位线
∴︱CC ′︱=
1(')')2AA BB += 1())2AF BF + 12
AB ≥=2p 当AB 经过点F 时取等号，所以C 点到y 轴的距离最小值为32p-22p p =。

10、抛物线212y x =-的一条弦的中点为M (2,3)--，则此弦所在的直线方程是 。

【答案】2x-y+1=0
解析：设此弦所在的直线l 方程为3(2)y k x +=+，
l 与抛物线的交点坐标分别是A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则124x x +=-
将l 的方程代入抛物线方程整理得
2222(4612)(23)0k x k k x k +-++-= 由韦达定理得2122(4612)4k k x x k
-++=-=- 解得2k =
∴此直线方程为32(2)y x +=+ 即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为
43，求双曲线的方程。

解：由题意知，216c = 8c ∴= 又43c e a == 6a ∴= 22228b c a =-=
22
13628
y x ∴-=
12、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e =(0,)A b -和B （a ，0）
的直线与原点的距离为2。

（1）求双曲线的方程；
（2）直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在
以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

解：（1
）由题设，得222413b e a ⎧=+=⎪⎪⎨= 解得23a =，2
1b = ∴双曲线的方程为2
213
x y -=。

（2）把直线方程y kx m =+代入双曲线方程，
并整理得222(13)6330k x kmx m ----=
因为直线与双曲线交于不同的两点，
∴221212360m k =+-> ①
设11(,)C x y ，22(,)D x y 则122613km x x k +=-，121222()213m y y k x x m k
+=++=- 设CD 的中点为00(,)P x y ， 其中1202x x x +=，1202
y y y +=， 则02313km x k =-，0213m y k
=- 依题意，A P ⊥CD ，∴221113313AP m k k km k
k +-==-- 整理得2341k m =+ ②
将②式代入①式得 240m m ->
∴m ＞4或m ＜0
又23410k m =+>，即14m >-
∴m 的取值范围为m ＞4或104
m -<<。

13、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线22y px =上，△ABC 的重心与此抛
物线的焦点F 重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；
（2）求线段BC 中点M 的坐标；
（3）求BC 所在直线的方程.（12分）
解：（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上，
有2822p =∙，解得p=16. 所以抛物线方程为232y x =，
焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，
M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且2AF FM
=，设点M 的坐标为00(,)x y ，则 0022828,01212
x y ++==++，解得0011,4x y ==-， 所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：4(11)(0).y k x k +=-≠
由24(11)32y k x y x
+=-⎧⎨=⎩，消x 得23232(114)0ky y k --+=， 所以1232y y k +=，由（2）的结论得1
242
y y +=-，解得 4.k =- ∴BC 所在直线的方程是44(11)y x +=--即4400x y +-=。

14、如图, 直线y=21x 与抛物线y=8
1x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.
（1）求点Q 的坐标；
（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.（14分）
解：(1) 解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得1142x y =-⎧⎨=-⎩或22
84x y =⎧⎨=⎩ 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由AB 1k =2
，直线AB 的垂直平分线方程 y －1=-2(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,
2148x -) ∵点P 到直线OQ 的距离
2832
x
+-
, OQ=
∴SΔOPQ=
1
2
OQ d=2
5
832
16
x x
+-.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
4或
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值为30．。