中考数学压轴题 易错题难题综合模拟测评检测试卷

一、中考数学压轴题
1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
2．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；
（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；
（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK
的值．
3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．
①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．
①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝23，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．
②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （23，23），若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．
4．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3
A =，点D 为A
B 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．
（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．
（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．
5．如图，直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣
3
2
x+c经过
A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当
3
2
MN
AN
时，求点M的坐标；
（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．
①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；
②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝
∠EBA，请直接写出点H的坐标．
7．∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，
∠AEB=°
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D
①若∠BAO=60°，则∠D=°．
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平
分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
8．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC =-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线2
3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .
（1）求顶点D 的坐标；
（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N .
①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标；
②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．
10．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：EG ⊥AD ；
(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62
11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．
（1）当t 为何值时，PQ BD ？
（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的
1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．
（1）求证：2CAO CDB ∠=∠
（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．
13．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若72CG AG =，求点P 的坐标．
14．（1）探究发现
数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”
经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：
在直线21y x =-上任取点()01A -，
， 向左平移3个单位得到点()31，
'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．
因为2y x n =+过点()31，
'--A ， 所以61n -+=-，
所以5n =，
填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为
（2）类比运用
已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；
（3）拓展运用
将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．
15．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．
（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；
（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．
16．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．
（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；
（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，
∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．
18．在Rt ABC ∆中，6AB =，90B ∠=︒，8BC =，点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒，点Q 从C 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒，P 、Q 同时出发，点Q 到点B 时两点同时停止运动．
（1）点P 在线段AC 上运动，过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ，2t =时，求PD PQ
的值； （2）运动t 秒后，90BPQ ∠=︒，求此时t 的值；
（3）t =________时，AQ QP =． 19．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点(3)A ，，点
()
B，点(0,0)
0, 3
O
⊥交AB于点E，沿着DE折(I)过边OB上的动点D (点D不与点B，O重合)作DE OB
叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．
①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；
∆为直角三角形时，求E点坐标：
②连接AF，当AEF
∆沿OP所在的直线折叠，得到(Ⅱ)P是AB边上的动点(点P不与点B重合)，将AOP
∆，连接'
'A OP
BA取得最小值时，求P点坐标(直接写出结果即可)．
BA，当'
20．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝23，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝
