一元二次方程的概念-PPT课件
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一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
2
D、5个
认真想一想
x 2 x 3 例2：已知方程 2 是关于x的一 元二次方程，则m=__________
分析：
m 1
m 1 2 ,m 1 得 m 1
2 a 2 a 1
【变式训练】 关于x的方程( a 1 ) x x 5 0 是一元二次方程，则a=__________ 3 分析： a 2a 1=2 且
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法 2 b b 4 a c 2 x = （ b 4 a c 0 ） 3. 公式法
2 a
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数
2
x 1
2
23ຫໍສະໝຸດ x 3 x 2 0 2 x 2x 4
例6、解下列方程 （1）x2=0
（2）
x ( x 6 ) 2 ( x 6 )
解： （1）x1=x2=0
( x 6 ) 2 ( x 6 ) 0 （2 ） x
( x 6 )( x 2 ) 0 x 6 0 或 x 2 0 x 6 ， x 2 1 2
2
（2） 2 x 6 x 30
——配方法
——公式法
2 （3） 9 x 1 0 x 40
x 5 x 0 （4） 2
2
——因式分解法
（1） ——直接开平方法 (x 1 0 ) 3
2
1 0 ) 解： (x
本章主要方法和公式
因式分解法的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程；
开平方法：
2 对于形如x a（a 0）的方程，得 a ，x a 1 2
本章主要方法和公式
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，求另一根及t
2
x 2 是 方 程 的 根 . 解：
把x 2
t 3 . 2 把 t 3 代入方程得： x 3 x 2 0 2 一 元 二 次 方 程 为 x 3 x 20 ;
其 根 x 2 ,x 1 . 1 2 所 以 方 程 的 另 一 个 根 为 1 ， 且 t 3 .
3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若 b2-4ac﹤0，则此方程没有实数根 。
4. 当b2-4ac≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法 3. 公式法
4. 因式分解法
1. 移项，使方程的右边为0。 2. 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相 乘法对左边进行因式分解 3. 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
代入方程得： 2
2
2t 2 0
3、已知：方程x2－5x＋5=0的一个根为m， 5 . 求m＋ 的值 m
解：∵m是x2-5x+5=0的根 ∴m2-5m+5=0 m2+5=5m ∵m≠0 5 ∴m+ =5
m
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 把二次项系数化为1 3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。 4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方
例题欣赏 例1.下列方程中，关于x的一元二次方程 有：1、x2=0 ，2、ax2+bx+c=0， 3、x2－3=x， 4、a2+a－x=0，
1 2 2 5、(m－1)x +4x+5 =0 ， 6、 x + 2 x
m
1 11 ＝１ 3 xx
x 1 2=x2－9（A ） 7、(x+1) A、2个 B、3个 C、4个
2
b b2 4 a c 2 ( 如果 b 4ac 0) x 3、代入求根公式 : 2a
4、写出方程x1，x2 的值
★一化、二求、三代、四解
例题欣赏 例1、下列方程应选用哪种方法求解
(1)
(2) (3) (4) (5)
xx 6 2 x 6
x 3 x 1 0
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
2
D、5个
认真想一想
x 2 x 3 例2：已知方程 2 是关于x的一 元二次方程，则m=__________
分析：
m 1
m 1 2 ,m 1 得 m 1
2 a 2 a 1
【变式训练】 关于x的方程( a 1 ) x x 5 0 是一元二次方程，则a=__________ 3 分析： a 2a 1=2 且
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法 2 b b 4 a c 2 x = （ b 4 a c 0 ） 3. 公式法
2 a
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数
2
x 1
2
23ຫໍສະໝຸດ x 3 x 2 0 2 x 2x 4
例6、解下列方程 （1）x2=0
（2）
x ( x 6 ) 2 ( x 6 )
解： （1）x1=x2=0
( x 6 ) 2 ( x 6 ) 0 （2 ） x
( x 6 )( x 2 ) 0 x 6 0 或 x 2 0 x 6 ， x 2 1 2
2
（2） 2 x 6 x 30
——配方法
——公式法
2 （3） 9 x 1 0 x 40
x 5 x 0 （4） 2
2
——因式分解法
（1） ——直接开平方法 (x 1 0 ) 3
2
1 0 ) 解： (x
本章主要方法和公式
因式分解法的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程；
开平方法：
2 对于形如x a（a 0）的方程，得 a ，x a 1 2
本章主要方法和公式
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，求另一根及t
2
x 2 是 方 程 的 根 . 解：
把x 2
t 3 . 2 把 t 3 代入方程得： x 3 x 2 0 2 一 元 二 次 方 程 为 x 3 x 20 ;
其 根 x 2 ,x 1 . 1 2 所 以 方 程 的 另 一 个 根 为 1 ， 且 t 3 .
3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若 b2-4ac﹤0，则此方程没有实数根 。
4. 当b2-4ac≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法 3. 公式法
4. 因式分解法
1. 移项，使方程的右边为0。 2. 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相 乘法对左边进行因式分解 3. 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
代入方程得： 2
2
2t 2 0
3、已知：方程x2－5x＋5=0的一个根为m， 5 . 求m＋ 的值 m
解：∵m是x2-5x+5=0的根 ∴m2-5m+5=0 m2+5=5m ∵m≠0 5 ∴m+ =5
m
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法 2. 配方法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 把二次项系数化为1 3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。 4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方
例题欣赏 例1.下列方程中，关于x的一元二次方程 有：1、x2=0 ，2、ax2+bx+c=0， 3、x2－3=x， 4、a2+a－x=0，
1 2 2 5、(m－1)x +4x+5 =0 ， 6、 x + 2 x
m
1 11 ＝１ 3 xx
x 1 2=x2－9（A ） 7、(x+1) A、2个 B、3个 C、4个
2
b b2 4 a c 2 ( 如果 b 4ac 0) x 3、代入求根公式 : 2a
4、写出方程x1，x2 的值
★一化、二求、三代、四解
例题欣赏 例1、下列方程应选用哪种方法求解
(1)
(2) (3) (4) (5)
xx 6 2 x 6
x 3 x 1 0