ch6_04第二型线积分与第二型面积分

2 [( R sin t)2 ( R sin t) R2 sin2 t ( R cos t)
02
2
22
(( R R cos t)2 ( R cos t )]dt
22
22
R3
2 (1 cos2 t)d cos t R3
2 1 cos t d sin t
80
20 2
R3
2 cos4 t d sin t
置时, 相应的法向量也回到原来的 n。
对于双侧曲面, 可以通过曲面上的法向 量的指向来区分曲面的两侧, 取定了法向 量，即选取了曲面的侧。故双侧曲面也称 为有向曲面。
一般地 :封闭曲面分为内侧和外侧; S: z f (x, y) 分为上侧,下侧; y f (x,z) 分为右侧, 左侧; x f ( y,z) 分为前侧, 后侧.
有向曲线C的第二型曲线积分，简称为第二型线
积分，记作
n
A
C
M
ds lim A d 0 k 1
Pk
M k 1M k
当需要注明曲线C的起点A与终点B时, 将 记作
C
AB
设A(x, y, z) P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)
M k (k ,k , k ),
积 A(Pk ) M k1M k , k 1, 2, , n,将各小弧段所对应
n
的点积相加得和式 A(Pk ) M k1M k；如果无论C k 1
被怎样划分, 点P 在M k1M k上被怎样选取, 只要所 有小弧段
的最大长度d 0时, 上述和式都趋于同一常数,
则称此极限值为向量值函数(或向量场)A(M )沿
a3[cos t
cos3 t ] 3
0
4 a3 3
(2) C : y 0, x : a a,
y2 dx
a
0dx 0
a
C
例3 计算 L (x y)dx (x y)dy, 其中L为
(1) 从 A(1, 0) 到 B (0, 1) 的在第一象限的圆弧；
(2) 折线 AOB； (3) 直线 段 AB。 y
曲线积分不等。本例中，三条曲线的起点、终
点相同，积分值相等。
例
4
L
dx x
dy y
,
L 为以 A (1, 0), B (0, 1),C (1, 0), D (0, 1)
为顶点的正方形边界(如图), 逆时针方向。
解 dx dy 0 dx (dx) 1 dx dx
L x y 1 x (1 x) 0 x (1 x)
C
(1) x2 y2 a2 ( y 0) 逆时针；
(2)从 A(a, 0) 到 B (a, 0) 的直线段. B o A x
解
(1)
C
:
x
y
a cost asin t
,
t :0 ,
y2 dx a2 sin2 td (a cos t) 0
C
0
a3(1 cos2 t)d cos t
单侧曲面(不可定向曲面)如Mobius带:
在第二型曲面积分中, 均指有向曲面.
二. 第二型曲面积分的概念
1. 流量问题: 设一稳定流动的不可压缩液体 (密度均匀, 不妨假设密度为1)以流速
V P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 从有向曲面S的一侧流到另一侧, 求单位时间内 的流量。
,t : 0 , dy b cos tdt
(x2 2xy) dy (a2 cos2 t 2ab cos t sin t)b cos tdt 0 C
a2b(1 sin2 t)d sin t 2ab2 cos2 td cos t 4 ab2
0
0
3
(法三) C : y b
F (x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
作用下, 从 A点沿空间曲线 C 移动到 B 点。 求:变力 F 所作的功W (设 F (x, y, z)在C上连续)
分 : 用分点Mk (k 1, 2, , n 1)把曲线段 C 任意分成 n个有向小弧段M k1M k (k 1, 2, , n), M0 A, M n B, 记sk表示弧段M k1M k的长度
d 0
Wk
k 1
lim
d0
F (Pk ) M k 1M k
k 1
定义1(第二型曲线积分)
设C是向量场A(M )所在区域中的一条以A为起 点, B为终点, 且可求长的有向曲线, 在C上自起 点A(记作M 0 )到终点B(记作M n )，依次任意插入 n 1个分点M1, M 2 , , M n1, 把C分成 n个有向小弧 段, 在每一有向小弧段M k1M k上任取一点Pk , 作点
x2 1
, x : a a, dy b
x
dx
a2
a a2 x2
(x2 2xy) dy a (x2 2xb 1 x2 ) ( b x )dx
C
a
a2
a a2 x2
a[ b aa
x3 a2 x2
2b2 a2
x2 ]dx
a
a
2b2 a2
x2dx
4 ab2 3
y
例2 计算 y2 dx, 其中C为
C
C
n
lim
d 0
[P(k
k 1
,k
,k
)xk
Q(k
,k
,k
)yk
R(k
,k , k
)zk
]
( P(x, y)dx Q(x, y)dy C为平面曲线）
C
质点在变力 F (x, y，z) 作用下,沿有向曲线C运
动, 变力 F (x, y，z) 所作的功为
W P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
7.1 场的概念
分布着某种物理量的平面或空间区域称为场， 在数学上表现为定义在某一区域上的数量值函 数或向量值函数。当这个函数为数量值函数时， 称为数量场，当这个函数为向量值函数时，称 为向量场。
如果场中的物理量仅与点M的位置有关，不 随时间变化，那末这种场称为定常场或稳定场, 否则称其为非定常场或时变场。
对于一个空间的向量场A A(M ) A(x, y, z), (x, y, z) G R3, 域G内任一点都确定着一个向 量, 我们把G内这样的曲线称为向量线，它上面 每一点处的切向量的正向，正好与场在此点所 确定的向量的方向吻合。
7.2 第二型曲线积分
一、概念和性质
变力作功问题 :设一个质点在变力
C
性质1如果把积分路径C的方向反过来记作(C),
那末积分的值将改变符号, 即
A M ds A M ds
C
C
性质2 设 A, B, P为曲线C上任意三点, 则
