常微分方程(王素云)-第3章
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为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2) 进行讨论，我们引进一些记号和概念.
第3章 线 性 方 程
称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可 微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是连续 （或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积 分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩 阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列 是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它的每一个相应 元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项 f (t) 0
，
即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性
微分方程组.
初值条件
xi (t0 ) i , (i 1, 2, , n)
也可简记为
x(t0 ) ξ,
其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊 说明，都是指列向量.
(3.1)
的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这里aij、fi
(i,j=1,…,n) 都是区间I上的已知函数.
第3章 线 性 方 程
为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记
d x1
x1
x
,
xn
dx dt
dt d xn
,
a11(t)
A(t)
an1(t)
dt
续解，且只能有一个连续解.
第3章 线 性 方 程
(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列， 即
0 (t) ξ,
t
k (t) ξ t0 (A(s)k1(s) f (s)) d s, k 1, 2 , .
用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义 且连续.
如果
x1
a11
a1n
x
,
A
xn
an1
ann
第3章 线 性 方 程
则记
n
nn
x xi , A aij ,
i 1
i1 j1
而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，
容易推出如下几个不等式：
(1)|Ax|≤|A|·|x|.
(2)若B也是n×n矩阵，则|AB|≤|A|·|B|；特别对任意
程组：
t
x(t) ξ (A(s)x(s) f (s)) d s, (3.5) t0
等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，
则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分
方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.
这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连
在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法， 利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用 初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注意力 转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去 探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲 述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法.
由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本 章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程 组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方 程组,是指形如
d x1
dt
a11 (t ) x1
d
xn
dt
an1(t)x1
a1n (t)xn f1(t), ann (t)xn fn (t)
第3章 线 性 方 程
本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方 程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表 达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的 通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理 论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.
第3章 线 性 方 程
自然数m，有
Am A m
第3章 线 性 方 程 (3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x|+|y|. (4)若x(t)是n维向量，且在a≤t≤b上连续，则
b
b
a x(t) d t a x(t) d t
第3章 线 性 方 程
3.2 解的存在性与唯一性
对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是， 它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进 而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到 满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定 理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线 性微分方程理论的基础.
第3章 线 性 方 程
(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意 有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组
(3.5)在区间I上的连续解.
事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且 t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数
(m (t) m1 (t))
第3章 线 性 方 程
第3章 线 性 方 程
3.1 引言 3.2 解的存在性与唯一性 3.3 齐次线性方程组通解的结构 3.4 非齐次线性方程组通解的结构 3.5 边值问题和周期解 3.6 高阶线性方程 3.7 线性微分方程的一些求解方法 3.8 线性方程的复值解
第3章 线 性 方 程 3.1 引 言
a1n (t)
f1(t)
,
f
(t
)
.
ann (t)
fn (t)
则方程组(3.1)可以简写为
d x A(t)x f (t), dt
其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.
f(t)≡0时，式(3.2)变成
d x A(t)x, dt
(3.2) (3.3)
第3章 线 性 方 程
m1
(3.7)
在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一个 公共上界.于是当t∈I1时,有
t
1(t) 0 (t)
第3章 线 性 方 程
定理3.1 设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一
t0∈I和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I 上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有
一个解满足初值条件式(3.4).
证明 这个定理的证明分4步完成.
(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)
第3章 线 性 方 程
称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可 微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是连续 （或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积 分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩 阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列 是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它的每一个相应 元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项 f (t) 0
，
即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性
微分方程组.
初值条件
xi (t0 ) i , (i 1, 2, , n)
也可简记为
x(t0 ) ξ,
其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊 说明，都是指列向量.
(3.1)
的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这里aij、fi
(i,j=1,…,n) 都是区间I上的已知函数.
第3章 线 性 方 程
为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记
d x1
x1
x
,
xn
dx dt
dt d xn
,
a11(t)
A(t)
an1(t)
dt
续解，且只能有一个连续解.
第3章 线 性 方 程
(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列， 即
0 (t) ξ,
t
k (t) ξ t0 (A(s)k1(s) f (s)) d s, k 1, 2 , .
用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义 且连续.
如果
x1
a11
a1n
x
,
A
xn
an1
ann
第3章 线 性 方 程
则记
n
nn
x xi , A aij ,
i 1
i1 j1
而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，
容易推出如下几个不等式：
(1)|Ax|≤|A|·|x|.
(2)若B也是n×n矩阵，则|AB|≤|A|·|B|；特别对任意
程组：
t
x(t) ξ (A(s)x(s) f (s)) d s, (3.5) t0
等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，
则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分
方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.
这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连
在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法， 利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用 初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注意力 转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去 探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲 述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法.
由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本 章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程 组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方 程组,是指形如
d x1
dt
a11 (t ) x1
d
xn
dt
an1(t)x1
a1n (t)xn f1(t), ann (t)xn fn (t)
第3章 线 性 方 程
本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方 程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表 达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的 通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理 论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.
第3章 线 性 方 程
自然数m，有
Am A m
第3章 线 性 方 程 (3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x|+|y|. (4)若x(t)是n维向量，且在a≤t≤b上连续，则
b
b
a x(t) d t a x(t) d t
第3章 线 性 方 程
3.2 解的存在性与唯一性
对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是， 它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进 而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到 满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定 理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线 性微分方程理论的基础.
第3章 线 性 方 程
(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意 有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组
(3.5)在区间I上的连续解.
事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且 t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数
(m (t) m1 (t))
第3章 线 性 方 程
第3章 线 性 方 程
3.1 引言 3.2 解的存在性与唯一性 3.3 齐次线性方程组通解的结构 3.4 非齐次线性方程组通解的结构 3.5 边值问题和周期解 3.6 高阶线性方程 3.7 线性微分方程的一些求解方法 3.8 线性方程的复值解
第3章 线 性 方 程 3.1 引 言
a1n (t)
f1(t)
,
f
(t
)
.
ann (t)
fn (t)
则方程组(3.1)可以简写为
d x A(t)x f (t), dt
其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.
f(t)≡0时，式(3.2)变成
d x A(t)x, dt
(3.2) (3.3)
第3章 线 性 方 程
m1
(3.7)
在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一个 公共上界.于是当t∈I1时,有
t
1(t) 0 (t)
第3章 线 性 方 程
定理3.1 设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一
t0∈I和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I 上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有
一个解满足初值条件式(3.4).
证明 这个定理的证明分4步完成.
(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)