立体几何建系描点专题讲义

立体几何建系设点专题
考点分析：引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进展繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进展向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系〞，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、熟悉几个补形建系的技巧
根本模型：长方体 ；
〔1〕三棱锥P ABC -,其中,2
PA ABC ABC π
⊥∠=
.
特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。

建系方法：
〔2〕四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。

建系方法：
〔3〕正四面体A-BCD 建系方法：
〔4〕两个面互相垂直建系方法
二、建立空间直角坐标系的三条途径
途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系〔如正三棱柱、正四棱柱等〕，利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例1、两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． 〔1〕证明：PQ ⊥平面ABCD ； 〔2〕求异面直线AQ 与PB 所成的角； 〔3〕求点P 到平面QAD 的距离．
途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用
面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系． 例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点． 〔1〕证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；
〔2〕设12AA AC AB ==，求二面角1
1A AD C --的大小． 练习题：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==． 〔I 〕设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；
〔II 〕证明：在ABO ∆存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离． 途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．
P
A B
C
A
B
C
D
P
例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
，
OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

〔Ⅰ〕求异面直线AB 与MD 所成角的大小； 〔Ⅱ〕求点B 到平面OCD 的距离。

练习题：
在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：A 1A ⊥BC ；
〔Ⅱ〕当侧棱AA 1和底面成45°角时，求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；
三、求点的坐标的两条途径
途径一、作该点在*Oy 面上的投影，转化成求该投影的横、竖坐标〕。

途径二、过该点和z 轴作*Oy 例4.如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a 建立适当的坐标系，
⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
分析：〔1〕所谓“建立适当的坐标系〞，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；
〔2〕首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之
解：〔1〕建系如图，则A 〔0，0，0〕 B 〔0，a,0〕
练4有点的坐标。

〔1〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E PC 的中点.
〔2〕如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，为1CC 中点．
立几建系设点专项练习
1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1值为〔 〕 C 1
A P
E
B
C
D
1
B
A ．sin
36 B ．sin 3
3
C ．sin 26
D ．都不对
2.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为〔 〕
A ．
2
2
B ．
5
15C ．46 D ．36
3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。

4.四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，
AC PB ⊥，E 为PD 的中点，
〔1〕求证：PB ∥ 平面AEC ； 〔2〕求二面角E —AC —D 的大小.
5.如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． 〔1〕证明：AE PD ⊥；
〔2〕假设H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
E A
F C --的余弦值．
6.如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°，△PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD 〔1〕求cos 〈AB ，PD 〉的值；
〔2〕假设E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求|EF |的值； 〔3〕求二面角P —BC —D 的大小
7.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，
//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．
〔1〕求证：平面PAB ⊥平面PCB ； 〔2〕求证：PD ∥平面EAC ；
〔3〕〔理〕求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
8.三棱锥C OAB -的底面OAB 是边长为4的正三角形，CO ⊥平面OAB 且2CO =，设D 、E 分别是OA 、AB 的中点。

〔I 〕求证：OB ∥平面CDE ；〔II 〕求二面角O DE C --的余弦值．
9.如下图，AF 、DE 分别是圆O 、圆1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是圆O 的直径，6AB AC ==,//OE AD .
P
B
E
C D
F
A
(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角的余弦值.
10.如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． 〔Ⅰ〕证明：AE PD ⊥；
〔Ⅱ〕假设H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值
E A
F C --的余弦值． P
B
E
C
D
F
A。