AB AP PB
性质3 如果由闭合曲线C所围成的平面区域被
划分为两个无公共内点的区域 1和 2,它们的
边界分别记作C1和C2, 那末沿闭合曲线C的第二
0
22
R3
4
例6 质点
M (x,
y) 在力 F
的作用下沿椭圆 x2 a2
y2 b2
1
的第一象限部分从点 A (a, 0)移动到点 B (0,b)。 F 的
大小与M到原点O 的距离成正比, 方向指向原点, 求
y
F 所作的功W。
B
解 F k x2 y2 , MO {x, y},
•M
F / /MO, 故
A
o
x
F k x2 y2 1 {x, y} k{x, y} x2 y2
W k L xdx ydy
k
2 (a2 sin t cos t b2 sin t cos t)dt
k (a2 b2)
0
2
三、两类曲线积分的联系
ds dx, dy, dz , ds dx2 dy2 dz 2 ds
y2 1 b2 , y 0
y
(x2 2xy) dy
C
b[a2
0
(1
y2 b2
)
2a
1
y2 b2
y]dy
o
x
0[a2 (1 y2 ) 2a
y2 1 y]dy
b
b2
b2
b
4a 0
y2 1 b2
ydy
2ab2
2 3
(1
y2 b2
3
)2
b 0
4 3
ab2
(法二)
C
:
x
y
a b
cos t sin t
匀：有向小弧段Mk1Mk近似看成向量Mk1Mk
任取Pk (k ,k , k ) M k1M k
质点从点M k1移动到点M k所作的功
Wk F (Pk ) M k1M k
n
n
合： W Wk F (Pk ) M k 1M k
k 1
k 1
d m1kaxn{Sk }
n
n
精： W
lim
ds {dx, dy, dz},
则M k 1M k {xk xk 1, yk yk 1, zk zk 1} {xk , yk , zk }
所以第二型曲线积分的坐标形式，也称为对坐标 的曲线积分
A(M ) ds P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
(z 0, R 0 ) 其方向从 z 轴正向往下看逆时针。
x2 y2 z2 R2
解
L:
(x
R )2 2
y2
( R)2 , 2
参数方程为
x
R 2
R 2
cos t
y
R 2
sin t
z
R2 R x R sin t 2
, t : 0 2
y2dx z2dy x2dz L
用eτ表示与有向路径(C)的正向一致的单位切向量, 那么ds eτds, 于是
A M ds A M eτds
C
C
P cos Q cos R cos ds
C
7.3 第二型曲面积分
一、曲面侧的概念: 设S是一光滑曲面,过S上任一点P 作曲面的 法向量, 选定一个记为 n。当点P 在S上不越过 S的边界而任意连续变化又回到原来的位
对于一个空间数量场u u M u x, y, z, x, y, z G R3, 我们把使 u x, y, z 取相同值C 的点构成的曲面u x, y, z C，称为该数量场的
等值面；
对于平面数量场u u x, y, x, y D R2, 称曲线u x, y C为此数量场的等值线。
x 0, y : 0 1,
0
1
L (x y)dx (x y)dy 1 x dx 0 ( y) dy 1
(3 ) L : y 1 x, x :1 0,
0
L (x y) dx (x y) dy 1 dx (2x 1) ( dx )
0
1 (2 2x) dx 1
上例中，沿两条起点，终点相同，路径不同的
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)}dt
则L P(x, y)dx Q(x, y)dy
P(x(t), y(t))x(t)dt Q(x(t), y(t)) y(t)dt
P(
x(t
),
y
(t
))
x(t
)
Q(
x(t
),
y(t
))
y(t
)
dt
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
型曲线积分 P x, ydx Q x, ydy等于按同一 C
方向闭合曲线C1和C2的第二型曲线积分 Nhomakorabea和, 即
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
C
C1
C2
其中曲线C, C1, C2或者都取正向, 或者都取负向.
二、第二型曲线积分的计算
设光滑有向曲线C的参数方程是
r r t xt, y t, z t t
a
P(
x,
y ( x))
Q(
x,
y(
x))
y(
x)
dx
注：第二型曲线积分化成定积分时, 必须定积 分的下限对 应于C的起点, 上限对应于终点, 而 不必考虑上下限的大小。
例1 计算 (x2 2xy) dy,C为逆时针方向的上半椭
C
圆:
x2 a2
y2 b2
1,
y 0。
解 (法一) C : x a
0 dx (dx) 1 dx dx
1 x x 1 0 x (1 x)
y
B
1
1
2 0 dx 2 0 dx 0
A
Co
x
本例中，积分曲线为闭曲线，积分值 D 为零。以后将进一步研究此类积分。
例5 y2dx z2dy x2dz L
x2 y2 z2 R2
L:
x2 y2 Rx
t 对应于C的起点A, t 对应于C的终点B,又设
向量值函数
A A x, y, z P x, y, z,Q x, y, z , R x, y, z
在曲线C上连续, 则有
A M ds P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz
C
C
{P[x(t), y(t), z(t)]x(t) Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)
解
(1)
L
:
x
y
cos t sin t
,
t
:
0
2
,
L (x y)dx (x y)dy
o
x
2 (cos t sin t)(sin t)dt (cos t sin t) cos tdt 0
2 (cos 2t sin 2t)dt 1 0
(2) L : y 0, x :1 0 ;