2021届安徽省六安市新安中学高三上学期第三次月考数学试题

新安中学2020-2021学年度（上）高三第三次月考
数学试卷
一、单选题（5*12））
1．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4
B ．–2
C ．2
D ．4
2．设命题:p 0(0,)x ∃∈+∞，00
1
3x x +>；命题q ：(2,)x ∀∈+∞，22x x >，则下列命题为真的是（） A ．()p q ∧⌝ B ．()p q ⌝∧
C ．p q ∧
D ．()p q ⌝∨
3．设2log 3a =，13
log 2
b =，20.4
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
4．已知函数()2
12log ,01,
1x x f x x x -<<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，则()4f f =⎡⎤⎣⎦（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．4
5．函数y =2x sin2x 的图象可能是()
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设角α的终边与单位圆相交于点34
(,)55
P -，则sin cos αα-的值是（）
A ．75-
B ．15-
C ．15
D ．75
7．已知1cos 63πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值为（）
A ．1
3
B ．13
-
C D ．3
-
8．2
2
(x dx -=⎰（）
A ．π
B ．4π
C ．3π
D ．2π
9．将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π
个单位后，得到()f x 的图象，则（）
A ．()sin 2f x x =-
B ．()f x 的图象关于3
x π
=-
对称
C ．71
(
)32
f π= D ．()f x 的图象关于(,0)12
π
对称
10．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '-<，则下列一定成立的为
A ．
()
()
f f e e
ππ
>
B ．()()f f e π<
C ．
()
()
f f e e
ππ
<
D ．()()f f e π>
11．在ABC 中，若sin cos sin A C B ，则ABC 的形状为（） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．无法判断
12．已知函数2
1log |2|,1()(1)5,1
a x x f x x a x +-≤⎧=⎨-+>⎩(0a >，且1a ≠)在区间(,)-∞+∞上为单调函数，若函数|()|2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）
A ．13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．12,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C．
1313
,
5520⎡⎤⎧⎫
⎨
⎬
⎢⎥
⎣⎦⎩⎭
D．
1213
,
5520
⎡⎤⎧⎫
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦⎩⎭
二、填空题（5*4）
13．已知()538
f x x ax bx
=++-，若()210
f-=，则()2
f=．
14．已知
1
tan(5)
2
πα
-=-，tan()1
βα
-=，则tanβ=_________.
15．曲线2
3()e x
y x x
=+在点(0,0)处的切线方程为___________．
16．已知函数
()2
log ,02
sin,210
4
x x
f x
x x
π
⎧<<
⎪
=⎨⎛⎫
≤≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎩，若1234
x x x x
<<<且
()()()()
1234
f x f x f x f x
===，则
()()
34
12
22
x x
x x
--
的取值范围为___________
三、解答题（10+12+12+12+12+12）
17．设2
:2310
p x x
-+≤，2
:(21)(1)0
q x a x a a
-+++≤，若p
⌝是q
⌝的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．已知()
()()
()()
sin cos sin
2
cos sin
f
π
πααα
α
παα
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
=
+-
.
（1）化简()
fα；
（2）若角A是ABC的内角，且()
3
5
f A=，求tan sin
A A
-的值.
19．已知向量()
2sin,sin2
x
a x
=-，()
23sin,2
x
b=-，函数()231
f x a b
=⋅++.
（1）求函数()
f x的最小正周期；
（2）求函数()f x 的单调递减区间.
20．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 2sin a B =⋅. （1）求A ；
（2）若7a =，ABC 的面积为22b c +的值.
21．设函数()ln 1f x x ax =--，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a >时，若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围.
22．已知函数()x
f x mx e =-（e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知函数()f x 在1x =处取得极大值，当[]0,3x ∈时，恒有2
()0x f x ex p
-+<，求实数p 的
取值范围.
