第一章球面几何与球面三角学

第一章-球面几何与球面三角学
第一章球面几何与球面三角学
球面几何与球面三角学作为数学的一个分支，主要研究球面上图形的性质、球面上由三个大圆弧所构成的球面三角形及其解算等问题。

球面几何和球面三角学的发展与应用，与天文学、测量学及航海学的发展与应用有着密切的联系，是天文航海的数学基础。

本章介绍与天文航海相关的球面几何与球面三角学基本知识。

第一节球面几何
球面几何研究分布在球面上的图形的性质，其所涉及的部分概念与原理，是学习天文航海必备的基本知识。

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3 一、球和球面
一个半圆绕其
直径旋转一周所形
成的旋转面，称为
球面。

球面所围成
的几何体，称为球，
或称球体。

球内到
球面上任一点的距
离都相等的点，称
为球心。

连接球心
和球面上任一点的线段，称为球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段，称为球的直径。

直径的长度是半径的两倍，且同一球体的半径或直径都相等。

在天文航海中，近似于旋转椭球体的地球，常被当做球体加以研究。

此外，宇宙也以球体模型加以描述。

二、球面上的圆
任一平面与球面相截的截痕是一个圆。

如O Q ’H H Q N R d O ’A B C M M 图1
r 图1-1-1 球面上的圆
图1-1-1所示，设HH是过球心O的平面，平面M M
不过球心但平行于平面HH，则平面M M和HH与半径为R的球面相截，截痕ABC和QQ N'为圆。

图1-1-1中，设O'是过O点向平面M M所作垂线的垂足，OA R=为球的半径，根据勾股定理，在直角三角形AOO'
∆中，有
O A'
（1-1-1）
设OO d'=，O A r
'=，可得
2
2d
=（1-r-
R
1-2）分析图1-1-1和式（1-1-2），可知：
当平面通过球心O时，0
d=，r R=，平面与球面相截所得的圆最大，称为大圆，如圆QQ N'。

大圆的圆心即为球心，半径等于球的半径。

大圆上的一段圆周，称为大圆弧。

当平面不通过球心O时，0
d≠，r R<，平面与球面相截所得的圆小于大圆，称为小圆，如圆ABC。

d越大，即平面离球心越远，平面与球面相截所得的小圆越小。

按照大圆的定义，可导出大圆具有如下特
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5 性：
（1）大圆把球和球面分成相等的两部分；
（2）两个大圆平面相互平分，其交线既是球的直径，也是这两个大圆的直径；
（3）过球面上不在同一直径两端的任意两点，仅能作一个大圆；
（4）过同一直径的两个端点，在球面上可以作无数个大圆。

三、球面距离
球面上两点间小于180 的大圆弧（称为劣C D O
A B
P
P ’
M
图3
图2B A O 图1-1-2 球面距离 图1-1-3 轴、极、极距和极线
6 弧）长，是两点间在球面上的最短距离，称为两点间的球面距离。

如图1-1-2所示，A 、B 两点的球面距离，即大圆弧AB 的长，且与AB 所对应的球心角 AOB ∠同度。

球面距离用大圆弧所对应的球心角（︒、′、′′）表示。

四、轴、极、极距和极线
垂直于球面上的圆所在平面的球直径，称为该圆的轴，轴的两个端点，称为该圆的极。

球面上从极到该圆上任一点的球面距离，称为极距。

同一个圆的极距都相等；大圆的极距等于90︒；极距等于90︒的大圆弧，称为该极的极线。

如图1-1-3所示，直径PP '同时垂直于小圆CD 和大圆AB 的平面，因此，PP '既是小圆CD 的轴，也是大圆AB 的轴，其两个端点P 和P '同是小圆CD 和大圆AB 的极。

显然，小圆CD 的极距PC PD =，P C P D ''=；大圆AB 的极距90PA PB P A P B ''====︒；大圆弧AB 即P 或P '的极线。

五、球面角及其度量
球面上两个大圆弧所构成的角，称为球面角。

构成球面角的两个大圆弧，称为该球面角
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的边，边的交点称为该球面角的顶点。

如图1-1-4所示，APB ∠和AP B '∠为两个球面角。

对球面角APB ∠，P 为顶点，两条边分别为大圆弧PA 和PB 。

球面角的大小用过其顶点的两个大圆弧平面所构成的二面角来度量的，具体度量方法有以下三种（图1-1-4）：
（1）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 来度量；
（2）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 所对应的球心角AOB ∠来度量；
（3）用过顶点所作的两个大圆弧的两条切线间的夹角CPD ∠来度量。