_____．
21．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．
（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．
22．如图1，D是等边△ABC外一点，且AD＝AC，连接BD，∠CAD的角平分交BD于E．（1）求证：∠ABD＝∠D；
（2）求∠AEB 的度数；
（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE
的值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．
（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；
（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；
（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使
CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．
（1）请求出EAF ∠的度数？
（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .
（3）直接写出EAF ∠=_________度；
（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.
25．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．
（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；
（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；
（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）菱形；（2）①AF =ADAF ⊥AD ；②2AD OG =，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质可得AB=AD=BC=CD ，可得四边形ABCD 是菱形；
（2）①由菱形的性质可得AD ∥BC ，且AF ⊥BC ，可得AD ⊥AF ，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE=∠OEB=45°，∠ABE=∠AFB ，可得AF=AB ；
②取AB 中点M ，由三角形中位线定理可得MO ∥AD ，AD=2MO ，AF ∥MG ，AF=2MG ，且AF=AD ，AD ⊥AF ，可得MO=MG ，MG ⊥MO ，可得2OM ，即可得OG 与AD 的数量关
系；
（3）连接AG，由等腰三角形的性质可得AG⊥BF，且∠BEO=45°，可得AG=GE，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵将△ABC沿y轴翻折
∴AB=AD，BC=CD
又∵AB=CB
∴AB=AD=BC=CD
∴四边形ABCD是菱形
故答案为：菱形；
（2）①∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，且AF⊥BC
∴AD⊥AF，
∴∠FAC+∠CAD=90°，且∠CAD+∠ADO=90°，
∴∠FAC=∠ADO，
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠FAC
∵OE=OB
∴∠OBE=∠OEB=45°
∴∠ABD+∠OBE=∠FAC+∠OEB
∴∠ABE=∠AFB
∴AF=AB
∴AF=AD，
故答案为：AF=AD，AD⊥AF；
②AD=2OG；
如图，取AB中点M，
∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，
∴MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF
∴MO=MG，MG⊥MO
∴2OM
∵AD=2MO=2GO ；
（3）∵四边形ABCD 的周长为8，
∴AB=BC=CD=AD=2=AF
如图，连接AG ，
∵AB=AF ，点G 是BF 的中点，
∴AG ⊥BF ，且∠BEO=45°
∴∠GAE=∠BEO=45°
∴AG=GE ，
∵AG 2+GF 2=AF 2=4，
∴GE 2+GF 2=4， 故答案为：4；
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
2．A
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
15KG AK = 【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；
（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得
HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明
AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得
1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2
CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1
tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得
KG AK 的值． 【详解】
（1）证明：如图，设HAG ∠为α，
∵HAG BDC ∠=∠，
∴HAG BDC α∠=∠=，
∵CD AB ⊥，
∴90BDC DBE ∠+∠=︒
∴90DBE α∠=︒-，
∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角，
∴90AHG ABD α∠=∠=︒-，
∴90AHG HAG ∠+∠=︒，
∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒
∴AG HD ⊥
（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，
∵AB 为直径，AB CD ⊥，
∴CE DE =，
∴AB 垂直平分CD ，
∴AC AD =，FC FD =，
∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，
∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠，
设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=，
∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角，
∴ADH ACH β∠=∠=，
∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=，
∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠，
∴2HFC α∠=，
∵HC HF =，
∴HCF HFC ∠=∠，
∴22αβ=，
∴αβ=，
∵AB 为直径，
∴90ADB ∠=︒，
∴90HDB β∠=︒-，
∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角，
∴90HAB HDB β∠=∠=︒-，
∵AB CD ⊥，
∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-，
∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-，
∴HFA HAF ∠=∠，
∴HF HA =，
∴HC HA =；
（3）如图，在DH 上截取DT HC =，
∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角，
∴ADH ACH ∠=∠，
∵AB 为直径，且AB CD ⊥
∴AC =AD ，
∴AC AD =，
∴AHC ≌ATD ，
∴AH AT =，
∵AG HT ⊥，
∴HG TG =，
∴HG CH GT DT GD +=+=，
设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =，
∵F 为DG 中点，
∴3GF DF k ==，
∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，
