量子力学(第五章中心力场)

1.角动量守恒与径向方程
在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量
L r p 守恒。这个结论,对于经典粒子
是明显的,因为
d dr dp L pr dt dt dt
v mv r F r [V (r )]
r dV r 0 r dr
第五章 中心力场
本章所讲的主要内容
一般性质(5.1) 无限球方势阱(5.2)
三维各向同性谐振子(5.3) 氢原子(5.4)
§5.1
中心力场中粒子运动的一般 性质
无论经典力学或是量子力学中,中心力场都 占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力 场－Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振 子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能 够精确求解的少数几个问题中的几个。中心 力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。
而在边界上要求
Rl (r ) |r a 0
引进无量纲变量
(11)
(12)
kr
则式(10)化为
l (l 1) d 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 d d
2
(13)
此即球Bessel方程。令 可求出 u l 满足下列方程
Rl ul ( )
所以，径向波函数的两个解为 1 1 Rl J l 1/ 2 ( ) ， J l 1/ 2 ( )


通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数 表示，其定义如下
jl ( ) Jl 1/ 2 ( ) 2
nl ( ) (1)
l 1
当 0 时，它们的渐进行为是
由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m , 因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心 力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的 取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量 与角动量量子数 l 有关，而对于给定 l 的情况 下， m l , l 1, , l 1, l 共计有 2l 1 个 可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子 能级一般为 (2l 1) 重简并。
0 r a, l 0
2
(8)
满足

a
0
( r ) n l r dr 1
(9)
不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的
l 0 的能级和波函数，与一维无限深方势阱
(宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只
是在那里量子数 n 1, 2,3
,相当于这里的
径向量子数 (nr 1) , nr 0,1, 2,3 。 其次考虑 l 0 的量子态，此时，径向波 函数 Rl (r ) 满足下列微分方程： 2 l (l 1) 2 Rl (r ) Rl (r ) k R ( r ) 0 l 2 r r (10) 0ra

2
2Mห้องสมุดไป่ตู้
( R) EC ( R)
2 R
2 2 2 V (r ) (r ) E (r )
E ET EC
式（22）描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程，
是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构
EC 无关。式（ 23）描述相对运动，E 是相对运动能量，
J l 1/ 2 ( ) 2
l
(16)
jl ( ) (2l 1)!!
(17) 按照前面的讨论,无限深势阱中粒子的定态波 函数只能取前者,即
0
nl ( ) (2l 1)!!
0
(l 1)
定,
(18) Rkl (r ) Ckl jl (kr ) 其中 Ckl 为归一化常数，k(或能量E)由边条件 (5b)确
因而
1 4 r r
2

2
(14)
2 (r ) V (r ) E 0 m
1/ r 不是薛定谔方程(4) 不难由此推断，
的解(如果将 r=0 包含在内)。这样我们得到
如下结论：量子力学中求解求解中心力场径
向方程 (6)时，在 r→0 处只有 Rl (r ) r l 的解才是物理上可以接受的,或等价地，要 求径向方程(8)的解 l (r ) 满足:
的解同时也可选为 ( L , L z )的本征态,即
2
(r, , ) Rl (r)Ylm ( ,)
l 0,1, 2, m l , l 1, , l
(5)
代入式(4)，可得出径向波函数 Rl (r ) 满足的
方程:
d2 2 d l (l 1) 2 R (r ) Rl (r ) 2 E V (r ) 2 Rl (r ) 0 2 l dr r dr r
(6)
在求解方程(6)时，有时作如下替换是方便的。
令
代入(6)式 ,得:
Rl (r ) l (r ) / r
(7)
2 l (l 1) l(r ) 2 E V (r ) l (r ) 0 2 r (8)
在一定的边条件下求解径向方程，即可得出 粒子能量本征值 E。对于非束缚态，能量 E 是 是连续变化的。对于束缚态，则能量 E 是量子化的。
s 3 / 2 。因此当 l 0 时, Rl (r ) r (l 1)
的解就必须抛弃。但是对于 l 0 的解
R0 (r ) 1/ r 并不违反此要求。
然而 l 0 的解 R0 (r )Y00
并不满足薛定谔方程(4)(如将r=0包含在内的 话),因为
1 1 R0 (r ) r 4
k 2 E / ,
则
2 0 k 0 0
( E 0)
(3)
(0 r a) (4)
边条件为
0 (0) 0 0 (a) 0
按边条件(5a),方程（4）的解可表示为
(5a)
(5b)
0 (r ) sin kr
再利用边条件（5b），得
(0 r a)
其物理意义是：粒子所受到的力矩 (相对于 力心)为零。考虑到 L r L p 0 ，而 L 又 是守恒量，中心力场中的粒子运动必为平面
运动，平面的法线方向即 L 的方向。 在量子力学里，不难证明，角动量也是 守恒量。因为角动量算符 L r p 与 Hamilton量
2
是对易的
1 pr 2 ,称为径向动能， 大。第一项可表为 2m 其中：
1 pr i pr r r
是径向动量。注意，由于 L 的各分量都是守
恒量，而各分量并不对易，故一般有简
并。考虑到
L
2
也是守恒量，而且与 L 的每个
分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以 2 方便地选为 ( H , L , L z ) , 即能量本征方程（4）

