数学解题方法的探究——浅谈一题多解在数学中的运用

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数学解题方法的探究
——
—浅谈一题多解在数学中的运用杨柳青
（福建省福州市黎明学校）
在教学过程中，
很多学生在学习数学时都遇到或大或小的困难。

特别是刚刚升入高中的新生对学好数学没有信心。

然后就参加各种辅导班或者采取题海战术，这样做成绩是可以提高，但是效果不明显，而且也学得很辛苦。

我认为要让学生学好数学、爱上数学，并且能让数学成绩得到较大的提高，就要改变现有的注重题海战术的教学方法。

在课堂中教师可以通过一道题目多种解法来训练学生从不同角度来思考问题。

下面就通过几个具体的案例来说明一题多解的优点。

一、在例题讲解中运用一题多解现在很多教师在教学中，往往需要列举许多例题来巩固教材中的知识点，这种方法不但大大增加学生的学习负担，而且效果也不是很理想。

若在教学过程中运用一题多解的教学方法，这样既避免了列举大量的题目来训练学生，进而节约了时间，又让同
学的发散思维得到很好的巩固。

例1：已知tan α=512，求sin α，cos α的值。

方法一：
【分析】因题中有sin α，cos α，tan α，最容易想到的就是用同角三角函数关系式来解此题。

解：根据同角三角函数关系式，得sin 2α+cos 2α=1tan α=sin αcos α=
512
{
联立，消sin α得cos 2
α=144169∴当cos α=1213时sin α=513；当cos α=-1213时sin α=-5
13
方法二：【分析】在方法一的解题过程中计算难度较大，因此，可以灵活地使用“1”的替换，直接利用已知条件求得结果。

解：∵tan α=512∴α是第一或三象限角
又∵cos 2α=cos 2
αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1=1（512
）2
+1=144
169
∴当是第一象限角时，cos α=1213，sin α=513
当α是第三象限角时，cos α=-1213，sin α=-5
13方法三：
【分析】有时也可以先把任意三角形看成是直角三角形来解题，再由角的象限来决定符号。

解：因为tan α=512，所以对于角α可构造如图所示的直角三角形。

当α是锐角时，由tan α=512
可得，
sin α=513，cos α=12
13
∵tan α=512
∴α是第一或三象限角
∴当α是第一象限角时，cos α=1213，sin α=5
13
当α是第三象限角时，cos α=-1213，sin α=-513
方法四：【分析】如果只从角的倍数关系来看，可以试着用二倍角公式
解：
由tan α=2tan α
21-tan 2α2
=512整理可得5tan 2α2+24tan α2-5=0解得tan α2=-5或tan α2=1
5∵sin α=2sin α2cos α2=2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=
2tan α
2tan 2α2+1cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α
2∴当tan α2=-5时，sin α=-513，cos α=-12
13当tan α2=15时，sin α=513，cos α=12
13例2：已知f （x ）=x 3-ax 2+3x ，若f （x ）在（1，+∞）上是增函数，求a 实数的范围。

方法一：【分析】利用导函数在某个范围上的恒成立问题转化为不等式恒成立问题
解：∵f （x ）=x 3-ax 2+3x ∴f '（x ）=3x 2-2ax+3∵f （x ）在（1+∞）上单调递增∴f '（x ）≥0在［1，+∞）上恒成立
即：2a ≤3x +3x 在（1+∞）上恒成立
令g （x ）=3x +3x
，x ∈（1+∞）
则2a ≤g （x ）在［1，+∞）上恒成立，即2a ≤g min （x ）
∵3x +3x ≥23x ·3x
√
=6（当且仅当x =1时，取等号）
摘要：在课堂的讲解过程中，用多种方法来解同一道题目时，可以使学生学到的知识灵活应用，举一反三。

这样训练了学生独立思考能力和求异思维，进而提高学生学习数学的积极性，从而爱上数学，学好数学。

关键词：一题多解；公式推导；函
数
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∴g min （x ）=6即2a ≤6∴a ≤3方法二：
【分析】将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，再利用对函数二次求导求出最值，进而解决问题。

解：由方法一可得：要求a 的取值范围，只需2a ≤g min （x ）即可
∵g '（x ）=3-3x 2，∵x ≥1∴3-3x
2≥0即g'（x ）≥0
∴g （x ）在［1，+∞）上单调递增∴g min （x ）=g （1）=6∴2a ≤6即a ≤3方法三：
【分析】根据一元二次函数的性质进行解题。

