专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(解析版)
2020年中考数学压轴解答题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且AN＝BN,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD 于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3,BN＝4,求CM的长．【例2】如图,AB为⊙O直径,AC为⊙O的弦,过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E,交AC于点F,连接DC并延长交AB的延长线于点P,且∠D=2∠A,作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若HB=2,cos D=35,请求出AC的长．【例3】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°,求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=23,E是弧AB的中点,求EG•ED的值．【例4】如图,在△AOB 中,∠AOB 为直角,OA =6,OB =8,半径为2的动圆圆心Q 从点O 出发,沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P 从点A 出发,沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连结CD 、QC ．（1）当t 为何值时,点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时,求⊙P 被OB 截得的弦长． （3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点,求t 的取值范围．【例5】如图,△ABC 内接于⊙O,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10cos B = (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E,问AD•AE 的值是否变化？若不变,请求出AD•AE 的值；若变化,请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD,求证：BH CD DH =+.【例6】已知如图,抛物线与轴相交于B(1,0),C(5,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A,B,C三点的⊙P与y轴相切于点A,M为轴负半轴上的一个动点,直线MB交抛物线于N,交⊙P于D．(1)填空:A点坐标是____,⊙P半径的长是_______,=____,=____,=____；(2)若S△BNC:S△AOB＝48:5,求N点的坐标；(3)若△AOB与以A,B,D为顶点的三角形相似,求MB·MD的值．【变式训练】OM=,则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）1．如图,已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距2A．2 B．4 C．3D．3∆中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的O与AC相切于点D,BD平分2．如图,在ABC∠,3ABCAB=,CD的长是（）=,12AD ODA ．23B ．2C ．33D ．433．如图,点P 是以AB 为直径的半圆上的动点,CA AB PD AC ⊥⊥，于点D ,连接AP ,设AP x PA PD y ＝，﹣＝,则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图,以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆,分别交AB 、AC 于点E 、D,DF 是圆的切线,过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2,则FG 的长为( )A．4B．C．6D．5．如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂线交PDBC ,则PA的长为（）的延长线于点C,若O的半径为4,6A．4 B．23C．3 D．2.56．如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF 的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm7．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E,若DE=3,则AD的长为（）A．5 B．4 C．5D．58．如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,∠CAB=60°,弦AD 平分∠CAB,若AD=6,则AC=_____．9．如图,已知AB 为⊙O 的直径,AB=2,AD 和BE 是圆O 的两条切线,A 、B 为切点,过圆上一点C 作⊙O 的切线CF,分别交AD 、BE 于点M 、N,连接AC 、CB,若∠ABC=30°,则AM=____．10．如图,ABC ∆是⊙O 的内接三角形,且AB 是⊙O 的直径,点P 为⊙O 上的动点,且60BPC ︒∠=,⊙O 的半径为6,则点P 到AC 距离的最大值是___．11．如图,在⊙O 中,弦AB=1,点C 在AB 上移动,连结OC,过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D,则CD 的最大值为___．12．如图,已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切,切点分别为D E C 、、,半径1OC =,则AE BE ⋅=___________.13．如图,以AB为直径的⊙O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB＝18,∠A＝30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①BC BD=；②扇形OBC的面积为274π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点,则AP•OP有最大值20.25．14．如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且BC为⊙O的直径,在劣弧AC上取一点D,使CD AB=,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE3= C D,劣弧CD的弧长为π,求⊙O的半径．15．如图,点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F,若cos∠CAD＝,求的值．16．如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10,BC＝45,求tan∠BAD的值.17．如图,△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC,求DFCF的值．18．如图,AB是⊙C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是⊙C上的点,且DE2＝DB· DA．延长AE至F,使AE＝EF,设BF＝10,cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA,DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长.19.如图,AB是⊙O的直径,点D是弧AE上一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE,求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长.20．如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点（不与O,B重合）,作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且CFCP=34时,求劣弧BD的长度．21．如图,以AB 边为直径的⊙O 经过点P ,C 是⊙O 上一点,连结PC 交AB 于点E ,且∠ACP =60°,PA =PD ． （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由； （2）若点C 是弧AB 的中点,已知AB =4,求CE •CP 的值．22．如图,点D 在以AB 为直径的⊙O 上,AD 平分BAC ∠,DC AC ⊥,过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线． (2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．23．如图,在ABC △中,AB AC =,以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ,过点D 作DF AC ⊥,垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）求证：24BC CF AC =； （3）若O 的半径为4,15CDF ∠=︒,求阴影部分的面积．24．如图,△ABC 内接于⊙O ,CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、压轴解答题·直面高考精品资源·战胜高考 Q ,连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：B D 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根,且tan ∠PCD =13,求⊙O 的半径．25．如图,AB 是半圆O 的直径,C 是AB 延长线上的点,AC 的垂直平分线交半圆于点D,交AC 于点E,连接DA,DC ．已知半圆O 的半径为3,BC=2．（1）求AD 的长．（2）点P 是线段AC 上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF 交线段CD 于点F ．当△DPF 为等腰三角形时,求AP 的长．。