2
(14)
l 1/ 2 ul ul 1 2 1
ul 0
(15)
这正是半奇数 l 1/ 2 阶Bessel方程 ( l 0,1, 2 )，它的两个线性无关解可以表示 为
Jl 1/ 2 ( )
， J l 1/ 2 ( )
d 2 dRl (r ) l (l 1) Rl (r ) Rl (r ) 0 2 2 (11) dr r dr r
2
在正则奇点 r=0 邻域,设 Rl (r ) r s ,代入式 (11)得:
s( s 1) l (l 1) 0
解之,得两个根:
(12)
s l , (l 1)
ET (r1, r2 )
(16)
ET 为体系的总能量，引进质心坐标 R 和相
对坐标 r
m1 r1 m2 r2 R m1 m2
(17) (18)
可以证明
r r1 r2
1 2 1 2 1 2 1 2 (19) 1 2 R m1 m2 M
其中 M m1 m2, m1m2 / m1 m2 (约化质量) 2 2 2 2 R 2 2 2 X Y Z
2 2 2 x y z
2 2 2 2
这样,方程(16)化为
2 2 2 2 2M R 2 V (r ) ET (20)
此方程可分离变量，令
( R) (r )
代入式（20），得
(21) (22) (23)
可以看出，式（23）与单粒子能量本征方程形式上
相同，只不过应把 m理解为约化质量，E理解为相对
运动能量。在氢原子问题中，我们感兴趣的是原子 的内部状态，即电子相对于核运动的波函数 所满 足的方程 ，这种相对运动的能量 E就是电子的能级。
§5.2 无限深球方势阱
考虑质量为 的粒子在半径为a的球形匣 子中运动，这相当粒子在一个无限深球方势阱 中运动
V (r )
E
0, r a, V (r ) (1) , r a.
它只存在束缚态 。
a r
0
先考虑最简单的情况，即s态( l 0 )，此 时，径向方程( 6.1节，式(8) )为： 2 (r ) 2 E V (r ) 0 (r ) 0 (2) 0 令
2 2
2
L r 2 2 r r r
2 2
2
(3)
能量本征方程可表示为:
2 2 2 1 L E r V ( r ) 2m r r 2 2mr 2
(4)
上式左边第二项称为离心势(centrifugal
potential)，角动量越大，则离心势能越
在束缚态边界条件下求解径向方程时,
将出现径向量子数 nr ，nr 0,1, 2, 于 E 只依赖于量子数 nr 和 故记为 En l 。
r
,它代表
波函数的节点数(r=0，r=∞不包括在内)。由
l ，与 m 无关，
在给定 l 的情况下随 nr 增大，En l 也增大, r 所以 nr 也可以作为能级( 给定 l )高低的 编序。与此类似,对给定 nr 的情况下，随 l 增大（离心势能增大）, En l也增大。按原子 r 光谱学的习惯，把
l 0,1, 2,3, 4,5,6,
的态分别记为:
(9)
s, p, d , f .g , h, i,
2. 径向波函数在r→0邻域的渐近行为 以下假定 V (r ) 满足:
limr V (r ) 0
2 r 0
(10)
通常我们碰到的中心力场均满足此条件。在
此条件下,当r→0时,方程(6)渐近地表示成
即径向波函数在 r→0 领域的行为：
Rl (r ) r 或 r
l
(l 1)
(13)
下面论证，渐近行为是 Rl (r ) r (l 1) 的
解必须抛弃。事实上，按照波函数的统计诠释,
在r≈0邻域任何体积元中找到粒子的概率都应 为有限值,当 r→0 ，若 Rl (r ) 1/ r s ，则要求
r 0 时 , l (r ) rRl (r ) 0
(15)
3.
两体问题化为单体问题
设两个质量分别为 m1和 m2 的粒子，相 互作用 V (| r1 r2 |) 只依赖于相对距离，这个 二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2 2 1 2 V (| r1 r2 |) (r1 , r2 ) 2m2 2m1
p H V (r ) 2 V (r ) 2m 2m
2
(1)
[ L, H ] 0
坐标是方便的。利用：
2 L p 2 r 2 r r r r
2 2 2 2 2
(2)
考虑中心力场V(r)的特点(球对称性)，选用求
2 L [ 2 ] 2 r r r r
ka (nr 1) ,
nr 0,1, 2,
(6)
此即确定粒子能量的式子。利用式(3) 得
(nr 1) E Enr ,0 , nr 0,1, 2, 2 2 a 相应的归一化波函数可表示为
2 2 2

,l 0
(7)
2 (nr 1) r nr 0 (r ) sin , a a