中考数学复习讲义课件 第5单元 第22讲 矩形、菱形、正方形

(2)若四边形 BFDE 是菱形，AB＝2，求菱形 BFDE 的面积．
解：∵四边形 BFDE 为菱形， ∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，∠ABC＝90°.∴∠ABE＝30°. ∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝AB·tan30°＝233，BF＝BE＝2AE＝433. ∴菱形 BFDE 的面积为433×2＝833.
(3)当∠B 为多少度时，四边形 BCFD 是菱形？ 解：当∠B＝60°时，四边形 BCFD 是菱形． ∵∠B＝60°，∴BC＝12AB．∵DB＝12AB， ∴DB＝BC．又四边形 BCFD 是平行四边形， ∴四边形 BCFD 是菱形．
12．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作： 将△ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点，将△CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点． (1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形；
1．(2013·邵阳)如图，将△ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180°得到△CDA，
添加一个条件 ∠B＝90°(答案不唯一)
，使四边形 ABCD 为矩形．
2．(2021·株洲)如图，线段 BC 为等腰△ABC 的底边，矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O，若 OD＝2，则 AC＝ 4 ．
[分析] (1)根据平行四边形和角平分线的性质可得 AB＝BE，AB＝AF，AF ＝BE，可证明四边形 ABEF 是平行四边形，从而证明四边形 ABEF 是菱形； (2)作 PH⊥AD 于 H，根据四边形 ABEF 是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， 得到 AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，从而得到 PH＝ 3， DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
第五单元 四边形
第22讲 矩形、菱形、正方 形
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
矩形的相关证明与计算(10 年 5 考) 例 1 如图，在▱ ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上， DF＝BE，连接 AF，BF. (1)求证：四边形 BFDE 为矩形； [解答] 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DF∥BE. 又 DF＝BE，∴四边形 BFDE 是平行四边形． 又 DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形 BFDE 是矩形．
9.(2021·益阳)如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，从①AB＝AD，② AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC 中选择一个作为条件，补充后使四边形 ABCD 成为菱形，则其选择是 ① (限填序号)．
[解析] ①∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形 ABCD 是菱形； ②∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形； ③∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC． 因此，不能推出四边形 ABCD 是菱形． 故答案为①.
8．(2021·湘西州)如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CD，交 AD 于点 F，如果 EF＝5.5，那么菱形 ABCD 的周长是( D )
A．11 B．22 C．33 D．44
[解析] ∵点 E 是 AC 的中点，∴AE＝EC＝12AC． ∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD． ∴AACE＝CEDF＝12.∴CD＝2EF＝11. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD． ∴菱形 ABCD 的周长为 4×11＝44. 故选 D．
[解析] ∵四边形 ADBE 是矩形， ∴AB＝DE，OA＝OB，OD＝OE. ∴AB＝DE＝2OD＝4. ∵AB＝AC，∴AC＝4.
3.(2021·扬州)如图，在△ABC 中，AC＝BC，矩形 DEFG 的顶点 D，E 在
AB 上，点 F，G 分别在 BC，AC 上，若 CF＝4，BF＝3，且 DE＝2EF， 12
(2)若 tan∠ABD＝23，求线段 BG 的长度．
解：∵四边形 BFED 是平行四边形， ∴DB∥EF.∴∠ABD＝∠F. ∴tan∠ABD＝tanF＝23，即BBGF＝23. 又∵BF＝2，∴BG＝43.
6.(2021·长沙)如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△OAB 是等 边三角形，AB＝4. (1)求证：▱ ABCD 是矩形； 证明：∵△OAB 为等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD＝12BD，OA＝OC＝12AC． ∴BD＝AC＝8.∴▱ ABCD 是矩形．
(2)求 AD 的长．
解：∵▱ ABCD 是矩形，∴∠BAD＝90°. ∴AD＝ BD2－AB2＝ 82－42＝4 3.
1.矩形的判定：首先判定该四边形为平行四边形，然后找角或对角线的关 系．若角度容易求，则证其一内角为 90°，便可判定是矩形；若对角线容 易求，则证其对角线相等即可判定为矩形．
7.(2012·邵阳)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＜90°，边 BC，CA，AB 的中点分别是 D，E，F，则四边形 AFDE 是( A )
A．菱形 C．矩形
B．正方形 D．梯形
[解析] ∵边 BC，CA 的中点分别是 D，E， ∴线段 DE 是△ABC 的中位线． ∴DE＝12AB，DE∥AB． 同理，DF＝12AC，DF∥AC． 又 AB＝AC，∠A＜90°， ∴DE∥AF，DF∥AE，DE＝DF. ∴四边形 AFDE 是菱形．故选 A．
DG＝EF， ∴△ADG≌△BEF(AAS)．∴AD＝BE＝34x. 在△BEF 中，BE2＋EF2＝BF2， 即34x2＋x2＝32.解得 x＝152或－152(舍去)．∴EF＝152.
