人教版高中数学必修五课时提升作业(十二) 2.4.1等比数列 Word版含答案

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课时提升作业(十二)
等比数列
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为( )
A.16
B.27
C.36
D.81
【解析】选B.由a3+a4=q2(a1+a2)=9，所以q2=9，又a n>0，所以q=3.a4+a5=q(a3+a4)=3×9=27.
2.(2014·襄阳高一检测)在等比数列{a n}中，如果a5=5，a8=25，则a2等于( )
A. B. C.5 D.1
【解析】选D.因为a5=a1q4=5，a8=a1q7=25，所以q3==5.因为a5=a2q3，所以a2==1.
3.(2015·广州高二检测)已知各项为正的等比数列{a n}满足a3·a9=4，a2=1，则a1=( )
A. B.2 C. D.
【解析】选A.等比数列{a n}各项为正，设其公比为q，则有a1>0，q>0，
因为a3·a9=4，所以a1·q2·a1·q8=4(a1·q4)2，解得：q=2，所以a1==，故选A.
4.在等比数列{a n}中，a3和a5是二次方程x2+kx+5=0的两根，则a2a4a6的值为
( ) A.±5 B.5 C.-5 D.25
【解析】选A.根据根与系数的关系，有a3·a5=5，
又因为=a2a6=a3a5=5，则a4=±，所以a2·a4·a6=±5.
【误区警示】本题易错选B.选错的原因是忽略了等比中项有正负两个值.
5.若a，b，c成等比数列，则y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
【解析】选A.因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，且a，b，c都不为零.对于函数y=ax2+bx+c，其判别式为Δ=b2-4ac=-3b2<0，所以函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点.
6.(2014·重庆高考)对任意等比数列a n，下列说法一定正确的是( )
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
【解题指南】直接根据等比数列的概念即可判断得出结论.
【解析】选D.设等比数列的公比为q，则a3=a1q2，a6=a1q5，a9=a1q8，满足(a1q5)2=a1q2·a1q8，即=a3·a9，故D项正确.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=.
【解析】由已知得a3=a1q2=3，a10=a1q9=384，所以q7==128=27，故q=2.
所以a n=a3·q n-3=3·2n-3.
答案：3·2n-3
【变式训练】在等比数列{a n}中，若a3=3，a4=6，则a5=.
【解析】由q===2，所以a5=a4q=12.
答案：12
8.(2014·安徽高考)数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=.
【解题指南】求出等差数列的公差即可用a1表示出等比数列的三项，即可计算出公比.
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，
则(a3+3)2=(a1+1)(a5+5)，即2=(a1+1)(a1+4d+5)，
解得d=-1，所以a3+3=a1+1，a5+5=a1+1，所以q=1.
答案：1
9.(2013·北京高考)若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和S n=.
【解题指南】把a2+a4=20，a3+a5=40作比可求出公比，再代回求出首项，最后求前n项和.
【解析】q===2，所以a2+a4=2a1+8a1=20，所以a1=2，S n==2n+1-2.
答案：22n+1-2
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的通项公式.
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.
a 2==，a 4=a 3q=2q ，所以+2q=.
解得q=或q=3.当q=时，a 1=18，所以a n =18×n 1
1()3-=2×33-n .
当q=3时，a 1=，所以a n =×3n-1=2×3n-3.综上，当q=时，a n =2×33-n
；
当q=3时，a n =2×3n-3
.
【变式训练】在等比数列{a n }中，若a 4-a 2=24，a 2+a 3=6，求首项a 1和公比q.
【解析】由已知可得()()2
11a q q 124a q 1q 6⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，
解得q=5，a 1=.
11.已知等比数列{a n }为递增数列，且=a 10，2(a n +a n+2)=5a n+1，求数列{a n }的通项公式a n .
【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可.
【解析】由于{a n }为等比数列，设其公比为q ，
由2(a n +a n+2)=5a n+1得2(a 1q n-1+a 1q n+1)=5a 1q n
，
解得q=或q=2. 又由=a 10⇒(a 1q 4)2=a 1q 9
⇒a 1=q ，则a 1>0.