解：∵f （x ）=x 3-ax 2+3x ∴f '（x ）=3x 2-2ax+3
f （x ）在［1，+∞）上单调递增∴f'（x ）≥0在［1，+∞）上恒成立即3x 2
-2ax +3≥0在［1，+∞）上恒成立∴（-2a ）2
-4×3×3>0
2a +（-2a ）2-4×3×3√2×3
≤1⎧
⎩
⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或（-2a ）2
-4×3×3≤0解得：a ≤3
二、在公式的推导中运用一题多解
数学中存在着许多的公式，而且这些公式在解题中发挥着重要的作用。

因此记住公式，并且会灵活的用公式解题就显得尤为重要了。

而许多学生都是通过死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。

因此时间一长，很多学生就忘记公式或者不懂的该
用什么公式来解题，从而导致丢分。

其实公式的推导也是一类解题方法。

例如：在学习等比数列通项公式a n =a 1q n -1，n ∈N *时，
方法一：（归纳法）∵｛a n ｝是等比数列∴a 2=a 1q ，a 3=a 2q=a 1q 2，a 4=a 3q =a 1q 3，…，a n =a n -1q=a 1q n -1∴a n =a 1q n -1，n ∈N *
方法二：由等比数列定义知：a n =a n -1q=a n -2q 2=……=a 2q n -2=a 1q n -1
方法三：由等比数列定义知：
a 2a 1=q ，=a 3a 2=q ，a 4a 3=q ，a 5a 4=q ，…，a n a n -1
=q
以上共n -1个式子，把这个式子左右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4……a n a n -1
=q ·q ·q ·q ……q
即a n a 1
=q n -1，所以a n =a 1q n -1，n ∈N *从以上例题中，可以看出数学并不是一门枯燥的学科，我们可以让一道普通的高中数学题目，从不同的知识点，用不同的思
维来解答。

数学也是锻炼人逻辑思维最好的一门学科，
而一题多解就是这门学科的精髓，我们的目标不应该是让学生记更多的公式，
做更多的题，而是教会他们学习思考，学习变通。

•编辑王团兰
几类递推数列的通项公式的求解方法
綦
婷
（云南省会泽县茚旺高级中学）
系统总结递推数列的通项公式求解方法有助于学生加强对数列的学习理解，提高学生在应试过程中解决数列问题的能力，
是值得付出努力的过程。

一、普通型递推数列简单的等比数列和等差数列是学生学习数列的基本内容，也是深入学习数列的必要基础内容。

就等差数列来说，其通项公式的求法主要采用迭加法，a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…（a n -a n -1）=a 1+
（n -1）d 。

等比数列采用类似的形式进行求解，将等差数列通项公式求解式中的减号换成分号，则an =a 1，q ≠0。

这两种基本数列的通项公式求解都很简单。

二、特殊型递推数列
特殊型递推数列是在等比数列和等差数列的基础上衍生出来的，其主要形式和其通项公式求解如下所示。

基于等差数列演变的形式有：a n +1=a n +f （n ），其通项公式的求
解仍使用迭加法，a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…（a n -a n -1）=a 1+∑n -1
k =1f （n ）；a n +1=pa n +f （n ）（p 不为0或1的常数），其通项公式的求解以向前
一特殊类型转化为主，等号两边同除以p n +1，变为a n +1
p n +1=a n p n
+f （n ）p n +1
，然后是构造另一数列b n =a n p n
，这样就转为了上一类型的递推数列。

基于等比数列演变的形式有：a n +1=a n f （n ），每项之间的比是随
着n 变化的，参照等比数列通项公式求法并类比等差数列衍生型
递推数列可推出a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n -1
=a 1×f （1）×f （2）×…×f （n -
1）=a 1∏n -1
k =1f （k ）；a n +1=f （n ）a n +g （n ）是等比类型的更深入演变，同样类比与等差数列衍生型进行求解，过程中消除f （n ），同样引入数
列b n 进行替换，先求出b n 再解出a n ，其求解过程不做仔细论述。

各解法总结起来的话，其关键就是将递推关系式转化为我们熟知的等差型、等比型、累加型、累乘型等数列形式，然后求出数列的通项公式。

参考文献：
邓世江.递推数列通项公式的常用求解方法［J ］.中学教学参考，
2012（131）.
•编辑王团兰
摘要：数列知识是高中数学教学的重点内容，也是高考必考点，而递推数列的通项公式求解是数列问题的重中之重，其求解过程具有多变性、灵活性、技巧性，关键是要依靠普通型数列化简递推关系式，然后求出数列的通项公式。

本文就求解递推数列的通项公式提出一些方法论述。

关键词：递推数列；通项公式；求解方法；高中数学
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