在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒，
过点C 作CM HD ⊥于点M ，
由△HCF 面积，可求CM =
125k ，
∴95
MF k =， ∴1tan 2
CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=
， 易求OF ，OH ，
由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15
KG AK =． 【点睛】
本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．
3．B
解析：（1）①（2，0），（1），（﹣1y x ；③y ＝﹣
x ；
（2）①半径为2，M 2＜r ＜4 【解析】
【分析】
（1）①如图2−1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题；
②如图2−2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图3−3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）①如图3中，作MF ⊥OA 于F ，作MN ∥y 轴交OA 于N ．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．求出FN ＝NE ＝1时，⊙M 的半径即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图2﹣1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．
由题意OC ＝CD ＝1，OA ＝BC ＝2，
∴BD ＝OE ＝1，OD ＝CF ＝BE
＝2， ∴A(2,0)，
B(1,2)，C(﹣1,2)，
故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．
②如图2﹣2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．
∵OD ∥BE ，OD ∥PM ，
∴BE ∥PM ，
∴BE OE PM OM
=， ∴21y x
=， ∴y ＝2x ．
故答案为：y ＝2x ．
③如图2﹣3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．
222MQ DM OA DO
x ∴=∴=
∴
2
2
2
y x
=-+
故答案为：y＝﹣
2
2
x+2．
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．
∵ω＝120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA＝30°，
∵MF⊥OA，OA＝23，
∴OF＝FA＝3，
∴FM＝1，OM＝2FM＝2，
∴圆M的半径为2
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN＝2
3
3
，ON＝2MN＝
4
3
3
，
∴M
4323
,
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．
∵MK∥x轴，ω＝120°，
∴∠MKO＝60°，
∵MK＝OK＝3
∴△MKO是等边三角形，
∴MN＝3，
当FN＝1时，MF＝3﹣1=2，
当EN＝1时，ME＝3+1=4，
观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为2＜r＜4．
故答案为：2＜r＜4．
【点睛】
本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．4．A
解析：（1）14
5
；（2）
2
2
7
4,0
3
149714
21,
2235
t t
S
t t t
⎧⎛⎫
<≤
⎪
⎪
⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪-+-<<
⎪
⎪⎝⎭
⎩
；（3）t的值为477
-
或727
-．【解析】【分析】
（1）如下图，根据
4
tan
3
A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；
（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；
（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．
【详解】
（1）如图1，点N在AC上
图1
由题意可知：PD=DQ=t，AP=7－t
∴PN=PQ=2t
∵
4 tan
3
A=
∴
4
3
NP
AP
=，即
24
73
t
t
=
-
解得：t=145 （2）①如图2，
图2 四边形PQMN 是正方形， 90BQM ∴∠=︒， 45B ∠=︒，
BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73
t =， 故当0t <≤
73时，22(2)4S t t ==； ②如图3，
图3 90BQF ∠=︒，45B ∠=︒， 7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒， 则37MF MQ QF t =-=-， 90M ∠=︒，
37ME MF t ∴==-， 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-7143
5t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,223
5t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G
图4
∵
4 tan
3
A=
∴设CG=4x，则AG=3x
∵∠B=45°
∴△CBG是等腰直角三角形∴GB=GC=4x
∵AB=14
∴3x+4x=14，解得：x=2
∴
1
14856
2
ABC
S==
∴1
28 2ABC
S=
情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E 图5
则28
PBE
S=
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°
∵∠B=45°
∴△PBE是等腰直角三角形
∵
1
28
2
PBE
S PE PB
==
∴PE=PB=14
∴PB=47
∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t ∴7+t=47
t=477
-
情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H
图6
同理，28
AFQ
S=
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°
∴△FHQ是等腰直角三角形
∵
4 tan
3
A=
∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y
∴
1
7428
2
AFQ
S y y
==，解得：2
∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t
∴2
解得：27
∴综上得：t的值为477或727．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．
5．B
解析：（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣
3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（3
2
，﹣
25
8
）或（
17
3
，
50
9
）或
（3，﹣2）．【解析】【分析】
（1）根据题意直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别
为：（0，-2）、（4，0），即可求解；
（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，则点N（
4
3
m-
，0），当
MN AN ＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，进行分析即可求解；
（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）直线y＝
1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），