由于等比数列{a n }为递增数列且a 1>0，所以q=2，且a 1=2.故a n =a 1q n-1=2n
.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2015·南阳高二检测)在等比数列{a n }中，若a n =2n
，则a 7与a 9的等比中项为
(
) A.a 8 B.-a 8
C.±a8
D.前3个选项都不对
【解析】选C.由等比中项的定义得=a7a9，可得a7与a9的等比中项为±a8.
2.(2015·绵阳高二检测)已知{a n}是等比数列，(a6+a10)(a4+a8)=49，则a5+a9等于
( ) A.7 B.±7 C. 14 D.不确定
【解析】选 B.因为{a n}是等比数列，可设公比为q，则a6+a10=q(a5+a9)，a4+a8=(a5+a9)，则(a6+a10)(a4+a8)=(a5+a9)2=49，所以a5+a9=±7.
【变式训练】若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则=( )
A. B. C. D.不确定
【解析】选A.a3+a6=2a5，所以a1q2+a1q5=2a1q4，
所以q3-2q2+1=0，所以(q-1)(q2-q-1)=0(q≠1)，
所以q2-q-1=0，
所以q=（q=<0舍去），
所以==.
3.(2014·青岛高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则cosB=( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为a，b，c成等比数列，且b2=ac，c=2a，所以b2=2a2，则cosB===.
4.(2014·泰安高二检测)已知数列{a n}满足a1=5，a n a n+1=2n，则=( )
A.2
B.4
C.5
D.
【解析】选B.因为a n a n+1=2n ，所以a n+1a n+2=2n+1，所以=2.由此知数列的奇数项a 1，a 3，a 5，a 7，…是公比为2的等比数列，所以=4.
【变式训练】如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
… 记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *
)，则a 53的值为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a 51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a 53=×21
()2=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n=1，2，3，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则6q=.
【解题指南】由b n =a n +1，所以a n =b n -1，可得出{a n }的项在集合{-54，-24，18，36，81}中，从而找出{a n }中的项.
【解析】由题意知等比数列{a n}有连续四项在集合{-54，-24，18，36，81}中，由等比数列的定义知，四
项是两个正数、两个负数，故-24，36，-54，81，符合题意，则q=-，所以6q=-9.
答案：-9
【变式训练】(2014·中山高二检测)已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q=.
【解析】由a1，a3，2a2成等差数列，
所以a3=a1+2a2，即a1·q2=a1+2a1·q，
得q2-2q-1=0，解得q=1+或q=1-.
因为{a n}各项均为正数，所以q=1+.
答案：1+
6.(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.
【解题指南】利用a2=1，a8=a6+2a4及通项公式求出公比，再利用通项公式求解.
【解析】设公比为q，因为a2=1，
由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2，
即q4-q2-2=0，解得q2=2，所以a6=a2q4=4.
答案：4
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2013·四川高考)在等比数列{a n}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比. 【解题指南】本题在求解过程中，首先需要明确等比数列中2a2为3a1和a3的等差中项，然后利用方程的思想进行求解.
【解析】由已知可得：a1q-a1=2，4a1q=3a1+a1q2，
所以a1(q-1)=2，q2-4q+3=0，解得q=3或q=1，由于a1(q-1)=2，因此q=1不合题意，应舍去，故公比q=3，首项a1=1.
8.已知等比数列{a n}中，a1=1，公比为q，且b n=a n+1-a n.
(1)判断数列{b n}是否为等比数列？说明理由.
(2)求数列{b n}的通项公式.
【解析】(1){b n}是等比数列.
因为等比数列{a n}中，a1=1，公比为q，
所以a n=1×q n-1=q n-1，
若q=1，则a n=1，b n=a n+1-a n=0，
所以数列{b n}是各项均为0的常数列，不是等比数列.
若q≠1，由于
====q，
所以数列{b n}是首项为b1=a2-a1=q-1，公比为q的等比数列.
(2)由(1)可知，当q=1时，b n=0；
当q≠1时，b n=(q-1)q n-1，
所以b n=(q-1)q n-1(n∈N*).
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