国高中数学联赛试题及详细解析

2000年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
二、选择题
此题一共有6小题，每一小题均给出〔A 〕、〔B 〕、〔C 〕、〔D 〕四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每一小题选对得6分；不选、选错或者选出的代表字母超过一个〔不管是否写在括号内〕，一律得0分。

1．设全集是实数，假设A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2
2
10-x
=x 10},那么B A 是 〔 〕
2．(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅
3．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，假设p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，那么一元二次方程bx 2
-2ax +c =0 〔 〕 4．(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点〔纵、横坐标都是整数的点〕到直线5
4
35+=x y 的间隔 中的最小值是 6．(A)
17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 30
1
〔 〕 7．设5
sin
5
cos
π
π
ωi +=，那么以ω,ω3,ω7,ω9
为根的方程是 〔 〕
(A) x 4
+x 3
+x 2
+x +1=0 (B) x 4
-x 3
+x 2
-x +1=0 (C) x 4
-x 3
-x 2
+x +1=0 (D) x 4
+x 3
+x 2
-x -1=0
二、填空题〔此题满分是54分，每一小题9分〕此题一共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

8．arcsin(sin2000︒)=__________. 9．设
a n 是(3-
n x )的展开式中
x 项的系数(n =2,3,4,…)，那么
n n n a a a 333(lim 332
2+++∞→ )=________. 10． 等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.
11．
在椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为
B .假设该椭圆的离心率是
2
1
5-，那么∠ABF =_________.
【加试】〔10月15日上午10∶00-12∶00〕
一．〔此题满分是50分〕
如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥
AC 〔M 、N 是垂足〕，延长AE 交三角形ABC 的外接圆于
D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．
二．〔此题满分是50分〕
设数列{a n }和{b n }满足，且
,2,1,0 4783
671
1=⎩⎨
⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n
证明a n 〔n=0，1，2，…〕是完全平方数．
三．〔此题满分是50分〕
有n 个人，他们中的任意两人至多通 一次，他们中的任意n －2个人之间通 的次数相等，都是3 k
次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．
A
B
C
D
E
F
M
N
2000年全国高中数学结合竞赛试题答案
1.【答案】D
【解析】由22≤-x 得x=2，故A={2}；由x x 10102
2=-得022=--x x ，故B={-1，
2}.所以B A =φ.
3．【答案】C
【解析】如下图，设BD=t ，那么OD=3t-1，从而B 〔3t-1，t 〕
满足方程12
2=-y x ，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.
4．【答案】 A
【解析】由题意知
pq=a
2
，2b=p+c,2c=q+b
⇒3
2q
p b +=
，
32q p c +=
⇒bc=
32q p +3
2q p +≥3232pq q p ⋅=pq=a 2 .因为p ≠q ，故bc> a 2
，方程的判别式Δ= 4a 2
-4bc<0，因此，方程无实数根.
5．【答案】B
【解析】设整点坐标(m,n)，那么它到直线25x-15y+12=0的间隔 为
2
2
)
15(25121525-++-=
n m d 34
512
)35(5+-=
n m
由于m,n ∈Z ，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的
绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为
85
34
.
二、填空题〔满分是54分，每一小题9分〕 7．【答案】-20°
【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20° 故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcsin(sin20°)= -20°
8．【答案】18
【解析】由二项式定理知，2
2
3
-⋅=n n
n C a ，因此⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-⋅=n n n n a n n 11118)1(2332
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n
n
n a a a 3333322lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→n n 1118lim =18.
11．【答案】
3
24
2a π
12．【答案】28
【解析】abcd 中恰有2个不中数字时，能组成C 2
4= 6个不中数字
