【教育资料】北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案学习专用

第二章实数复习教案
教学目标
知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进行实数的相关运算.4.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.
过程与方法:1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程.
3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.
4.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
情感态度与价值观:1.发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.
教学重难点
【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进行化简,并能利
用化简进行有关实数的简单四则运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.
知识总结
实数分为:
实数分类有理数
整数
分数
无理数
正无理数
负无理数
平方根定义 如果一个数的平方等于 即 那么这个数叫做的平方根表示 若 则
算术平方根 若 则的算术平方根为
立方根定义 如果一个数的立方等于 即 那么这个数叫做的立方根表示 若 则
二次根式定义 形如 的式子叫做二次根式
最简二次根式 被开方数不含分母 也不含能开得尽方的因数或因式
重要性质
积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则
专题讲座:
专题一实数的相关概念、性质和运算
【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法则和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.
无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的基础.实数是中学数学的重要基础,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.
下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
,.14159265,,-π,-1,-,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
〔解析〕整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数.
解:3.14159265,,-是有理数.,,-
π,-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.
[知识总结]此题考查有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.
[易错提示](-)2=5,是有理数,不是无理数.
【针对训练1】下列各数-,,π,-,()2中,是无理数的是.
〔解析〕根据无理数的定义判断.故填,π.
[解题策略]判断是不是无理数时,不要只看表面形式,如
-=-0.1,()2=2都是有理数.
计算.
(1) -; (2) 5-9 .
〔解析〕本题主要考查实数的运算法则及二次根式的化简.
解:(1) ---2=-.
(2)5-9=5-9
=10-9+2=10-3+2=9.
【针对训练2】(1)已知a,b满足-+|b+3|=0,求(a+b)2019的值;
(2)已知y=--2-+3,求x y的值.
解:(1)∵-≥0,|b+3|≥0,且-+|b+3|=0,∴
-=0,|b+3|=0,∴a=2,b=-3,∴(a+b)2019=(2-3)2019=(-1)2019=-1.
(2)∵2x-4≥0,4-2x≥0,∴2x-4=4-2x=0,∴x=2,∴y=0-0+3=3,∴x y=23=8.
[解题策略]运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.
【针对训练3】已知ΔABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为多少?
〔解析〕分ΔABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况.
解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.
[知识总结]此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.
专题二与二次根式有关的规律探究题
【专题分析】
二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探索题.
在解决此类题目时,通过已知条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.
1,,,按如图所示的方式排列.
若规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()
A.1
B.2
C.2
D.6
〔解析〕若将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,,,这四个数循环排列的数列,那么(m, n) 是第--+n=-+n个数,即 (4, 2) 是第-+2=8 个数,8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是.(21, 2) 是第-+2=212 个数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的数是,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.故选D.
【针对训练4】观察下列各式及其验证过程,然后回答后面的问题.
=2,验证:=2;
=3,验证:=3 .
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
〔解析〕(1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子相同,根号内的分母是分子的平方减去1.
解:(1) =4 .
验证如下:
= = = 4 .
(2)
-=n
-
.
验证如下:
--
--
=n
-
.
阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索: 设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有
a+b=m2+2n2+2mn ∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分形如a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a=,b=;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:
+=(+)2;
(3)已知a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
〔解析〕(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a,b的表达式.∵a+b
∴a+b=m2+3n2+2mn ∴a=m2+3n2,b=2mn.(2)首先确定好m,n的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a,b的值.设m=1,n=1,则a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然后即可确定a的值.
解:(1)m2+3n22mn
(2)421 1
(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,
∵4=2mn,且m,n为正整数,
∴m=2,n=1或m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.
【针对训练5】研究下列算式,你发现有什么规律?
=2;=3;
=4;=5……
请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.
解:=n+1(n为正整数).
【针对训练6】先观察下列等式,再回答下列问题:
①=1+-=1;
②=1+-=1;
③=1+-=1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).
解:(1) =1+-=1.
验证:= =1.
(2) =1+-=1+(n为正整数).
[方法归纳]找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.
专题三实数与数轴
【专题分析】
数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.
数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.
如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O',点O'所对应的数值是.
〔解析〕圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.
【针对训练7】若=-a, 则实数a在数轴上的对应点一定在()
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
〔解析〕当a≤0时,=-a.故选C.
【针对训练8】实数a, b在数轴上的位置如图所示,化简
|a-|+|b-|.
〔解析〕由数轴可知1<a<2<-1<b<0<.
解:原式=-a+-b=-a-b.
[方法归纳]数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.。