岳阳市2019届高三教学质量检测试卷(一(文科)试题含答案

岳阳市2019届高三教学质量检测试卷（一）
数学（文史类） 第Ⅰ卷
本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分，共23题，时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合}2,0,2{-=A ，32|{2
--=x x x B ≤}0，则=B A （ ）
A ．}0{
B ．}2{
C ．}2,0{
D ．
}0,2{-
2．已知复数z 满足i i z -=⋅2（i 为虚数单位），则z 在复平面对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．3
x y -= B ．2
x y = C ．x y ln = D ． x x y =
4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“m ⊥β”是 “α⊥β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为（ ） A ．π
B ．
2π C ．
3
π
D ． 6
π
6．一程序框图如图2所示，如果输出的函数值在区间]2,1[内，那么 输入实数x 的取值范围是（ ）
A ．)0,(-∞
B ． ]0,1[-
C ． ),1[+∞
D ．]1,0[
7．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，2
)1(n
n a n S +=
，则=2017a （ ） A ． 2016 B ． 2017 C ．4032
D ． 4034
8．函数a
x x f =)(满足4)2(=f ，那么函数)1(log )(+=x x g a 的图象大致为（ ）
9．已知直线l :
1=+b
y
a x )0,0(>>
b a 将圆C ：044222=+--+y x y x 平分，则直线l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ）
A ． 8
B ． 4
C ．2
D ． 1
10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为)1,3(-，点),(y x P 的坐标y x ,满足不等式组:
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 12，若z ⋅=的最大值7，则实数a 的值为（ ）
A ．7-
B ． 1-
C ． 1
D ． 7
11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲
线的一个交点为P ，若4=PF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．12+ B ．)12(2+ C ．2 D ．
12．设函数的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值
域是,22
a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数t e x f x
+=)(为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．]212ln ,(+--∞ B ．)212ln ,(+--∞ C ．),2
1
2ln [+∞+ D ． ),2
1
2ln (
+∞+
B A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题–第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题–第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．平面向量a 与b 的夹角为
90，a =(2,0)，|b | =1，则|a +2b |等于 ．
14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
60=A ,4=b ,34=∆ABC S ，
15．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有________ 盏灯．
16．把正整数排列成如图4所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数， 得到如图5所示三角形数阵，设ij a 为图5所示三角形数阵中第i 行第j 个数， 若2017=mn a ，则实数对(),m n
为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分） 已知函数)3
cos()2sin()(π
π
-+
=x x x f ．
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ）将函数()y f x =的图象向下平移
1
4
个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在]3
,0[π
∈x 上的最大值．
18．（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，∠
45=ADC ，
2==AC AD ，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，6=PO ，M 为PD 的中点. (Ⅰ)证明: AD ⊥平面 PAC ；
（Ⅱ）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
19．（本小题满分12分）
根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天 PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如右表： (Ⅰ) 从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2
天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率； (Ⅱ) 将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制的样本频率分布直方图如图7． （ⅰ）求图7中a 的值；
（ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境空气质量是否需要改善？说明理由；
将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．
图7
19．（本小题满分12分）
的两个焦点为1F ，2F ，2221=F F ．点A ，B 在椭圆
上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于 (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，
N ，求PMN ∆面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知()ln f x x x =，()2
2
ax g x =．
（Ⅰ）求函数()
f x 在x e =处的切线方程；
（Ⅱ）若至少存在一个],1[0e x ∈使()()
00f x g x <成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设Z k ∈，且2)3()(+-->k x k x f 在1x >时恒成立，求整数k 的最大值．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 6=，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系， t t y at
x (11⎩
⎨
⎧+=+-=为参数)．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
（Ⅱ）直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当BD 取到最小值时，求a 的值.
23．（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.
（Ⅰ）若不等式)(x f ≤6的解集为2|{-x ≤x ≤}3，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)(n f ≤)(n f m --成立，求实数m 的取值范围.
岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（一）
数学（文）参考答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 22 14． 4 15． 3 16． )41,45( 三、解答题
17．（Ⅰ）因为 x x x x x x x f 2cos 2
1
cos sin 23)23sin 21(cos cos )(+=⋅+⋅
=
111111
2(1cos 2)2cos 2sin 24224264x x x x x π⎫⎛⎫=
++=++=++⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
所以)(x f 的最小正周期π=T ． ……………6分 （Ⅱ）)6
2sin(2)(π
+=x x g ， 若0≤x ≤
3π，则6
π
≤62π+x ≤65π，
则当2
6
2π
π
=
+
x ，即6
π
=
x 时，2)(max =x g ……………12分
18． 证明: （Ⅰ）
,45,90AD AC ACD ADC DAC =∴∠=∠=∴∠=,
又PO ⊥平面,ABCD PO AD ∴⊥,又,PO
AC O AD =∴⊥平面PAC .
