2015-2016年广东省深圳中学、华南师大附中四校联考高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）
1．（5分）设全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}，则下列关系中正确的是（）
A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．∁U（M∪P）=∅
2．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）
A．充分非必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
3．（5分）将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．121 B．132 C．142 D．154
5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）
A．4 B．8 C．2πD．4π
6．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f ﹣1（﹣9）的值为（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
7．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n ∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（5分）设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．4
9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，
BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．
10．（5分）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）
A．B．C．D．2
11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），若离心率（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（）
①在黄金椭圆C中，a、b、c成等比数列；
②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E、B，则∠F1EB=90°；
③在黄金椭圆C中，以A（﹣a，0）、B（a，0）、D（0，﹣b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]=3，[﹣2.6]=﹣3，[﹣2]=﹣2；若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）•f′（x），则函数y=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）
A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=．14．（5分）设a=sinxdx，则二项式（a﹣）6的展开式中含有x2的项为．
15．（5分）从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为．
16．（5分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，
=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n=．
，…成等比数列，且k
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．
（I）求ϕ的值，并化简f（x）；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．
18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（如图）：（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失不超过4000
元经济损失超过4000
元
合计
捐款超过500元30
捐款不超过500
元
6
合计
P（K2≥
k）
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
附：临界值表参考公式：K2=，n=a+b+c+d．
19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
20．（12分）在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．
21．（12分）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围；
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；
（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．
四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请填涂题号．（选修4-1：几何证明选讲）
22．（10分）如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC 的延长线交于点E，AD交BC于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥DE；
（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为
（t为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．
（选修4-5：不等式选讲）
24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）
1．（5分）设全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}，则下列关系中正确的是（）
A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．∁U（M∪P）=∅
【解答】解：P={x|x＞1，或x＜﹣1}，M={x|x＞1}；
∴M⊊P．
故选：C．
2．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）
A．充分非必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，
则￢p：﹣3≤x≤1，
又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，
所以￢p是￢q的充分不必要条件；
故选：A．
3．（5分）将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵
坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，
再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，
故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，
结合所给的选项可得只有B满足条件，
故选：B．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．121 B．132 C．142 D．154
【解答】解：由已知中程序的功能为：
利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．
∵S=12×11=132．
故选：B．
5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）
A．4 B．8 C．2πD．4π
【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，
∴该几何体的体积为
V几何体=S底面h
=××π××3
=2π．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f ﹣1（﹣9）的值为（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【解答】解：设f ﹣1（﹣9）=x，则f（x）=﹣9，
设x＞0，则﹣x＜0．
∵当x＜0时，f（x）=（）x，
∴f（﹣x）==3x．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x．
∴﹣3x=﹣9，
故选：A．
7．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n ∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．
∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．
而a n+a n
+1+…+a n
+12
为数列中的13项和，
∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．
故选：D．
8．（5分）设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．4
【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而=．
故选：B．
9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，
BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．
【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，
可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C
△ABC中，cosA==﹣
∵A∈（0，π），∴A=
根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1
∵球O的体积为V==，∴OA=R=
Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=
故选：B．
10．（5分）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）
A．B．C．D．2
【解答】解：如图，延长AG交BC于点F，
∵BO为边AC上的中线，，
∴AF为边BC上的中线，
∴=+，
又∵=﹣=+（λ﹣1），
且∥，
∴：（λ﹣1）=，
∴=λ﹣1，
∴λ=，
故选：C．
11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），若离心率（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（）
①在黄金椭圆C中，a、b、c成等比数列；
②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E、B，则∠F1EB=90°；
③在黄金椭圆C中，以A（﹣a，0）、B（a，0）、D（0，﹣b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：对于①，由e=，可得e2+e﹣1=0，由e=，a2﹣c2=b2，可得c2+ac﹣a2=0，即ac=b2，
则a，b，c成等比数列，故①正确；
对于②，在黄金椭圆C中，上顶点、右顶点分别为E（0，b）、B（a，0），即有=（﹣c，﹣b），
=（a，﹣b），由①即有•=﹣ac+b2=0，则∠F1EB=90°，故②正确；
对于③，设内切圆的半径为r，由四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，可得
•2a•2b=4•r•，解得r=====c，则内切
圆过焦点，
故③正确．
故选：D．
12．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]=3，[﹣2.6]=﹣3，[﹣2]=﹣2；若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）•f′（x），则函数y=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）
A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}
【解答】解：由题意可知
g（x）=f（x）•f′（x）=，
不妨设x＞0，则y=[g（x）]+[g（﹣x）]=[]+[]
当∈（0，1），则∈（﹣1，0）