图4P
P ’
E O A B
E ’
C D
图1-1-4 球面角及其度量
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第二节球面三角学
球面三角学研究球面上由三个大圆弧所构
成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理论。

一、球面三角形
球面上由三个大圆
弧相交所构成的图形称为球面三角形。

构成球
面三角形的大圆弧，称为球面三角形的边；由大圆弧构成的球面角，称为球面三角形的角。

球面三角形的三条边和三个角，统称为球面三角形的六个元素。

如图1-2-1所示，三角形ABC
∆
即球面三角形，其六个元素分别为边a、b、c和角A、B、C。

在球面上，三个大圆弧构成4组对称球面三角形。

航海上所使用的球面三角形，边和角均大于0︒而小于180︒，称为欧拉球面三角形。

因边和角取值的不同，球面三角形又可分
为任意球面三角形（如ABC
∆）、球面直角三角形（一个或一个以上的角为直角）、球面直边三角形（一条或一条以上的边等于90︒）和特殊球面三角形（一个角及其对应的边很小，或三条边都很小）等。

不同类型的球面三角形在航海上各具不同的用途。

二、球面三角形的相等和相似
在同一球面上或在半径相等的两个球面
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上，两个球面三角形的对应边和角分别相等，且边和角的排列顺序相同，则称两个球面三角形相等。

判断两个球面三角形相等的条件（任一成立即可）如下：
（1）两边及其夹角相等；
（2）两角及其夹边相等；
（3）三边相等；
（4）三角相等。

在半径不同的球面上，边角度数对应相等的两个球面三角形，称为相似球面三角形。

三、球面三角形的基本性质
根据定义，可导出球面三角形的基本性质如下：
（1）球面三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）球面三角形的三边之和大于0︒且小于360︒，三角之和大于180︒且小于540︒；
（3）球面三角形的两角之和减去第三角小于180︒；
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（4）若球面三角形的两边相等，则此两边的对角相等；反之，若两角相等，则此两角的对边相等；
（5）球面三角形中，大角对大边；反之，大边对大角。

四、球面三角形中边和角的函数关系
球面三角学的主要任务之一，是研究球面三角形六个元素之间的函数关系，表示这种关系的方程称为球面三角公式。

在众多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：
1．边的余弦公式
球面三角形任一边的余弦，等于其余两边余弦的乘积，加上该两边的正弦及其夹角的余弦的乘积。

如图1-2-1所示，在球面三角形ABC ∆中，边的余弦公式为
cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos a b c b c A b a c a c B
c a b a b C =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ （1-
2-1）
边的余弦公式表示球面三角形的三条边和
一个角之间的关系，可用于已知三边求一角，或已知两边及其夹角求第三边。

2．正弦公式
球面三角形各边的正弦与其对角的正弦成正比。

如图1-2-1所示，在球面三角形ABC ∆中，正弦公式为 sin sin sin sin sin sin a b c A B C
== （1-2-2） 正弦公式表示球面三角形的边与其对角之间的关系，可用于已知两边一对角求另一对角，或已知两角一对边求另一对边。

3．余切公式（又称相邻四元素公式、四联公式）
将球面三角形中相联四个元素依次排列，在中间的边、角，叫中边、中角，在两端的边、角叫端边、端角，则用球面三角形的余切公式可以写成
cot 端角sin 中角 = cot 端边sin 中边 - cos 中
边cos 中角 （1-2-3）
如图1-2-所示，在球面三角形ABC ∆中，余切公式为：
cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos A B a c c B A C a b b C B C b a a C B A b c c A
C A c b b A C B c a a B =-⎧⎪=-⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎪=-⎪⎩ （1
-2-4）
余切公式表示球面三角形相联四元素之间的关系，可用于已知相联三个元素，求相联的另一元素。

思考题
1．何为大圆、小圆？大圆与小圆的主要区别是什么？
2．何为球面距离和球面角？两者如何度量？
3．何为球面三角形和欧拉球面三角形？
4．球面三角公式有何特点？如何记忆？
5．已知球面三角形ABC ∆中，边10051.7b '=︒，5328.0c '=︒，角1424.2A '=︒，试用球面三角公式计算边a 的值。

6．已知球面三角形ABC
∆中，边11429.2
=︒，
a'
=︒，试用球面三角公式计算角B
A'
6947.7
=︒，角13419.3
b'
的值。