2013年高考数学总复习2-11课后演练知能检测北师大版

B．y＝ 2x＋ 2
C．y＝ x－ 1
D．y＝ x＋ 1
解析：当 x＝ 1 时， y＝ 0； y′＝ ln x＋ 1，k＝ y′｜x＝1＝ 1，所以切线方程为 y＝ x－ 1，故
选 C.
答案： C
2．已知 f ( x) ＝ x2＋ 2xf ′(1) 则 f ′(0) 等于 (
)
A．0
B．－ 4
C．－ 2
1 解析：本题主要考查导数的几何意义． 函数 y＝ ln( x＋ a) 的导数为 y′＝ x＋ a，设切点 ( x0，
1 y0) ，则切线方程 y－ ln( x0＋ a) ＝ x0＋ a( x－ x0) ，即 y＝ x＋1，所以
1 x0＋ a＝
x0 x0＋a －x0＋ a＝ 1
解得 a＝2.
答案： 2 9．设 P为曲线 C： y＝ x2－x＋ 1 上一点，曲线 C在点 P处的切线的斜率的范围是
7． (2012 年青岛质检 ) 如图所示，函数 y＝f ( x) 的图像在点 P 处的切线方
程
是 y＝－ 2x＋9，则 f (4) ＋ f ′(4) 的值为 ________．
解析：因为 f (4) ＝－ 2×4＋ 9＝1， f ′(4) ＝－ 2，
-2-
所以 f (4) ＋f ′(4) ＝ 1＋ ( － 2) ＝－ 1. 答案：－ 1 8．(2012 年全国原创模拟 ) 已知直线 y＝ x＋ 1 与曲线 y＝ ln( x＋ a) 相切，则 a 的值为 ________．
[ － 1,3] ，
则点 P纵坐标的取值范围是 ________． 解析：设 P( a， a2－ a＋ 1) ，
y′｜x＝a＝ 2a－ 1∈ [ －1,3] ，∴ 0≤ a≤2.
而 g( a) ＝ a2－ a＋ 1＝
1 a－2
2＋
3 4
，
1
3
当 a＝ 时， g( a) ＝ min .
2
4
3 a＝2 时， g( a) ＝ max 3，故 P点纵坐标范围是 4， 3 .
D．2
解析： f ′（x) ＝ 2x＋ 2f ′(1) ，
∴f ′(1) ＝ 2＋ 2f ′(1) 即 f ′(1) ＝－ 2，
∴f ′（x) ＝2x－ 4，∴ f ′(0) ＝－ 4.
答案： B
3． (2011
湖南高考 ) 曲线
y＝ sin
sin x x＋cos
1 x－2在点
M π4 ， 0
处的切线的斜率为
∴a＝－
8，∴
f
(
x)
＝
2x
3
－
8x，
∴f ′（x) ＝6x2－ 8.
对于 g( x) ＝bx2＋ c，图像过点 P(2,0) ，则 4b＋ c＝ 0.
又 g′（x) ＝2bx， g′(2) ＝ 4b＝f ′(2) ＝ 16，
∴b＝ 4，∴ c＝－ 16， ∴g( x) ＝ 4x2－16. 综上可知， f ( x) ＝ 2x3－ 8x， g( x) ＝ 4x2－ 16.
答案： A
5．设函数 y＝ xsin x＋ cos x 的图像上的点 ( x， y) 处的切线斜率为 k，若 k＝ g( x) ，则函数 k
＝
g( x) 的图像大致为 ( )
解析： k＝ g( x) ＝ y′＝ sin x＋ xcos x－sin x＝ xcos x，
故函数 k＝ g( x) 为奇函数，排除 A、 C；
3 答案： 4， 3
三、解答题 ( 共 3 小题，满分 35 分 ) 10．已知函数 f ( x) ＝ 2x3＋ax 与 g( x) ＝ bx2＋ c 的图像都过点 P(2,0) ，且在点 P 处有公共切线，
求 f ( x) 、 g( x) 的表达式．
解析：∵ f ( x) ＝ 2x3＋ ax 图像过点 P(2,0) ，
C．f ( x) － g( x) 为常数函数
D．f ( x) ＋ g( x) 为常数函数
解析：由 f ′（x) ＝ g′（x) ，得 f ′（x) －g′（x) ＝0，
即[ f ( x) － g( x)] ′＝ 0，
所以 f ( x) －g( x) ＝ C( C为常数 ) ．
答案： C
二、填空题 ( 共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
x
x
e －1 － e ＋1
ex－ 1 2
x
e ＝
x
－ 2e ex－ 1 2.