……………6分 （Ⅱ）连结 DO ，取DO 中点N ，连结,
MN PO ⊥平面
,ABCD MN ∴⊥平面ABCD MAN ∠，为所求线面角，
∵2521==
DO AN ，32
1
==PO MN ，∴5
5
6t a n =
∠M A N . ……………12分 19．（Ⅰ）设PM2.5的 24小时平均浓度在(]50,75内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100]内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：
21A A ，31A A ，11B A ，21B A ，32A A ，12B A ，22B A ，13B A ，23B A ，21B B 共10种．
其中符合条件的有：11B A ，21B A ，12B A ，22B A ，13B A ，23B A 共6种． 所以所求的概率63
105
P =
=． ……………6分 （Ⅱ）(ⅰ)004.0=a
(ⅱ)由频率分布直方图可知该居民区PM2.5年平均浓度的估计值为 5.421.05.8715.05.626.05.3715.05.12=⨯+⨯+⨯+⨯(微克／立方米）
因为355.42>，所以该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，该居民区的环境空气质量需要改善． ……………12分 20．（Ⅰ）由△2ABF 的周长为34，得344=a ，3=
a ，由2221=F F ，
，2
2
2
1b a c =-=．所以椭圆的标准方程为： ……………4分 （Ⅱ）设(,)p p P x y ，则224p p x y +=．
（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，
另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥．此时，323222
1
21=⨯⨯=⋅=
∆PN PM S PMN ． ……………7分 （ⅱ）若切线的斜率均存
在，则设过点P 的椭圆的切线方程为
()p p y y k x x -=-，代入椭圆方程，
消y 并整理得：222(31)6()3()30p p p p k x k y kx x y kx ++-+--=． 依题意0∆=，222(3)210p p p p x k x y k y -++-=． 设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，
线段MN 为圆O 的直径，||4MN =． 所以PN PM S PMN ⋅=
∆21≤222
11()444
PM PN MN +==， 时，PMN ∆取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：PMN S ∆最大值是4． ……………12分 21．（Ⅰ）1ln )(/
+=x x f ，∴=)(/
e f 2，又e e f =)(
∴ 函数()
f x 在x e =处的切线方程为)(2e x e y -=-，即02=--e y x ． ……………3分
（Ⅱ）若存在一个],1[0e x ∈使()()00f x g x <成立，即2
000ln 2
ax x x <，则00ln 2x x a >，
令x x x h ln 2)(=
，当[1,)x e ∈时，/
22(1ln )()0x h x x -=>恒成立，因此x
x x h ln 2)(=在 ],1[e 上单调递增．
故当1=x 时，0)(min =x h ，即实数a 的取值范围是),0(+∞． ……………7分 （Ⅲ）由题意得，2)3(ln +-->k x k x x 在1>x 时恒成立，即1
2
3ln --+<x x x x k ．
令1
23ln )(--+=
x x x x x F ，则2
/
)1(2ln )(---=x x x x F ，令2ln )(--=x x x m ， 则01
11)(/
>-=-
=x
x x x m 在1>x 时恒成立． 所以)(x m 在),1(+∞上单调递增，且03ln 1)3(<-=m ，04ln 2)4(>-=m ， 所以在),1(+∞上存在唯一实数b ))4,3((∈b ，使0)(=x m ，即0)(=b m ． 当b x <<1时，0)(<x m 即0)(/
<x F ，当b x >时，0)(>x m 即0)(/
>x F ， 所以)(x F 在),1(b 上单调递减，在),(+∞b 上单调递增． ∴)6,5(21
2
3)2(123ln )()(min ∈+=--+-=--+=
=b b b b b b b b b b F x F
故2+<b k ，又Z k ∈，所以整数k 的最大值为5．
……………12分 22．（Ⅰ） 曲线C 的直角坐标方程为9)3(2
2
=-+y x ．
直线l 的普通方程为01=++-a ay x ． ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C 是圆心为)3,0(，半径为3的圆，直线l 过定点)1,1(-A 由于9)31()01(2
2
<-+--,则定点A 在圆C 内部，
当圆心C 到直线l 的距离最大时，直线被圆所截的弦长BD 有最小值． 显然当AC ⊥l 时，圆心C 到直线l 的距离最大， 当0=a 时，显然AC ⊥l 不成立，因此0≠a ． 则1-=⋅l AC k k ，即
11
)1(013-=⨯---a
，解得2-=a ． ……………10分
23．（Ⅰ） 由a a x +-2≤6得a x -2≤a -6，
∴6-a ≤a x -2≤a -6，即3-a ≤x ≤3，∴23-=-a ，∴1=a ．
……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ，
n 42-，2
1
-
<n 则=+++-=21212)(n n n ϕ 4 ，21
-≤n ≤21
n 42+，2
1
>n
∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是),4[+∞． ……………10分。