黑龙江省双鸭山高一下学期期末考试数学理试题

双鸭山市高一下学期期末考试数学试题(理)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1、已知直线l ， m ，平面βα，，下列命题正确的是( )
A ．l //β， l ⊂
α⇒α//β
B ．l //β， m //β， l ⊂
α， m
⊂α⇒α//β
C ．l //m ， l ⊂
α， m ⊂β⇒α//β
D ．l //β， m //β， l ⊂
α，
m ⊂α， l ⋂m =M ⇒α//β
2、在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=4，a 2+a 3=8，则a 7等于( )
A ．7
B ．10
C ．13
D ．19
3、如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )
A ．－a 1＜－b
1
B ．ab ＜b 2
C ．－ab ＜－a 2
D ．|a |＜|b |
4、过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0
D ．3x ＋19y ＝0
5、BC 是Rt △ABC 的斜边，PA ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于D 点，则图中共有直角三角形的个数是 ( )
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
6、以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7、若某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则该圆台较
小底面的半径为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3
8、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则 ( ) A.α∥β且l ∥α B.α⊥β且l ⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
9、在等比数列{a n }中，若a 1+a 2+…+a n =2n
－1，则a 21
+a 22
+…+a 2n
=( )
A ．(2n －1)2
B ．3
1(4n －1)
C ．3
1(2n －1)
D ．4n －1
10、关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1， +∞)，则关于x 的不等式(ax +b )(x －3)＞0的解集是( )
A ．(－1， 3)
B ．(1， 3)
C ．(－∞， 1)∪(3， +∞)
D ．(－∞， －1)∪(3， +∞)
11、三棱锥BCD A -的外接球为球，球O 的直径是AD ，且BCD ABC ∆∆,都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是( ) A
122 B 81 C 61 D 8
2
12、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为( )
A ．32
B ．327
C ．64
D ．647
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13、若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (2
1，m )共线，则m 的值为 ．
14、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线. 其中正确的结论为________.
15、如图所示，正三棱锥S －ABC 中，侧棱与底面边长相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点，则
异面直线EF 与SA 所成的角等于 .
16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=－1，a n +1=S n S n +1，则S n = . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)在△ABC 中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程． 18、(12分)若不等式(1－a)x 2
－4x ＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a)x －a>0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R.
19、(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面
⊥MNEF 平面ECDF ．
(Ⅰ)求证：NC ∥平面MFD ； (Ⅱ)若3EC =，求证：FC ND ⊥；
20、(12分)某镇计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧
与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
21、(12分)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；
图1 图2
(2)若AB=CB=2，A 1C=6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积.
22、(本题满分12分) 已知数列
{}n a 的前n 项和是n S ，12-=n n a S ()*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列
{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
(3)若数列
{}n c 满足()
n n n n a c λ1
123--+=(λ为非零常数)，确定λ的取值范围，使
*n N ∈时，都有n n c c >+1.
双鸭山市高一下学期期末考试数学试题(理)答案
一、选择题
13．1/2
14．③④
15．45°
16．－n
1
三、 解答题
17.(1)设C(x ，y)，由AC 的中点M 在y 轴上得，x ＋5
2＝0，解得x ＝－5. 由BC 中点N 在x 轴上，得3＋y
2＝0， ∴y ＝－3，∴C(－5，－3) (2)由A 、C 两点坐标得M(0，－5
2)． 由B 、C 两点坐标得N(1，0)．
∴直线MN 的方程为x ＋y
－52
＝1.即5x －2y －5＝0.
18. (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x 2
－4x ＋6＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－a<0
41－
a ＝－2
61－a ＝－3
，解得a ＝3.
∴不等式2x 2
＋(2－a)x －a>0 即为2x 2
－x －3>0，解得x<－1或x>32.
∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x|x<－1或x>32.
(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，
若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6. 19.(Ⅰ)法一：∵AB EF //， ∴MN EF //， CD EF //，
∴
CD MN //，
∴MNCD 是平行四边形，
∴MD
NC//，且NC⊄平面MFD
∴//
NC平面MFD，
法二：∵MF
NE平面MFD，
NE//，∴//
∵FD
EC平面MFD，
EC//，∴//
∴平面//
NEC平面MFD，
∴//
NC平面MFD.
(Ⅱ)∵,3
AB
EC，∴ECDF为正方形，
=CD
,3=
=
∴ED
FC⊥，
又∵平面⊥
NE⊥，
MNEF平面ECDF，EF
∴⊥
NE平面EFDC，
∴⊥
NE FC，
∴⊥
FC平面NED，
∴ND
FC⊥，
20.设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab=800．
所以S=(a－4)(b－2)=ab－4b－2a+8=808－2(a+2b)≤808－4ab
2=648．当且仅当a=2b，即a=40，b=20时等号成立，则S最大值=648．
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．
21.(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．
因为OC⋂OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C．
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1=3．
又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA12，故OA1⊥OC．
因为OC⋂AB＝O，
所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－Ａ1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝3，
故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·OA 1＝3．
22.(1)当n =1时111121,1a S a a ==-=得，又11
21n n S a ++=-与原式两边分别相减得
11122,2n n n n n a a a a a +++=-=得，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a -=；
因
为
22n
n n b na n ==∙，所
以
2
32
222322,
n
n n n T n T n +
=+∙
+∙+
+∙
=
+∙+∙+
+∙
，两式相减得()12
3
1
11
2222222
212112
n n
n n n n T n n n ++++--=+++
+-∙=-∙=-∙--，
所
以
()1121
n n T n +=-∙+；
(3)∵112)1(23-+-⋅+=n n n n C λn n n 2)1(31λ+-+=
∴n n C C
>+1
即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(3λ-+
即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ 即0)22()1(321>+-+⋅+n n n n λ 即023)1(32>⋅-+⋅n n n λ ∴>-λn )1(n
n 2332⋅⋅- 即>
-λn )1(1)2
3(--n 当n 为偶数时
≤--1)23(n 23- ∴23->λ 当n 为奇数时
≤--1)2
3(n 1- ∴1->-λ 即 1<λ 又∵0λ≠ ∴
12
3
<<-λ且0λ≠。