信号与线性系统分析-(第四版)第三章

(2) 特解 yp(k) p(2)k，k 0
p(2)k 4 p(2)k1 4 p(2)k2 2k
p 4 p(2)1 4 p(2)2 1
p
1 4
特解
yp
(k)
1 4
(2)k
(3) 全解
y(k
)
(C1k
C2
)(2)k
1 4
(2)k，k
0
根据初始条件
1 y(0) C2 4 0
1 y(1) 2C1 2C2 4 2 1
y(k) 4 y(k 1) 4 y(k 2) f (k) 已知初始条件y(0)=0，有y(1)= - 1，激励 f (k) 2k , k 0。
求方程的全解。
解： (1) 齐次解 特征方程
齐次解
2 4 4 0 特征根 1 2 2
yh(k) (C1k C2 )(2)k 代入差分方程
10cos(0.5 k)
P Q 1
yp (k) cos(0.5 k) sin(0.5 k)
2 cos(0.5 k )
4
y(k) yh (k) yp (k)
C1
1 2
k
C2
1 3
k
2 cos(0.5 k )
4
y(0) C1 C2
2 cos( ) 0
4
y(1) C1 C2 2 cos(0.5 ) 1
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
y(3) 3y(2) 2y(1) f (3) 10
y(4) 3 y(3) 2 y(2) f (4) 10
便于计算机求解
二、差分方程的经典解
LTI系统的数学模型：n阶常系数线性差分方程
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)
缩写：
n
m
an j y(k j) bmi f (k i)
j0
i0
an 1
解由齐次解和特解组成 y(k) yh(k) yp(k)
一阶齐次方程： y(k) a1 y(k 1) 0
y(k) y(k 1) a1
y(k)是一个公比值为(-a1)的几何级数
yh(k) C(a1)k C是常数，由初始条件确定
一阶前向差分 f (k) def f (k 1) f (k)
def 一阶后向差分 f (k) f (k) f (k 1)
差分运算的线性性质：
[a1 f1(k) a2 f2(k)] [a1 f1(k) a2 f2(k)][a1 f1(k 1) a2 f2(k 1)]
a1[ f1(k) f1(k 1)] a2[ f2(k) f2(k 1)]
[C1
co
s
(k
4
)
D1
s
i
n
(k
4
)
]
yzi (k) 2 yzi (k 1) 2 yzi (k 2) 0
yzi (0) 2 yz（i 1） 2 yz（i 2） 1 yzi (1) 2 yz（i 0） 2 yz（i 1） 0
yzi (0) C1 1
yzi (1)
2(C1
2 2
特解 yp (k) p(2)k p(2)k 3p(2)k1 2 p(2)k2 p(2)k
零状态响应
yzs
(k)
C zs 1 ( 1)k
Czs 2 (2)k
1 3
(2)k
根据初始值得
yzs
(0)
C zs 1
Czs 2
1 3
1
2 yzs (1) Czs1 2Czs2 3 1
C zs 1
·迭代解法：利用前一时刻的函数值递推得到当前时刻的函数值 例3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为
y(k) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k)
已知初始条件y(0)=0，有y(1)=2，激励 f (k) 2k (k)。
求y(k)。
解: y(k) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k)
j 1
j 1
j 1
激励f(k)在k=0 时接入系统，则yzs(k)=0，k<0
yzi (k) y(k)，k 0
例3.1-6 若描述某系统的差分方程为
y(k) 2 y(k 1) 2 y(k 2) f (k) 已知 f (k) k，k 0， 初始状态y(-1)=1，y(-2)=0.5。
求Czi1Czi
的另外方法
2
yzi (1) Czi1 0.5Czi 2 0 yzi (2) Czi1 0.25Czi 2 0.5
Czi1 1，Czi 2 2
四、零状态响应yzs(k) 定义：系统的初始状态为零，仅由激励引起的响应
n
m
an j yzs (k j) bmi f (k i)
f (k)
km
ak
y p (k )
Pmkm Pm1km1 P1k P0 kr[Pmkm P1k P0] Pak
[P1k P0 ]ak
i 1 i 1为r重根 i a
i a,单根
cos(k) P cosk Q sink 或 s i n (k )
i e j
例3.1-2 若描述某系统的差分方程为
(
2
)k
[
cos
k
(
)
s
i
n
k
(
)]
2(
2
)k
cos
k
(
)
k
2，k
0
4
4
4
(
2
)k
1
co
s
k
(
)
k
2，k
0
44
3.2 单位序列和单位序列响应
一、单位序列和单位阶跃序列
解： yzs (k) 3 yzs (k 1) 2 yzs (k 2) f (k)
yzs (1) yzs (2) 0
初始值 yzs (0) 3 yzs (1) 2 yzs (2) f (0) 1
yzs (1) 3yzs (0) 2yzs (1) f (1) 1
特征根 1 1，2 2
第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 3.2 单位序列和单位序列响应 3.3 卷积和
连续系统 微分方程 卷积积分
离散系统 差分方程 卷积和
相似性 求解方法对应 地位同等
y(k) yzi (k) yzs (k)
全响应= 零输入响应 + 零状态响应
3.1 LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
y(1) 0，y(2)
1， 2
求该系统的零输入响应。
解： 初始值
yzi (k) 3 yzi (k 1) 2 yzi (k 2) 0 yzi (1) y(1) 0
