等差等比数列(1)

三：等比数列的等比中项
已知：a=2,c=8,b是a,c的等比中项 求：b=? (注：b² =ac) 【解析】：由题意可得啊a，c的等比中项 b=4
四：等差数列的性质
四：等比数列的性质
q>1: 等比数列为递增数列 q<1：等比数列为递减数列

五：等差数列的前n项和公式
1，等差数列前n项和公式推导： Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得 2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以 Sn=[n（a1+an）]/2 （公式一）
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0
一：等比数列的定义

正如上面的例子：如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常 用字母q表示(q≠0)。 注：q=1 时，an 为常数列。 通常利用此公式来判断或者证明一个数列是 否是等比数列。
当n=1时，等式也成立。
方法二
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
累差迭加法
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
（1） （2） （3）
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
（n-1）
an-a1=（n-1）d 即 an=a1+(n-1）d an-am= （ n-m） d 即

求通项公式的方法
公式法求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
例
在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解
: an+1－an=d （d是常数，n≥1，n∈N* ①1，2，3,…,100； 公差d=1
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 公差d=500
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由 多少?若不是，说明理由 公差是0 3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是 多少?若不是，说明理由


q=1时单独讨论；
当q≠1时，

a2 q a1 a3 q a2 .............
an q an 1
a1 a1

将这n个式子相乘后左边只有一个an 结果是：
an a1.q
(n 1)
求通项公式的方法
一，观察法（直接法） 二，公式法 三，作差法 四，累加法 五，累乘法 六，构造法
二：等差数列通项公式 由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
等差数 列的通 项公式
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an-an-1=d
an=a1+(n-1)d
பைடு நூலகம்
an=a1+(n-1)d
拓展an=am+(n-m）d
拓展
如果 an pn q p，q为常数。可以推出 数列a n 为等差数列且 公差是p 证明：因为 n

a np q
an1 p(n1) q pn p q
那么： an an1 pn q ( pn p q) p
等差数列与等比数列
等差，等比数列
一：等差，等比数列定义 二：等差，等比数列通项公式 三：等差，等比中项的概念 四：等差，等比数列的性质 五：等差，等比数列的前n项和

引例一
1+2+3+· · · +100=?
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
得到数列 1，2，3，4， … ，100
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
观察归纳 高斯计算的数列： 发现？ 1，2，3，4， … ，100 姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
三：等差数列的等差中项 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得, A-a=b-A
所以,
A=(a+b)/2
A为a,b的
等差中项
例题


在-3与7之间插入一个数A，使得-3，A， 7成等差数列。
[分析]根据等差数列的定义，从第二项起，每一项与它 前一项的差都等于同一个常数，列出方程即可求出A。 【解答】因为-3，A，7成等差数列，所以A-（-3）=7A，即2A=4，得A=2. 【归纳】关键是理解等差数列的概念和等差中项的实质。
接轨高考
（此题为2003年全国高考题） 则n的值为（ C） A.48 B.49 C.50
1 等差数列{an}中，已知 a1 , a 2 a5 4, a n 33 3
D.51
a2+a5=a12 +d+a1+4d=4
d
∴ an=a1+(n-1)d=33 ∴n=50
3
二：等比数列的通项公式
2，如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则 an=a1+(n-1)d代入公式（公式一）得 Sn=na1+ [n(n-1)d]/2（公式二）
例题

【例】 等差数列前10项的和为140，其中，项 数为 奇数的各项的和为125，求其第6项．
等比数列的前n项和公式
五：等比数列的前n项和公式
例题讲解 例 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，… 的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
（－3） =-49 a20= 8 + (20-1)× (2) 由a1=-5, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。
1 2 231 4 5 22
观察：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一 常数。
一：等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）