专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(解析版)
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备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题
【典例分析】
【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且»AN＝»BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
思路点拨
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，
可得AC CN
CM BC
，即可求CM的长．
满分解答
（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM 平分∠ABD ，
∴∠OBM ＝∠MBF ，
∴∠OMB ＝∠MBF ，
∴OM ∥BF ，
∵MF ⊥BD ，
∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°，
∴MF 是⊙O 的切线；
（2）如图，连接AN ，ON
Q ¶¶AN BN
=， 4AN BN ∴==
AB Q 是直径，¶¶AN BN
=， 90ANB ∴∠=︒，ON AB ⊥
2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-=
221AC ∴=，221BC =
A NM
B ∠=∠Q ，AN
C MBC ∠=∠
ACN MCB ∴∆∆∽ ∴AC CN CM BC
= AC BC CM CN ∴=g g
73CM ∴=g
73
CM ∴=
【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若HB=2，cos D=3
5
，请求出AC的长．
思路点拨
（1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；
（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=3
5
，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定
理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．
满分解答
解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：
连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．
（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=3
5
，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设
⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OH
OC
=
2
r
r
=
3
5
，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴
由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．
在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5
【例3】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=2
3
，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．
思路点拨
（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=2
3
，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．
满分解答
解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=2
3
，BD=4，
∴AB=6，
∵E是»AB的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，
∴AE=
∵E是»AB的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴AE DE EG AE
，
即EG•ED=2
AE=18．