1 yzi (2) y(2) 2 yzi (0) 3yzi (1) 2yzi (2) 1
yzi (1) 3 yzi (0) 2 yzi (1) 3
yp(k 2) Psin(0.5 (k 1)) Qcos(0.5 (k 1))
Pcos(0.5k) Qsin(0.5k)
将 yp (k) Pcos(0.5 k) Qsin(0.5 k)，
yp (k 1) P cos(0.5 (k 1)) Qsin(0.5 (k 1)) P sin(0.5 k) Q cos(0.5 k)
j0
i0
yzs (1) yzs (2) yzs (n) 0
若特征根为单根，则零状态响应
n
yzs (k) Czsj kj y p (k) j 1
注： yzs (0), yzs (1),, yzs (n 1) 不一定为零
例3.1-5 若描述某系统的差分方程为
y(k) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k) 已知 f (k) 2k，k 0 ，求该系统的零状态响应。
n阶齐次方程： 齐次解由形式为Cλk 的序列组合而成，代入方程
y(k) an1y(k 1) a0 y(k n) 0
Ck Can1k1 Ca0kn 0
C 0 kn 0
特征方 程
得
n
a n1 n1
a1
a0
0
特征根 1, 2,n
不同特征根形式对应不同的齐次解形式。
2. 特解 ——特解的函数形式与激励的函数形式有关
23
4
y(k)
2
1 2
k
3
1 3
k
2 cos(0.5 k )
4
k 0
自由响应 瞬态响应
强迫响应 稳态响应
三、零输入响应yzi(k) 定义：系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应
n
m
an j y(k j) bmi f (k i)
j0
i0
齐次方程
n
an j yzi (k j) 0
特征方程 2 3 2 0
1 1，2 2
齐次解
yzi (k) Czi1(1)k Czi 2(2)k
根据初始值得 yzi (0) Czi1 Czi 2 1 yzi (1) Czi1 2Czi 2 3
Czi1 1，Czi 2 2
零输入响应 yzi (k) (1)k 2(2)k，k 0
a1f1(k) a2f2(k)
二阶差分 2 f (k) [f (k)] [ f (k) f (k 1)] f (k) f (k 1) f (k) 2 f (k 1) f (k 2)
后向差分方程的一般形式
F[k, y(k),y(k), ,n y(k)] 0 或 G[k, y(k), y(k 1),, y(k n)] 0
特解：yp(k) k 2，k 0
yzs (k) (
2
)k
[C2
cos(k
4
)
D2
s
i
n
(k
4
)]
k
2，k
0
yzs (0) C2 2 0
2
2
yzs (1)
2(Cs 2 Cs
)31 2
yzs (k) 2(
2)k cos(k ) k 2，k 0
4
C2 2，D2 0
y(k) yzi (k) yzs (k)
yp (k 2) P sin(0.5 (k 1)) Q cos(0.5 (k 1)) P cos(0.5 k) Qsin(0.5 k)
代入 6y(k) 5y(k 1) y(k 2) f (k)
得到：(6P 5Q P)cos(0.5 k) (6Q 5P Q)sin(0.5 k)
C1
1，C2
1 4
全解为： y(k) (k 1 )(2)k 1 (2)k，k 0
4
4
自由响应 强迫响应
|λ|>1，自由响应随k的增大而增大
例3.1-3 若描述某系统的差分方程为
6y(k) 5y(k 1) y(k 2) f (k)
初始条件y(0)=0，y(1)= 1，激励 f (k) 10 cos(0.5 k), k 0。
求方程的全解。
解： (1) 齐次解 62 5 1 0
1
1 2
, 2
1 3
yh
(k
)
C1
1 2
k
C2
1 3
kLeabharlann (2) 特解 yp(k) Pcos(0.5k) Qsin(0.5k)，
yp(k 1) Pcos(0.5 (k 1)) Qsin(0.5 (k 1))
Psin(0.5k) Qcos(0.5k)
求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：(1) 零输入响应
yzi (k) 2 yzi (k 1) 2 yzi (k 2) 0
yzi (1) y(1) 1，yzi (2) y(2) 0.5
特征方程 2 2 2 0
j
1，2 1 j1 2e 4
yzi (k) (
2
)k
j0
设激励在k=0时接入系统，则
yzi (1) y(1), yzi (2) y(2),, yzi (n) y(n)
系统的初始状态：y(1)，y(2)，，y(n)
例3.1-4 若描述某系统的差分方程为
y(k) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k)
已知f(k)=0，k<0，初始条件
D1
2)0 2
C1 1，D1 1
yzi (k) (
2)k[cos(k ) sin(k )]，k 0
4
4
(2) 零状态响应
yzs (k) 2yzs (k 1) 2yzs (k 2) f (k) yzs (1) yzs (2) 0 yzs (k) 2 yzs (k 1) 2 yzs (k 2) k
1 3
，C
zs
2
1
零状态响应
yzs
(k
)
1 3
(1)k
(2)k
1 3
(2)k，k
0
全响应 y(k) yzi (k) yzs (k)
n
n
y(k) Czijkj Czsj kj y p (k)
j 1
j 1
零输入响应
零状态响应
n
C
k
jj
y p (k )
j 1
自由响应 强迫响应
n
n
n
C jkj Czijkj Czsj kj
yzs (0) 2 yz（s 1） 2 yz（s 2） 0 yzs (1) 2 yz（s 0） 2 yz（s 1） 1 1 特解：yp(k) P1k P0 P1k P0 [P1(k 1) P0] 2[P1(k 2) P0] k
P1k P0 2P1 k
P1 1，P0 2