由一道题的错解引发的思考

由一道题的错解引发的思考
先看下面一个单元选择题：已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
（A ）59 （B ）3 （C ）779 （D ）4
9 解（一）、假设P 为直角顶点，坐标为(,)x y 。

焦点F 1、F 2
的坐标分别是(。

由12PF PF ⊥
1=-，即227y x =-，亦即227x y =-，将该式代入椭圆方程
得y =C ） 解（二）、假设1F 为直角顶点，P 的坐标为(,)x y ，因为焦点F 1
的坐标为(，
将x =代入椭圆方程得94
y =
，所以选择答案（D ） 思考1：以上两种解法，获得了两个不同结果，是不是选择支设置不当？不是！首先两
解法实际上是解答该题时应考虑的两个方面。

另外，在解（一）
中将y =22
7x y =-会发现20x <，这样的x 值不存有，也就是说P 不可能是12F PF 的直角顶点。

所以解（一）是错解！
思考2：本题解（一）出现了以下现象：联立两方程得到关于y 的方程有解，但是方程组却没有解。

以前，我们经常解直线方程（二元一次方程）与圆锥曲线方程（二元二次方程）组成的方程组，从没有遇到过类似情况。

即联立两方程得到关于x （或y ）的方程，把x （或y ）解出来后代入一次方程，y （或x ）一定存有，即方程组一定有解。

这是为什么？ 其实，解222
27(1()921)16x x y y +=⎧⎪⎨⎪=-⎩
时，将（2）式代入（1）得229(7)16144y y -+=（3），本来
227x y =-0≥
，即y ≤，但在（3
）式中这个限制被丢掉了。

从解出的结果也能看出，
y =
y ≤ 所以，错解的根本原因是，联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了变化，即方程的转化不等价。

思考3：用判别式判断两圆锥曲线位置关系还行得通吗？众所周知，判断直线与圆锥曲
线位置关系时，我们只要看联立后的x （或y ）的一元二次方程解的情况，即判别式与零的大小关系即可。

0>时，直线与圆锥曲线相交；0=时，直线与圆锥曲线相切；0<时，直线与圆锥曲线相离。

既然两个二元二次方程联立以后，所得x （或y ）的一元二次方程有解（0≥）时，方程组未必有解，所以，判断两圆锥曲线位置关系时判别式失效了。

请看以下两例：
例1、判断两条曲线22212:20,:420C x y C x y x -=+++=的位置关系。

分析：两曲线分别是抛物线和圆，从图形上看显然它们无公共点。

如果联立方程会得到方程2620x x ++=，其判别式0>，方程有两负根。

但由220x y -=可知应该有0x ≥，方程组无根。

所以用判别式判断两圆锥曲线位置关系是错误的。

例2、问圆22()1(0)x y a a +-=>与抛物线2y x =会不会只有一个公共点？
分析：联立方程可得22(12)10y a y a +-+-=，令0=可得54a =。

但是不能断言：圆与
抛物线只一个公共点。

能够验证当54a =时34
y =，x =，即它们有两个公共点3()4。

如果本题去掉限制0a >，从图形上很容易看出1a =-时两曲线只有一个公共点（原点）；从方程上看，因为由2y x =可得[)0,y ∈+∞，联立后的方程丢掉了该限制，所以要等价转化为方程22(12)10y a y a +-+-=在[)0,+∞内只有一零根的问题。

基于以上思考研讨我们知道：已知两二次曲线方程，判断它们的位置关系，不能使用判别式了，因为联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了变化，即方程的转化不等价。

解答时要看方程组解的情况。

再者，已知含参数的两二次曲线公共点个数，求参数的值或取值范围时，应等价转化为关于x （或y ）的一元二次方程在某限定范围内有解的问题。