abcd 中恰有3个不中数字时，能组成C 1312C 12C +12C 1
2C =12+4=16个不中数字
abcd 中恰有4个不中数字时，能组成P 33=6个不中数字
所以，符合要求的数字一共有6+16+6=28个
14．【答案】所求区间为[1,3]或者[-2-174
13
]. 【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].
(1) 假设0≤a<b, 那么f (x)在[ a, b ] 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a 于是有
⎪⎩
⎪⎨⎧+
-=+-=21321221321222b a a b ，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], (2)假设a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增，在[0,b] 上单调递减，, 因此f (x)在x=0处取最大值2b 在x=a 或者x=b 处取最小值
2a.故2b=
213,b=413
.由于a<0, 又f(b)=-21(413)2 + 213=032
39
>
故 f(x)在x=a 处取最小值2a,即 2a=
221a +2
13
, 解得a=-2-17;于是得 [a,b]=[-2-17,4
13
].
(2) 当a<b ≤0时，f(x)在[a,b] 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b,
即2a=-221a +213,2b=-221a +213. 由于方程21x 2+2x-2
13
=0的两根异号，故满足a b 0的区间不存在.
综上所述，所求区间为[1,3]或者[-2-174
13
].
15．【答案】所求条件为
21a +2
1
b =1.
又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的间隔 为h ，那么
h 1=2
1
OP +21OQ
=1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的间隔 也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2
2
2
2
b a b a =+ ，2
2
b
a a
b +=1等条件者，应同样给分.
2000年全国高中数学结合竞赛试卷答案
加试
二．【解析】
[证法一]：由假设得a 1=4, b 1=4且当n ≥1时〔2a n+1-1〕+13+n b =(14a n +12b n -7)+3(8a n +7b n -4) =[(2a n -1)+n b 3](7+43)
依次类推可得〔2a n -1〕+n b 3= (7+1)34-n (2a 1 -1+13b )=(7+4n )3
同理〔2a n -1+ 〕-n b 3=(7+4n
)3从而 a n =
41(7+4n )3+4
1(7+4n
)3+21 .
由于 7±43=〔2±2)3 ，所以 a n =[21(2+n )3+2
1(2-3)2
]n
由二项式展开得 c n =
21(2+n )3+21(2-3)n =∑≤≤n
k k n C 202 k 3 k n 22- , 显然C n 为整数，于是a n 为完全平方数.
[证法二]：由得a n+1=7a n +6b n -3=7a n +6(8a n-1+7b n-1-4)-3=7a n +48a n-1+42b n-1-27 , 由 a n =7a n-1+6b n-1-3 ,得 42b n-1=7a n -49a n-1+21 ,
从而 a n+1=7a n +48a n-1+7a n -49a n-1+21-27=14a n -a n-1-6 .
也就是 a n+1=14a n -a n-1-6 .
设(a n+1-ka n +t)=p(a n -ka n-1+t) ……①②③④
那么有⎪⎩
⎪⎨⎧=-==+6)1(114p t pk k p 解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+=+=323323473234722t p k 或者()()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=-=-=323323473234722
t p k
三．【解析】显然n ≥5. 记n 个人为A 1，A 2， A N ，
设A 1通话的次数为m 1, A i 与 A j 之间通话的数为y ij , l ≤n j i ≤, .那么
m i +m j – y i . j =∑=n
s s m 1
21-k 3= c . 〔*〕 其中c 是常数 ，l ≤n j i ≤, .
根据〔*〕知，=-j i m m )()(s j s i m m m m +-+=s j s i y y ..-≤1 , l ≤n j i ≤, . ⇒1≤-j i m m , l ≤n j i ≤,
设 m i =max{m s ,1.n s ≤≤} ,m j = min{m s,1≤s ≤n.} ,
那么 m i +m j ≤1.
假设 m i +m j =1 ,那么对于任意 s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,
都有(m i +m s -y I ,s )- (m j +m s -y I ,s )=1-(y I ,s – y j ,s )=0 , 即 y I ,s – y j ,s = 1 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,
因此 m i ≥ n -2 , m j ≥1 . 于是 ，m i +m j ≥n -3≥2 .
出现矛盾 ，故 m i +m j =0 ，即 m s (1≤s ≤n)恒为常数 。

根据 〔*〕知，y I ,j = 0 或者 y I ,j = 1 。

假设 y I ,j = 0 ,那么 m s =0 , 1≤s ≤n 。

与条件矛盾 。

因此 ，y I ,s =1 ⇒ m s =n-1 , 1≤s ≤n . 所以
2
1n(n-1)-(2n-3)=k 3, 即 (n-2)(n-3)=2k 3⨯ .。