则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝
1
2
，
故抛物线的表达式为：y＝
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）设点M（m，
1
2
m2﹣
3
2
m﹣2）、点A（0，﹣2），
将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线MA的表达式为：y＝（
1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，
则点N（
4
3
m-
，0），
当
MN
AN
＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即：
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；
（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，
则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，
联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），
故点P（﹣1，0）；
②当∠PAB＝∠OAB时，
当点P在AB上方时，无解；
当点P在AB下方时，
将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，
则sin∠H＝BO OA
HB HA
'
=，即：
2
4
44
x x
=
++，解得：x＝
8
3
，则点H（﹣
8
3
，0），．
则直线AH的表达式为：y＝﹣3
4
x﹣2③，
联立①③并解得：x＝3
2
，故点P（
3
2
，﹣
25
8
）；
③当∠PAB＝∠OBA时，
当点P在AB上方时，
则AH＝BH，
设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，
故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝3
2
，
故点H（3
2
，0），
则直线AH的表达式为：y＝4
3
x﹣2④，
联立①④并解得：x＝0或17
3
（舍去0），
故点P（17
3
，
50
9
）；
当点P在AB下方时，
同理可得：点P （3，﹣2）； 综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258
）或（173，509）或（3，﹣2）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．
6．E
解析：（1）y ＝﹣
21122x -x+3；（2）①EF 的长为
2；②点H 的坐标为（﹣4
5
，135）或（﹣
445
,99
）． 【解析】 【分析】
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①得出EAB ODB ∠=∠，当时，当时，可求出的长； ②（Ⅰ）求出直线CE 的解析式为1
32
y x =
+，得出APE EBA ∠=∠，则GCH APE EBA CHN MGH ∠=∠=∠=∠=∠，得出//GC PB ，由1
tan tan tan 2
AE EBA CHN MGH BE ∠=∠=∠=
=，设CN MG m ==，则2HN m =，12MH m =，则1
212MH HN m m +=+=，解得，25
m =，可求出H 点的坐标；
（Ⅱ）过点H 作MN PB ⊥，过点C 作CN MH ⊥于点N ，过点G 作GM HM ⊥于点
M ，证得GCH EBA HCN MHG ∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1
tan 2
EBA ∠=，则
1
tan tan 2
GM HG MHG GCH HM CH ∠=
=∠==，设MG a =，则2MH a =，证明HMG CNH ∆∆∽，则2NH a =，4CN a =，又(0,3)C ，得出(3,34)G a a --，代入
211322
y x x =--+中，得44
9CN =，可求出H 点坐标．
【详解】
解：（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax2+bx+c 得，
0930423a b c
a b c c =-+⎧⎪
=++⎨⎪=⎩
，
解得：
1
2
1
2
3 a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2
11
22
x-x+3；
（2）①将E（m，2）代入y＝﹣2
11
22
x-x+3中，
得﹣2
11
22
m-m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），∴E（﹣2，2），
∵A（﹣3，0）、B（2，0），
∴AB＝5，AE＝5，BE＝25，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴∠AEB＝∠DOB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，
∴∠EAB＝∠ODB，
（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，
∴∠AEF＝∠DOB＝90°，
∴F与B点重合，
∴EF＝BE＝25，
（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，
∴∠AFE ＝∠DOB ＝90°， ∵E （﹣2，2）， ∴EF ＝2，
故：EF 的长为25或2；
②点H 的坐标为4(5-，13)5或44(9-，5
)9
，
（Ⅰ）过点H 作HN ⊥CO 于点N ，过点G 作GM ⊥HN 于点M ，
∴∠GMN ＝∠CNH ＝90°， 又∠GHC ＝90°，
∴∠CHN+∠GHM ＝∠MGH+∠GHM ＝90°， ∴∠CHN ＝∠MGH ， ∵HN ⊥CO ，∠COP ＝90°， ∴HN ∥AB ，
∴∠CHN ＝∠APE ＝∠MGH ， ∵E （﹣2，2），C （0，3）， ∴直线CE 的解析式为y ＝1
2
x+3， ∴P （﹣6，0）， ∴EP ＝EB ＝5 ∴∠APE ＝∠EBA ， ∵∠GCH ＝∠EBA ，
∴∠GCH ＝∠APE ＝∠EBA ＝∠CHN ＝∠MGH ， ∴GC ∥PB ， 又C （0，3），
∴G 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣211
22
x -x+3中，得：x ＝﹣1或0（舍去）， ∴MN ＝1，
∵∠AEB ＝90°，AE 5BE ＝5
∴tan ∠EBA ＝tan ∠CHN ＝tan ∠MGH ＝1
2
AE BE =， 设CN ＝MG ＝m ，则HN ＝2m ，MH ＝1
2
m ， ∴MH+HN ＝2m+1
2
m ＝1， 解得，m ＝
25
， ∴H 点的橫坐标为﹣45，代入y ＝1
2x+3，得：y ＝135，
∴点H 的坐标为（﹣
45，13
5
）． （Ⅱ）过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，
∴CN ∥PB ， ∴∠NCH ＝∠APE ，
由（Ⅰ）知：∠APE ＝∠EBA ，则∠NCH ＝∠EBA ， ∵∠GMN ＝∠CNH ＝90°， 又∠GHC ＝90°，
∴∠HCN+∠NHC ＝∠MHG+∠NHC ＝90°， ∴∠HCN ＝∠MHG ， ∵∠GCH ＝∠EBA ，
∴∠GCH ＝∠EBA ＝∠HCN ＝∠MHG ，
由（Ⅰ）知：APE EBA ∠=∠，则NCH EBA ∠=∠， 90GMN CNH ∠=∠=︒，
又90GHC ∠=︒，
90HCN NHC MHG NHC ∴∠+∠=∠+∠=︒， HCN MHG ∴∠=∠，
GCH EBA ∠=∠，
GCH EBA HCN MHG ∴∠=∠=∠=∠，
由（Ⅰ）知：1tan 2
EBA ∠=， 则1
tan tan 2
GM HG MHG GCH HM CH ∠=
=∠==， 设MG a =，则2MH a =， NCH MHG ∠=∠，N M ∠=∠， HMG CNH ∴∆∆∽，
∴
1
2
MH MG HG CN NH CH ===， 2NH a ∴=，4CN a =，又(0,3)C ，
(3,34)G a a ∴--，代入211322
y x x =-
-+中，得，11
9a =或0（舍去），
449
CN ∴=
， H ∴点的橫坐标为449-，代入132
y x =+，得，5
9y =．
∴点H 的坐标为445
(,)99
-
． 综合以上可得点H 的坐标为4(5-，13)5
或445
(,)99-．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