ex－ 1＋ 2
2
法二：∵ y＝ x
＝ 1＋ x ，
e －1
e－1
2
－ 2ex
∴y′＝ 1′＋ ex－ 1 ′，即 y′＝ ex－ 1 2.
12．设曲线 C： y＝－ ln x(0 ＜ x≤1) 在点 M(e － t ， t )( t ≥0) 处的切线为 l .
11．求下列函数的导数．
-3-
x
(1) y＝1；
解析： (1) y′＝ ( x2) ′sin x＋ x2(sin x) ′
＝2xsin
x＋
x
2
cos
x.
x
x
x
e ＋1 ′ e －1 － e ＋1
(2) 法一： y′＝
ex－ 1 2
x
e －1 ′
x
e ＝
t ＋1 (2) 令 x＝ 0，得 y＝ t ＋ 1；令 y＝ 0，得 x＝ et .
1
t＋
所以 S( t ) ＝2( t ＋ 1) et
1 ＝(
t
＋ 1)
e2 －t
(
t
≥0)
，
2
从而
S′（t
)
＝
1 e－ t 2
(1
－
t
)(1
＋t )．
因为当 t ∈ [0,1) ， S′( t ) ＞ 0；当 t ∈ (1 ，＋∞ ) 时， S′（t ) ＜ 0，
π 4
，
且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ( A．0
) B．1
C．2
D．3
解析：依题意得，
y′＝ 3x2－ 9，令
0＜ y′＜ 1 得
3＜
x
2
＜
10 3
，显然满足该不等式的整数
x
-1-
不存在，因此在函数 y＝ x3－ 9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于
π 4
，且横、
纵坐标都为整数的点的个数是 0，选 A.
2 所以 S( t ) 的最大值为 S(1) ＝ e.
-4-
(1) 求直线 l 的方程；
(2) 若直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S( t ) ，求 S( t ) 的最大值．
1 解析： (1) 因为 y′＝ ( － ln x) ′＝－ x(0 ＜ x≤1) ， 所以在点 M(e －t ，t ) 处的切线 l 的斜率为－ et ， 故切线 l 的方程为 y－t ＝－ et ( x－ e－t ) ， 即 et x＋ y－ 1－ t ＝ 0.
2013 年高考数学总复习 2-11 课后演练知能检测 北师大版
( 时间： 60 分钟，满分： 80 分 ) 一、选择题 ( 共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 ) 1． (2012 广东六校第二次联考 ) 已知函数 y＝xln x，则这个函数在点 x＝1 处的切线方程是
()
A．y＝ 2x－2
(
)
1
1
A．－ 2
B. 2
2 C．－ 2
2 D.
2
cos x 解析： y′＝
x＋ cos x － sin x x＋ cos x 2
x－ sin x
1
π
＝ 1＋ sin 2 x，把 x＝ 4 代
1 入得导数值为 2.
答案： B
4．(2012 年河南十校联考 ) 在函数 y＝ x3－ 9x 的图象上， 满足在该点处的切线的倾斜角小于
π
又当
x∈
0， 2
时， g( x) ＞ 0.
答案： B
6． f ( x) 与 g( x) 是定义在 R 上的两个可导函数，若 f ( x) ， g( x) 满足 f ′（x) ＝ g′（x) ，则 f ( x)
与
g( x) 满足 ( )
A．f ( x) ＝ g( x)
B．f ( x) ＝ g( x) ＝ 0