4．(2021·益阳)如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，∠DBC＝30°，求 AC 的长．
解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°. 又∵∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD＝2×6＝12. ∴AC＝12.
(2)若 AE＝3，BF＝4，AF 平分∠DAB，求 BE 的长． [解答] 解：∵四边形 BFDE 是矩形，BF＝4， ∴DF∥AB，DE＝BF＝4，DF＝BE.∴∠DFA＝∠FAB． 又 AF 平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB． ∴∠DFA＝∠DAF.∴DF＝DA．∴BE＝DA． ∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°. 在 Rt△ADE 中，DA＝ AE2＋DE2＝ 32＋42＝5， ∴BE＝5.
2．与矩形有关的计算： (1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等， 即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角； (2)矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中， 常用勾股定理、特殊角三角函数进行计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，根据矩形对角线的关系应用 全等三角形的判定或等腰三角形的性质进行求解．
(2)若 AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求 tan∠ADP 的值． [解答] 解：作 PH⊥AD 于 H. ∵四边形 ABEF 是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF. ∴AP＝12AB＝2，∠APH＝∠AFB＝30°. ∴AH＝1，PH＝ 3，DH＝5. ∴tan∠ADP＝DPHH＝ 53.
解：如图所示．
(2)求证：四边形 BCFD 是平行四边形； 证明：根据作图可知 MN 垂直平分线段 AC． ∴E 为线段 AC 的中点，DE⊥AC． 又∠ACB＝90°，∴DE∥BC． ∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE＝12BC，DE∥BC． ∵将△ADE 绕点 E 顺时针旋转 180°，点 D 的像为点 F， ∴EF＝ED．∴DF＝BC． 又 DE∥BC，∴四边形 BCFD 是平行四边形．
菱形的相关证明与计算(10 年 7 考) 例 2 如图，在▱ ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，BF 平分∠ABC， 交 AD 于点 F，AE 与 BF 交于点 P，连接 EF，PD． (1)求证：四边形 ABEF 是菱形；
[解答] 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE 平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠BAE＝∠AEB．∴AB＝BE. 同理，AB＝AF.∴AF＝BE. ∴四边形 ABEF 是平行四边形． 又 AB＝BE，∴四边形 ABEF 是菱形．
1.在判定菱形时，首先观察背景图形： (1)若是平行四边形，则直接找相等的邻边或证对角线垂直； (2)若是四边形，则判断四条边相等，或者判断该四边形是平行四边形，然 后再证明是菱形．
2．与菱形有关的计算： (1)求角度时，应注意菱形的四条边相等、对角相等、邻角互补等，可利用等腰三 角形的性质和平行线的相关性质转化要求的角，直到找到与已知角的关系； (2)求长度(线段或周长)时，应注意到利用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个 角为 60°，则连接另外两顶点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在 计算时，可借助等边三角形的性质进行求解；若菱形中存在直角三角形，则应注 意利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三 角形等进行计算； (3)求面积时，有：①底×高；②利用菱形的对角线互相垂直，得到 S 菱形＝21×两 条对角线之积．根据所给的条件选择合适的方法．
11．(2015·邵阳)已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图： ①分别以 A，C 为圆心，a 为半径(a＞12AC)作弧，两弧分别交于 M，N 两点； ②过 M，N 两点作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E； ③将△ADE 绕点 E 顺时针旋转 180°，设点 D 的像为点 F. (1)请在图中直线标出点 F 并连接 CF；
则 EF 的长为 5 ．
[解析] 设 EF＝x，则 DE＝2x. ∵四边形 DEFG 是矩形，∴DG＝EF，GF＝DE，GF∥AB． ∴△CGF∽△CAB．∴GABF＝CCFB＝4＋4 3＝47，即A2xB＝47.∴AB＝72x. ∴AD＋BE＝AB－DE＝72x－2x＝32x. 在△ADG 和△BEF 中，∠∠AA＝DG∠＝B∠，BEF，
5．(2021·株洲)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在线段 CD 上，点 F 在线段 AB 的延长线上，连接 EF 交线段 BC 于点 G，连接 BD，若 DE＝BF＝2. (1)求证：四边形 BFED 是平行四边形；
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC∥AB，即 DE∥BF. 又∵DE＝BF， ∴四边形 BFED 是平行四边形．
10．(2021·长沙)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 边 AB 的中点，若 OE＝6，则 BC 的长为 12 ．
[解析] ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，且 BD⊥AC． ∵点 E 是边 AB 的中点， ∴OE＝AE＝EB＝12AB． ∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12.
[分析] (1)根据平行四边形性质得出 DF∥BE，得出四边形 BFDE 是平行 四边形，根据 DE⊥AB 即可求证； (2)根据矩形的性质求出 DE＝BF＝4，根据勾股定理求出 AD，同时求出 AD ＝DF，即可得出答案．
[点评] 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判推理是解此题的关键．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD． ∴∠ABD＝∠CDB． 由折叠性质知，∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB． ∴∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠CDB． ∴∠EBD＝∠FDB．∴EB∥DF. 又 ED∥BF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．