[]=0，[]=﹣1，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=﹣1
当=0，则=0，[]=0，[﹣]=0，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=0
依此类推可得y=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是{﹣1，0}，
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=．
【解答】解：化简得z==
==
==
=，故=，
所以z•=（）（）==
故答案为：
14．（5分）设a=sinxdx，则二项式（a﹣）6的展开式中含有x2的项为﹣192x2．
【解答】解：∵a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2，
∴二项式（a﹣）6 =（2﹣）6的通项公式为：
T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•x3﹣r，
令3﹣r=2，求得r=1，
∴展开式中含有x2的项为：﹣192x2，
故答案为：﹣192x2．
15．（5分）从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一
个被选取的概率为．
【解答】解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，
其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种，
故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为，
故答案为：
16．（5分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，
，…成等比数列，且k
=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n=．
【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k
=1，k2=2，k3=5，
∴，
即（1+d）2=1•（1+4d），
解得d=2，
即a n=2n﹣1，
∴，
又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，
∴=3n﹣1，
即k n=，
故答案为：
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．
（I）求ϕ的值，并化简f（x）；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．
【解答】解：（I）∵=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx
=sin xcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
因为函数f （x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=﹣1，
由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以，所以．（II ）因为，所以，因为角A为△ABC 的内角，所以．又因为，所以由正弦定理，得，
也就是，
因为b＞a ，所以
或．
当时，；
当时，．
18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（如图）：（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失不超过4000
元经济损失超过4000
元
合计
捐款超过500元30939捐款不超过5005611
元 合计
35 15 50
P （K 2≥k ） 0.15 0.10 0.05 0.025
0.010 0.005 0.001 k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附：临界值表参考公式：K 2=
，n=a +b +c +d ．
【解答】解：（I ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，
损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，…（3分） 因此，这两户在同一分组的概率为 P== …（6分）
（II ）如表：
经济损失不超过4000元
经济损失超过4000元
合计
捐款超过500元 30 9 39 捐款不超过500
元 5
6
11
合计
35 15 50
…（7分） K 2=…（8分）
=
=4.046＞3.841…（10分）
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）
19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，
令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴
设为平面MAB的一个法向量，
由得
取x=1，则，
∵是平面FCB的一个法向量
∴
∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，
当时，cosθ有最大值．
∴．
20．（12分）在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，
A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）
在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，
交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，
由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，
从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）
设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，
所以双曲线的标准方程为…（5分）
证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）
设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x ﹣x0）+y0，
：…（8
分）
由△=0，化简得：…（9分）
令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…（10分）
因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…（11分）
知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…（12分）
21．（12分）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围；
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；
（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意，得a x=＞0
故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
由得t=（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]
则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）
列表如下：
x2（2，5）5（5，6）6
t'+﹣
t5递增
极大值32
递减25
所以t
最小值=5，t
最大值
=32
所以t 的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）
=ln（）
=﹣ln
令u（z）=﹣lnz2﹣
=﹣2lnz+z ﹣，z＞0
则u′（z）=﹣=（1﹣）2≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0即ln＞0
即（9分）
（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，
当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N*时，则f（k）=，=1+
所以1＜f（k）≤1+，
从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|﹣n|＜4．
四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请填涂题号．（选修4-1：几何证明选讲）
22．（10分）如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC 的延长线交于点E，AD交BC于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥DE；
（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，
所以BC∥DE．…（4分）
（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED
由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．
设∠DAC=∠DAB=x，
因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，
所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，
所以∠BAC=2x=．…（10分）
（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知
曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为
（t为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ=2acosθ，可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；
，消去t，可得x﹣y﹣2=0，
直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）
△=8a（4+a）＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．
由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．
由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有
（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．
因为a＞0，所以a=1．10分
（选修4-5：不等式选讲）
24．已知函数f （x ）=|x ﹣3|﹣|x ﹣a |． （1）当a=2时，解不等式f （x ）≤﹣；
（2）若存在实数x ，使得不等式f （x ）≥a 成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当a=2时，f （x ）=|x ﹣3|﹣|x ﹣2|，
当x ≥3时，f （x ）≤﹣，即为（x ﹣3）﹣（x ﹣2）≤﹣，即﹣1成立，
则有x ≥3；
当x ≤2时，f （x ）≤﹣即为（3﹣x ）﹣（2﹣x ）
，即1
，解得x ∈∅；
当2＜x ＜3时，f （x ）≤﹣即为3﹣x ﹣（x ﹣2）≤﹣，解得，x ≥，则有≤x ＜3．
则原不等式的解集为[
，3）∪[3，+∞）即为[
，+∞）；
（2）由绝对值不等式的性质可得||x ﹣3|﹣|x ﹣a ||≤|（x ﹣3）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣3|，
即有f （x ）的最大值为|a ﹣3|．
若存在实数x ，使得不等式f （x ）≥a 成立，则有|a ﹣3|≥a ， 即
或
，即有a ∈∅或a ≤．
则a 的取值范围是（﹣∞，]．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
定义域
R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
函数 名称 对数函数
定义
函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 (0,)+∞ 值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=。