透过背景,衍生结论,巧破难关
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２ 衍生 放缩不 等式 在 等式 １中 ， 右 边 我们 只 取 一 项 ， 得 到
例１ （ ２ ０ １ ０ 湖北理 ２ １ 题） （ Ⅱ） 若ａ ｘ＋
一
ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤ （ ＞一１ ） （ １ ． １ ） 证明作差求导
（ 略） ． 在（ １ ． １ ） 中我 们令 ＝ 一１ ， 可 以得 到
【 ｌ ｎ ≤ 吉 （ 一 ÷ ） ≤ 一 １ ， （ ≥ １ ）
（ １ ． ３ ） 证明作差求导 （ 略） ． 在（ １ ． ２ ） 中我们令 ＝ ， 可以得到Ｉ ｎ ｘ
・
一
（ 一 丢 ） 恒 成 立 ， 要 使 口 ＋ ｝一 ２ 口 ＋
ｌ≥ １ ｎ ， 只要 口 ＋ 一２ 口＋１≥ （
式取得最小值 ０ ， 此时 口 ＝１ ．
二
｛ ｆ ｅ ≥１ ＋ ＋ 等（ ≥ ０ ）
【 ｅ ≤１ ＋ ＋ （ ≤０ ）
戈 一 ｌ
可 知 ，当 ≥ ０
） ， ｇ （ ） ＝ ｌ ｎ ・ （ 高 ） ＜ 一 ｌ ， 故 ｋ 一 １
≤ 一１ ， 即 ｋ≤ ０ ．
时， 一 ≤０ ， ｅ 一 ≤１ 一 ＋ 鲁， 厂 （ ） ＝ｅ
当 ＞ｏ ， 且 ≠ 时， ＋ ＞ ＋
一
，
由题 意’ ｌ ｎ （ ＋１ ） ≤
≤ ． ・ ． ≥ ｊ ｝ 的 取 值 范 围 ？
解析： 经 变形 ｋ一１＜ｌ ｎ ｘ・ （
一
最 小 值 ．
１
） ， 设
ｇ （ ）＝ｌ ｎ ・（
≥１ 一－ １（ － ＞Ｏ ） （ １４ ） ・ 由（ １ ・ ２ ） ， （ １ ・ ４ ） 我们
・
有 １一 １≤ ｌ ｎ ｘ≤ 一ｌ （ ＞０ ） （ １ ． ５ ） ． 由等式 １ ， 常 见放缩
这恰是导数考题中的热点难点 ， 本文介绍 以 Ｉ ｎ （ １ ＋ ） 和ｅ 的泰勒展开式为背景 的一些 放缩不等式 ， 巧妙 的运用好这些不等式可 以 有效 的降低 题 目的难度 ， 起 到事 半功 倍 的
２ ａ＋１ ≥ｌ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋∞） 恒成立 ， 求
Ｉ ｎ ｘ≤ 一１ （ ＞０ ） （ １ ． ２ ） ， 将（ １ ． ２ ） 力 Ⅱ 强有 ，
ａ的最 小值 ． 解析 ： 由（ １ ． ３ ）可 知 当 ≥ １时 ， Ｉ ｎ ｘ≤
ｆ （ 一 ） ＜ ｌ ｎ ＜ — ｌ ， （ ０ ＜ ＜ １ ）
） 成立 即可 ， 整 理后得 （ 口一 ） （ 一１ ） 。
８ ・
２ ０ １ ４年 第 ４期
河 北理科 教 学研 究
ｌ ｎ （ ＋ １ ）≤ １ （ ＋ １
问题讨 论
） ＝
≥ ０ ， 故口 ≥ 吉 ．
例２ （ ２ ０ １ １ 全国新课标 理 ２ １ 题） （ Ⅱ）
奇效 １
ｆ — １ ≤ ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤
【 — １ ≤ ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤ 一 吉 ２ ＋ ｛ ３
（ ≥０ ） （ １ ． ６ ） ．
１ 泰勒展 开式 背景
等 式 １ ： ｌ ｎ （ １ ＋ ） ＝ 一 ２ ＋ ｛ ３ 一 明作差求导（ 略） ．
一
例３ （ ２ ０ １ ２ 天津理 ２ ０ 题） 已知 厂 （ ）＝
—
ｅ 一 ≥ ２ｘ，． ・ ． ２ｘ ≥ 。 ，． ・ ． ｎ ≤ ２．