参考答案
1B2A3C4A5D6D7A8D9B10C11C12C 13．26-14．315．30x y -=.16．()0,12
17．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
由题意得，命题1:|
12p A x x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，命题:{|1}q B x a x a =≤≤+， p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， p ∴是q 的充分不必要条件，
即A B ⊆，
11a ∴+≥且12
a ≤
， 1
02
a ∴≤≤
， 故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
18．（1）()cos f
αα=；
（2）8
15
. （1）()()()()()sin cos sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin f ππααααααααπαααα
⎛⎫
--+ ⎪
⎝⎭=
==+-；
（2）因为()3
cos 5
f A A ==
，又角A 是ABC 的内角，则角A 为锐角，
所以，4sin 5A ==
，sin 4
tan cos 3
A A A =
=， 因此，448tan sin 3515
A A -=
-=. 19．（1）最小正周期是π；（2）单调递减区间为5,12
12k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
(k ∈Z ). （1）因为()2sin ,sin 2x a x =-，()
23sin ,2x b =-
所以2
1cos 243sin 2sin 22sin 2
22sin 22x
x x x x a b x -=--=--=-⋅- 所以()22sin 214cos 216x f x x x π⎛⎫
=-+=+
+ ⎪⎝
⎭
故函数()f x 的最小正周期是22
T π
π=
=. （2）由()4cos 216f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭，得2226
k x k π
πππ≤+≤+(k ∈Z )， 解得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+(k ∈Z )， 所以函数()f x 的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
(k ∈Z ).
20．（1）3
A π
=
；（2）89.
（12sin sin B A B =. 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠
所以sin A =
，而02A π<<，所以3A π=.
（2）因为11sin 222
ABC S bc A bc =
=⨯=△40bc =. 由余弦定理得：222cos6049b c bc -︒+=，
所以224989b c bc +=+=.
21．()1当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞，
当0a >时，()f x 的增区间是10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
()221,.e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
()()1ln 1f x x ax =--，()11'ax f x a x
x
-=-=，(0)x >，
①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，
②当0a >时，令()'0f x <，解得1
x a
>
； 令()'0f x >，解得10x a
<<
， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,∞+，
当0a >时，函数()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，减区间是1,a
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；
()2依题意，函数()f x 没有零点，
即()ln 10f x x ax =--=无解，
由(1)知：当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，区间1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上为减函数， 只需111ln 1ln 20f a a a a a ⎛⎫
=-⋅-=--<
⎪⎝⎭
， 解得2a e ->．
∴实数a 的取值范围为21,.e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
22．（1）答案见解析；（2）24(,0),e ⎛⎫
-∞⋃+∞
⎪⎝⎭
. 【详解】
（1）因为函数()x
f x mx e =-，所以()x
f x m e '=-，
若0m ≤，则()()0,f x f x '<在R 上单调递减； 若0m >，令()0f x '=，则x lnm =，
当x lnm <时，()()0,f x f x '>单调递增；当x lnm >时，()()0,f x f x '<单调递减， 综上所述，当0m ≤时，函数()f x 在R 上单调递减；
当0m >时，函数()f x 的单调增区间为(
),lnm ∞﹣，单调减区间为(),lnm +∞. （2）
()f x 在1x =处取得极大值，由（1）知，0m ≤不符合题意，
故0m >，此时()f x 在ln x m =处取得极大值，
1lnm ∴=，解得(),x m e f x ex
e =∴=﹣. 2
()0x f x ex p -+<在[]0,3x ∈恒成立，
2
0x
x e p
∴-+<在[]0,3x ∈上恒成立，显然0p ≠，
当0p <时，2
0x
x e p
-+<恒成立，符合题意； 当0p >时，问题可转化为2
x x p e >在[]0,3x ∈上恒成立，
设2
()([0,3])x
x g x x e
=∈，则2
2()x
x x g x e '
-=
， 当[)0,2x ∈时，()()'0,g x g x ≥单调递增； 当(]2,3x ∈时，()()'0,g x g x <单调递减.。