7．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】
（1）
()1
1801802
1
18090180451352
AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示
AD 与BO 交于点E ，
()9060301
18030752
1
909030602
180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒
∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化
设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以
180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

因为BC 平分ABN ∠，所以45ABC α∠=︒+。

又因为180ABC ABD D BAD ∠=︒-∠=∠+∠。

所以4545D ABC BAD αα∠=∠-∠=︒+-=︒
（3）因为∠BAO 与∠BOQ 的平分线交于点E ， 所以135AOE ∠=︒， 所以
()111
18045454518090222
E EAO AOE EAO BAO ABO ABO
∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-︒-∠=∠
因为AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的平分线， 所以111
18090222
EAF BAO GAO ∠=∠+∠=⨯︒=︒在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当3EAF E ∠=∠时，得30E ∠=︒，此时60ABO ∠=︒
②当3EAF F ∠=∠时，得60E ∠=︒，此时12090ABO ∠=︒>︒，舍去。

③当3F E ∠=∠时，得1
9022.54
E ∠=⨯︒=︒，此时45ABO ∠=︒ ④当3E
F ∠=∠时，得3
9067.54
E ∠=
⨯︒=︒，此时13590ABO ∠=︒>︒，舍去。

综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°。

【点睛】
前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等
角的关系即可求解；第三问需先证明EAF
∠=90°，再分情况进行讨论. 8．A
解析：（1）
5
6
π；（2）
3
3
；（3
）存在，63
+
【解析】
【分析】
（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出
∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22
2
A D
CE n
CB A B m
==，可得CE=2n
m
，由161
A E
EC
=-推出16
A C
EC
=，推出A1C=
2
6
n
m
•，推出BH=A1C=
2
6
n
m
•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到
3
FG
F
FM FE
D
==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.
【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，
∴BA1=2HA1，
∴∠ABA1=30°，
∴旋转角为30°，
∵22
125
+=
∴D到点D1所经过路径的长度
3055
π⋅⋅
=；
（2）∵△BCE∽△BA2D2，
∴22
2
A D
CE n
CB A B m
==，
∴2n CE m =， ∵161EA EC
=-， ∴16A C EC
=， ∴A 1C=2
6n m
⋅， ∴BH=A 1C=2
22
6n m n m -=⋅， ∴4
22
26n m n m
-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴24
2416n n m m
-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，
∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，
∴∠DFG=∠MFE ，
∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，
∴∠FDG=∠FME ，
∴△FDG ∽△FME ，
∴3
FG F FM FE D ==，
∵∠DFM=90°，tan FD FMD FM ∠=
=， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，
∴2
FM DM =；
在矩形ABCD 中，有
AD AB =
3=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形，
∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°，
∴PM=2MN=6，
∴NP=AB =，
∴DM=AN=BP=2，
∴222
FM DM ==⨯=
∴6PF PM MF =+=
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
9．A
解析：（1）(1,4)D ；（2）158(,)33M ，274(,)33M ；（3）N 的坐标为57(,)24
．
【解析】
【分析】
（1）将点A 坐标代入函数关系式可得a 与b 的方程，再根据顶点D 的横坐标为1可得另一个关于a 和b 的方程，联立方程组求解即可得到a 和b 的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点D 的横坐标代入即可求得点D 坐标；
（2）①如图，取DB 得三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，通过证相似三角形可得点M 的横纵坐标与点B 、D 的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；
（3）取线段BC 的中点G ，连接GM ，由中点坐标可得33(,)22
G ，根据等腰三角形的三线合一可得GM ⊥BC ，在根据两条直线互相垂直可求得:GM l y x =，与:26BD l y x =-+联立方程组可求得点M 的坐标，再由(2,2),(0,3)M C 利用待定系数法可得1:32CM l y x =-+，最后将132
y x =-+与2y x 2x 3=-++联立方程组即可求得点N 的坐标．
【详解】
解：（1）将(1,0)A -代入23y ax bx =++可得03a b =-+①
∵顶点D 的横坐标为1，
∴12b a
-
=，即2b a =-② 联立①②解得1,2a b =-= ∴2y x 2x 3=-++
当1x =时，4y =
(1,4)D ∴
（2）由（1）得2y x 2x 3=-++
当y=0时，x 1=-1，x 2=3，
∴B （3,0），即BO=3，
如图，取DB 的三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，
则可得△DGM 1∽△DHM 2∽△DEB ，△BQM 2∽△BPM 1∽△BED ，且相似比为1:2:3， ∴12833
M D y y == 115()33
M D B D x x x x =+-= 158(,)33
M ∴
同理可得：274(,)33M
∴点M 的坐标为：158
(,)33M ，274(,)33
M （3）
NCB DBC ∠=∠
CM MB ∴=
取线段BC 的中点G ，作直线GM ，
∵点B （3,0），点C （0，3）
∴中点G 的坐标为33(,)22
∵CM MB =，点G 为线段BC 的中点，
∴GM ⊥BC ，
∴设直线GM 为y=x+m
将33(,)22G 代入得m=0，
∴:GM l y x =①
设直线BD 为y=kx+n
将,B D 坐标代入得k=-2，n=6，
∴:26BD l y x =-+②
联立①②可得22x y =⎧⎨=⎩
∴(2,2)M
设直线MC 为y=k 2x+n 2
将(2,2),(0,3)M C 坐标代入得k 2=12-
，n 2=3， ∴1:32
CM l y x =-+③ 联立③与2y x 2x 3=-++可得5274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴57(,)24N
故N 的坐标为57(,)24
.