Ｉ ｎ （ ＋口 ） 最小值为 ０ ， 其中 口＞０ ． （ Ｉ） 求口 ； （ Ⅱ） 对任意 ∈ ［ ０ ， ＋。 。 ） ， 数ｆ （ ） ＝ｅ 一１ 一 一口 ． 若当 ≥０ 时， ｆ （ ） ≥０ ， 求 ０的取值范围．
２ ０ １ ４年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
问题讨 论
透 过 背景 ， 衍 生结论 ， 巧 破 难 关
辽 宁省抚 顺 市第一 中学 洪 恩锋 １ １ ３ ０ ０ １
在各省市的高考压轴题 中， 常将导数作 为主要 的考察 对象 ， 而导数 中多涉 及 到 以
ｌ ｎ ｘ， ｅ 为影 子 的一 些恒 成 立证 明求 解 问 题 ，
解析 ： 当 ≥ ０时 ， （ 戈 ）≥ ０ ， 有 ｅ ≥ １
有 厂 （ ） ≤ｋ ｘ 成立 ， 求实数 ｋ的最小值 ．
．
解析 ： （ Ｉ）由（ １ ． １ ） 可知 ， Ｉ ｎ （ １＋ ）≤
，
所以 — ｉ ｎ （ １ ＋ ） ≥０ ， 当 ＝０ 时， 不等 （ Ⅱ） 命题 等价 化为 ， 对 任意 ∈ ［ ０ ，
） ． 由（ １ ． ３ ） 可知 ， 当ｏ
， （ ） ＝ｅ 一ｅ （ Ⅱ） 对 所有 ≥ ０都有
ｆ （ ）≥ 口 ， 求 口的取值 范 围 ．
＜ ＜１ 时， ｌ ｎ 戈＞ （ 一 ） ， ｇ （ ）：ｌ ｎ
・
（
）＜一１ ， 当 ＞ １ 时， ｌ ｎ ＜ （ 一
｛ ４ ＋ ． ． ・ ＋ （ 一 １ ） 州
Ｊ－ …
由等式 ２ ， 常见放缩 ｅ ≥ １ ＋ （ １ ． ７ ） 证
・
等式 ２ ： ｅ ＝ １ ＋ ＋ ＋ ＋… ＋
《 ｆ 【 ｅ ≥ １ ＋ ＋ ‘ ≥ 。 。 ． ８ 证 明
ｅ ≤ １＋ ＋－ ３ － （ ≤ｏ ）
作差求导（ 略） ．
由（ １ ． １ ） ， （ １ ． ７ ） 我ｆ 『 丁 有Ｉ ｎ （ １ ＋ ）≤ ≤
ｅ 一１ （ ＞一１ ） （ １ ． ９ ） ． ３ 巧 破难 关演 绎
我们将等式 １ ， 等式 ２ 分别叫做关于 Ｉ ｎ （ １ ＋ ） 和ｅ 的泰勒展开式 ．
例１ （ ２ ０ １ ０ 湖北理 ２ １ 题） （ Ⅱ） 若ａ ｘ＋
一
ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤ （ ＞一１ ） （ １ ． １ ） 证明作差求导
（ 略） ． 在（ １ ． １ ） 中我 们令 ＝ 一１ ， 可 以得 到
【 ｌ ｎ ≤ 吉 （ 一 ÷ ） ≤ 一 １ ， （ ≥ １ ）
（ １ ． ３ ） 证明作差求导 （ 略） ． 在（ １ ． ２ ） 中我们令 ＝ ， 可以得到Ｉ ｎ ｘ
・
一
（ 一 丢 ） 恒 成 立 ， 要 使 口 ＋ ｝一 ２ 口 ＋
ｌ≥ １ ｎ ， 只要 口 ＋ 一２ 口＋１≥ （
式取得最小值 ０ ， 此时 口 ＝１ ．
二
｛ ｆ ｅ ≥１ ＋ ＋ 等（ ≥ ０ ）
【 ｅ ≤１ ＋ ＋ （ ≤０ ）
戈 一 ｌ
可 知 ，当 ≥ ０
） ， ｇ （ ） ＝ ｌ ｎ ・ （ 高 ） ＜ 一 ｌ ， 故 ｋ 一 １
≤ 一１ ， 即 ｋ≤ ０ ．
时， 一 ≤０ ， ｅ 一 ≤１ 一 ＋ 鲁， 厂 （ ） ＝ｅ
当 ＞ｏ ， 且 ≠ 时， ＋ ＞ ＋
一
，
由题 意’ ｌ ｎ （ ＋１ ） ≤
≤ ． ・ ． ≥ ｊ ｝ 的 取 值 范 围 ？
解析： 经 变形 ｋ一１＜ｌ ｎ ｘ・ （
一
最 小 值 ．
１
） ， 设
ｇ （ ）＝ｌ ｎ ・（
≥１ 一－ １（ － ＞Ｏ ） （ １４ ） ・ 由（ １ ・ ２ ） ， （ １ ・ ４ ） 我们
・
有 １一 １≤ ｌ ｎ ｘ≤ 一ｌ （ ＞０ ） （ １ ． ５ ） ． 由等式 １ ， 常 见放缩
