2017-2018学年河南省西华县第一高级中学高二下学期期末考试理数试题

2017—2018学年度下学期高二年级期末考试
理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足()1z i i i +=+，则z 的虚部是（ ）
A ．
12 B ．12- C ．32 D ．32
- 2.设函数()x
f x xe =，则（ ） A ．1x =是函数()f x 的极大值点 B ．1x =是函数()f x 的极小值点 C ．1x =-是函数()f x 的极大值点
D ．1x =-是函数()f x 的极小值点
3.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A ．20种
B ．15种
C ．10种
D ．4种 4.2
211
t x dx =
⎰
，2
21
1
t dx x
=⎰
，231x t e dx =⎰，则1t ，2t ，3t 的大小关系为（ ）
A ．213t t t <<
B ．123t t t << C.231t t t << D ．321t t t << 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和小于7}，则()
P B A =（ ） A ．
13 B ．49 C.59 D ．2
3
6.由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
32
9
B ．2ln3- C.4ln3+ D ．4ln3- 7.若222
3340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆2
2
1x y +=所截得的弦长为（ ）
A ．
23 B ．1 C.12 D ．34
8.设0x >，由不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，类比推广到1n a
x n x
+≥+，
则a =（ ）
A ．2n
B ．2n C.2
n D ．n
n
9.设随机变量()2,1N ξ，若()3P m ξ>=，则()13P ξ<<等于（ ）
A ．
122m - B ．1m - C.12m - D ．1
2
m -
10.设随机变量()2,X B p ，随机变量()3,Y B p ，若()5
19
P X ≥=，则)
1D
+=
（ ）
A ．2
B ．3 C.6 D ．7
11.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：
根据表中数据，通过计算统计量()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：
若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（ ）
A ．0.10
B ．0.05 C.0.025 D ．0.01
12.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的解有（ ）
A ．2个
B ．3个 C.4个 D ．多于4个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数()y f x =的图象在点()()
2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则
()()22f f '+=
． 14.已知34
4
2cos 4a x dx ππ
π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭⎰，则8
x ⎛- ⎝
展开式中5
x 的系数为 ． 15.已知()()2
1220172017ln 2
f x x xf x '=++，则()2017f '= ． 16.若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和2
1594
y ax x =+-都相切，则a 等
于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和. 18. 甲乙两个篮球运动员互不影响的同一位置投球，命中率分别为1
2
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
116
. （1）求乙投球的命中率p ；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：
表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）若广告投入6万元时，实际销售收益为7.3万元，求残差e .
附：()()()
1
12
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑
∑，a y bx =-
20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，又PA ⊥底面
ABCD ，2AB PA =，E 为BC 的中点.
（1）求证：AD PE ⊥；
（2）求平面APE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
21. 已知(
)ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）求证：对一切()0,x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>
-成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程sin 4πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到曲线2C 上的距离的最小值的值并求此时点P 的坐标.
23.选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c R ∈，2
2
2
1a b c ++=.
（Ⅰ）求证：a b c ++≤；
（Ⅱ）若不等式()2
11x x a b c -++≥-+对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDBAD 6-10:DBDCA 11、12：AC
二、填空题
13.7 14.448 15.2018- 16.1-或2564
-
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由已知条件可得11228
2412
a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解之得12a =，2d =， 所以，2n a n =.
（Ⅱ）由2n a n =可得，1
22n n n n a n
b -==
，设数列{}n b 的前n 项和为n T . 则21231222
n n n
T -=+
+++， ∴23112322222
n n n T =++++， 以上二式相减得21111
11222
22n n n
n
T -=+++
+
-
122122
2
2n
n n
n
n +⎛
⎫=--=- ⎪⎝⎭， 所以，1
2
42
n n n T -+=-
. 18.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ， 由题意得()
()()
22
1
1=116
P B p --=
，
解得34p =
或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34
. （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()12P A =，()
12P A =，()34P B =，()
1
4
P B =.
X 可能的取值为0，1，2，3.
又()()()
2
111
02432
P X P A P B B ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭，
()()(
)()()()
2
1
2113117122444232
P X P A P B B C P B P B P A ⎛⎫==⋅+=⨯+⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭， ()()()2
13932432P X P A P B B ⎛⎫==⋅=⨯=
⎪⎝⎭， ()()()()152101332
P X P X P X P X ==-=-=-==
. X 的分布列为：
X 的数学期望0123232323232
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
19.解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为a ，由频率直方图各小长方形的面积总和为1，可知
()0.080.10.140.120.040.020.51a a +++++⋅==，
故2a =.
（Ⅱ）由题意，可知1234535x ++++=
=，23257
3.85
y ++++==，
5
1
122332455769i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5
2222221
1234555i i x ==++++=∑，
根据公式，可求得2
6953 3.812
1.2555310
b -⨯⨯=
==-⨯， 3.8 1.230.2a =-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为
1.20.2y x =+.
（Ⅲ）当6x =时，销售收益预测值 1.260.27.4y =⨯+=（万元），又实际销售收益为7.3万元，所以残差7.37.40.1e =-=-
20.解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，且E 为BC 的中点，所以
AE BC ⊥.
又//BC AD ，所以AE AD ⊥.又PA ⊥底面ABCD ，所以PA AD ⊥. 于是AD ⊥平面PAE ，进而可得AD PE ⊥.
（Ⅱ）解：分别以AE 、AD 、AP 为x ，y ，z 轴，设1AP =，则
()0,0,1P
，)E
，)
C
，()0,2,0D .
显然，平面APE 的法向量为()0,1,0n =，设平面PCD 的法向量为()1,,m y z =，则
由30
20
m CD y m PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
解得(1,3,2m =.所以3cos ,m n
m n m n ⋅<>===⋅故平面APE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为
4
. 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()ln 1f x x '=+. 当1x e >
时，()0f x '>，()f x 为增函数；当1
0x e
<<时，()0f x '<，()f x 为减函数 所以函数()f x 的最小值为11f e e
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （Ⅱ）问题等价于证明2ln x
x x x e e
>
- 由（Ⅰ）可知，()ln f x x x =的最小值为1e -
，当且仅当1
x e
=时取到. 令()2x x g x e e =-，()0,x ∈+∞，则()1x x
g x e
-'=，
易知()()max 11g x g e ==-，当且仅当1x =取到，所以2
ln x x x x e e
>-.
从而对一切
()0,x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立.
22.解：（Ⅰ）由曲线1:sin x C y αα
⎧=
⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线1C 的普通方程为：22
12x y +=.
由曲线2:sin
4C x πρ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭
，展开可得：)sin cos 2
ρθθ⨯+=8x y +=.
即：曲线B 的直角坐标方程为：8x y +=. （Ⅱ）椭圆上的点)
,sin P
αα到直线O 的距离为
d =
=
∴当()sin 1αϕ+=时，P 23.（Ⅰ）证明：由柯西不等式得()(
)()2
2
2
2
2
22111
3a b c a
b c ++≤++++=，
∴a b c ≤++≤a b c ++的取值范围是⎡⎣.
（Ⅱ）由柯西不等式得()()(
)
2222222
1113a b c a b c ⎡⎤-+≤+-+++=⎣
⎦.
若不等式()2
11x x a b c -++≥-+对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则113x x -++≥，其解集为33,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
， 即实数x 的取值范围为33,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
.。