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，能够根据题意做出正确的辅助线，利用数形结合思想进行转化是解决本题的关键． 10．E
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
()()11a b ++
<. 【解析】
【分析】
（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=︒，即EG ⊥AD ；
（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、
、
a MB ==、BF
、12
b NF BF ===，即可求出()()11a b ++
=(
)
11
< 【详解】 解：（1）补全图形如下：
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，
∵//AE DF ,AE DF =,
∴四边形AEFD 是平行四边形，
∴//AD EF ，AD EF n ==，
∴ABG ∽HBF , ∴
AB AG BH FH
=， ∵矩形ABCD ，
∴//AD BC ，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒，
∴//BC EF , ∴90AHF ABC ∠=∠=︒,
∴18090AHE AHF ∠=︒-∠=︒，
∴AHE ADC ∠=∠,
∵90EAC BAD ∠=︒=∠,
∴EAC BAC BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即EAH CAD ∠=∠,
又∵AE AC =，
∴AHE ≌ADC (AAS),
∴EH CD m ==,AH AD n ==，
∴BH n m FH =-=,
又∵AB AG BH FH
=， ∴AB AG =，
又∵90BAC CAD GAE ∠=︒-∠=∠，AC AE =， ∴GAE ≌BAC （SAS ），
∴90AGE ABC ∠=∠=︒，
∴EG ⊥AD ；
(3) 当AB =2，BC =4，MB =a ，NF =b 时，()()11a b ++<9+62，理由如下：
2AG AB ==,2222GB AG AB +=4EF AD BC ===,4AH AD ==,2BH AH AB =-=, ∵//AD BC ，
∴MAG △∽MCB △， ∴MG AG MB BC ==2142
=, ∴22MG GB ==42a MB ==
∵//AD EF ，
∴BAG ∽BHF ， ∴GB AB BF HB ==212
=, ∴22BF GB ==
∵//BC EF
NBC ∽NFE ，
∴1BN BC NF EF
==, ∴122
b NF BF ===, ()()11a b ++=()
4
21212<9+62 【点睛】
本题考查了矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形，灵活运用相似三角形的性质求各条线段的长度.
11．A
解析：（1）409t =；（2）QPBCM S 242721905t t =-+；（3）不存在，理由详见解析；（4）存在，11222196639t +=
，21222196639t -=． 【解析】
【分析】 （1）如下图，根据Rt △ADH 求得AD 的长，在利用QP∥DB 得到t 的值；
（2）先利用DOC BOA △∽△，得到AP 、BP 、DM ，然后用割补法求面积； （3）假设存在，使得PQM 的面积等于五边形面积的
1115
，验证t 的值是否在取值范围内；
（4）如下图，分别在Rt △EMQ 和Rt △QFP 中求得QM 和QP 的长，令它们相等求得t.
【详解】
（1）如下图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点H
∵DC=8，AB=16，CB=6，∴AH=8，DH=6
∴在Rt △DHA 中，226810AD =+=
设DQ t =则2AP t =
∴10AQ t =-
∵QP ∥DB
AQ AP AD AB ∴=，即1021016
t t -= 解得：409
t =． （2）∵DC ∥AB
∴∠ABO=∠CDO ，∠OAB=∠DCO
∴DOC BOA △∽△
∴
12
CD DO AD BO == ∵2AP t =，∴162BP t =-。