这恰是导数考题中的热点难点 ， 本文介绍 以 Ｉ ｎ （ １ ＋ ） 和ｅ 的泰勒展开式为背景 的一些 放缩不等式 ， 巧妙 的运用好这些不等式可 以 有效 的降低 题 目的难度 ， 起 到事 半功 倍 的
２ ａ＋１ ≥ｌ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋∞） 恒成立 ， 求
Ｉ ｎ ｘ≤ 一１ （ ＞０ ） （ １ ． ２ ） ， 将（ １ ． ２ ） 力 Ⅱ 强有 ，
ａ的最 小值 ． 解析 ： 由（ １ ． ３ ）可 知 当 ≥ １时 ， Ｉ ｎ ｘ≤
ｆ （ 一 ） ＜ ｌ ｎ ＜ — ｌ ， （ ０ ＜ ＜ １ ）
） 成立 即可 ， 整 理后得 （ 口一 ） （ 一１ ） 。
８ ・
２ ０ １ ４年 第 ４期
河 北理科 教 学研 究
ｌ ｎ （ ＋ １ ）≤ １ （ ＋ １
问题讨 论
） ＝
≥ ０ ， 故口 ≥ 吉 ．
例２ （ ２ ０ １ １ 全国新课标 理 ２ １ 题） （ Ⅱ）
奇效 １
ｆ — １ ≤ ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤
【 — １ ≤ ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≤ 一 吉 ２ ＋ ｛ ３
（ ≥０ ） （ １ ． ６ ） ．
１ 泰勒展 开式 背景
等 式 １ ： ｌ ｎ （ １ ＋ ） ＝ 一 ２ ＋ ｛ ３ 一 明作差求导（ 略） ．
一
例３ （ ２ ０ １ ２ 天津理 ２ ０ 题） 已知 厂 （ ）＝
—
ｅ 一 ≥ ２ｘ，． ・ ． ２ｘ ≥ 。 ，． ・ ． ｎ ≤ ２．
Ｉ ｎ （ ＋口 ） 最小值为 ０ ， 其中 口＞０ ． （ Ｉ） 求口 ； （ Ⅱ） 对任意 ∈ ［ ０ ， ＋。 。 ） ， 数ｆ （ ） ＝ｅ 一１ 一 一口 ． 若当 ≥０ 时， ｆ （ ） ≥０ ， 求 ０的取值范围．
２ ０ １ ４年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
问题讨 论
透 过 背景 ， 衍 生结论 ， 巧 破 难 关
辽 宁省抚 顺 市第一 中学 洪 恩锋 １ １ ３ ０ ０ １
在各省市的高考压轴题 中， 常将导数作 为主要 的考察 对象 ， 而导数 中多涉 及 到 以
ｌ ｎ ｘ， ｅ 为影 子 的一 些恒 成 立证 明求 解 问 题 ，
解析 ： 当 ≥ ０时 ， （ 戈 ）≥ ０ ， 有 ｅ ≥ １
有 厂 （ ） ≤ｋ ｘ 成立 ， 求实数 ｋ的最小值 ．
．
解析 ： （ Ｉ）由（ １ ． １ ） 可知 ， Ｉ ｎ （ １＋ ）≤
，
所以 — ｉ ｎ （ １ ＋ ） ≥０ ， 当 ＝０ 时， 不等 （ Ⅱ） 命题 等价 化为 ， 对 任意 ∈ ［ ０ ，
） ． 由（ １ ． ３ ） 可知 ， 当ｏ
， （ ） ＝ｅ 一ｅ （ Ⅱ） 对 所有 ≥ ０都有
ｆ （ ）≥ 口 ， 求 口的取值 范 围 ．
＜ ＜１ 时， ｌ ｎ 戈＞ （ 一 ） ， ｇ （ ）：ｌ ｎ
・
（
）＜一１ ， 当 ＞ １ 时， ｌ ｎ ＜ （ 一
｛ ４ ＋ ． ． ・ ＋ （ 一 １ ） 州
Ｊ－ …
由等式 ２ ， 常见放缩 ｅ ≥ １ ＋ （ １ ． ７ ） 证
・
等式 ２ ： ｅ ＝ １ ＋ ＋ ＋ ＋… ＋
《 ｆ 【 ｅ ≥ １ ＋ ＋ ‘ ≥ 。 。 ． ８ 证 明
ｅ ≤ １＋ ＋－ ３ － （ ≤ｏ ）
作差求导（ 略） ．
由（ １ ． １ ） ， （ １ ． ７ ） 我ｆ 『 丁 有Ｉ ｎ （ １ ＋ ）≤ ≤
ｅ 一１ （ ＞一１ ） （ １ ． ９ ） ． ３ 巧 破难 关演 绎
我们将等式 １ ， 等式 ２ 分别叫做关于 Ｉ ｎ （ １ ＋ ） 和ｅ 的泰勒展开式 ．