圆中三角函数综合例题及练习
圆中的三角函数解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。
圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， AC =BC =1，那么sin ∠ABD 的值是 ．解析：在⊙O 中，∠ACD =∠ABD ；又由于AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，则∠ACD =∠ABC . Rt △ABC 中，AB =22BC AC +=221)22(+=3,从而sin ∠ABD =ABAC =322.评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例2(烟台市)已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB =α，等于A ．sinαB ．COSαC ．tanαD ．1tan α解析： 连结BD ,由于AB 为直径,则∠ADB =90°, 于是,在Rt △PBD 中,有COSα=PBPD, 而点C 和点A 在圆周上，所以∠A =∠C ， 又∠APB =∠CPD ，则△APB ∽△CPD， 从而CD AB =PB PD ，所以CDAB=COSα，故选B 。
评注：直径所对的圆周角是直角。
由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。
三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。
解析：（1）证明：如图5,连结OD 、CD ，因为BC 是直径，所以CD ⊥AB ， 而AC =BC ，则D 是AB 的中点 又因为O 是CB 的中点，所以OD //AC由于DF ⊥AC ，则OD ⊥EF ，于是EF 是⊙O 的切线.（2）连结BG ，因为BC 是直径，所以∠BGC =90° 图 图4 B 图1BCD在Rt △BCD 中，CD =22AD AC -=22610-=8而AB ·CD =2ABC S ∆= AC ·BG , 则有BG =AC CD AB ⋅=10812⨯=548. 在Rt △BCG 中，CG =22BG BC -=22)548(10-=514; 又因为BG ⊥AC ， DF ⊥AC ，所以BG //EF ,则∠E =∠CBG ,从而sin ∠E =sin ∠CBG =BC CG =10514=257评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.例4.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案解析.doc
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案解析一、相似1．如图，在⊙ O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上， AM 的延长线交⊙ O 于点G，交过 D 的直线于 F，且∠ BDF=∠ CDB，BD 与 CG交于点 N．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（2）连结 MN，猜想 MN 与 AB 的位置有关系，并给出证明．【答案】（1）证明：∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，，= ,即是的切线（2）解：猜想： MN∥AB．证明：连结 CB．∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，∴=,=,∴∵∴∴∵∴∵∵∴∴∴MN ∥ AB．【解析】【分析】（1）要证DF 是⊙ O 的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。
由垂径定理可得 AB⊥ CD，则∠ BOD+∠ODE= ，而∠ ODF=∠ CDF+∠ ODE，由已知易得∠ BOD=∠CDF，则结论可得证；（ 2 ）猜想： MN ∥ AB．理由：连结CB，由已知易证△ CBN∽ △ AOM ，可得比例式，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN ∽ △ODB，则∠ DMN=∠ DOB，根据平行线的判定可得MN ∥AB。
2．已知抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ 5 与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B(5， 0)，顶点为 M．点 C 在 x 轴的负半轴上，且 AC＝ AB，点 D 的坐标为 (0， 3)，直线 l 经过点 C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，联结 AP，且线段 CP是线段 CA、 CB的比例中项，求tan∠ CPA的值；（3）在（ 2）的条件下，联结 AM、 BM，在直线 PM 上是否存在点 E，使得∠ AEM=∠AMB. 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（ 1， 0）， B（5， 0），∴,解得∴ 抛物线的解析式为（2）解：∵ A（1， 0）， B（ 5， 0），∴OA=1， AB=4.∵AC=AB且点 C 在点 A 的左侧，∴ AC=4 .∴CB=CA+AB=8.∵线段 CP 是线段 CA、 CB 的比例中项，∴.∴ CP=.又∵ ∠ PCB是公共角，∴ △ CPA∽ △ CBP .∴ ∠ CPA=∠ CBP.过P 作 PH⊥ x 轴于 H.∵OC=OD=3，∠DOC=90 ，°∴∠ DCO=45 .°∴ ∠ PCH=45 °∴ PH=CH=CP =4，∴H（ -7， 0）， BH=12，∴P（ -7，-4），∴，tan∠ CPA=.（3）解：∵抛物线的顶点是 M （3， -4），又∵ P（ -7，-4），∴PM∥x 轴 .当点 E 在 M 左侧，则∠BAM=∠ AME.∵ ∠ AEM=∠ AMB，∴ △ AEM∽ △ BMA.∴,∴.∴ME=5，∴ E（ -2， -4） .过点 A 作 AN⊥ PM 于点 N，则 N（ 1， -4） .当点 E 在 M 右侧时，记为点，∵ ∠ A N=∠AEN，∴ 点与 E 关于直线 AN 对称，则（4 ，-4） .综上所述， E 的坐标为（ -2， -4）或（ 4，-4） .【解析】【分析】（ 1）用待定系数法即可求解。
圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)
圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； 图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH． 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。
专题05 解三角形中的外接圆与内切圆(解析版)
专题05 解三角形中的外接圆与内切圆常见考点考点一 外接圆问题典例1．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知角,,A B C成等差数列，且b = （1）求ABC 的外接圆直径； （2）若ABCABC 的周长. 【答案】（1）2；（2）3 【分析】（1）由条件先得出3B π=，由正弦定理2sin bR B=可得答案. （2）由三角形的面积公式可得2ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得3a c +=，从而得出答案. 【详解】（1）角,,A B C 成等差数列，得2B A C =+， 又A B C π++=，所以3B π=.又b =22sin bR B===， 所以ABC 的外接圆直径为2. （2）1sin 2ABC S ac B ==△2ac =， 2222cos b a c ac B =+-，即()233a c ac =+-，所以3a c +=，所以ABC的周长为3a b c ++= 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，解答本题的关键是由正弦定理2sin bR B=得出外接圆的直径，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得出a c +的值，属于中档题. 变式1-1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为S =4，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）6+.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】 （1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 82S ac B ac ===，由正弦定理可知4sin bb B=⇒= 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=， 则6a c +=，∴ABC 的周长为6+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.变式1-2．锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若b =()2cos cos cos +=B a C c A b . （1）求ABC 的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围.【答案】（1）1；（2）32⎛+∈ ⎝a c .【分析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得1cos 2B =，从而求出3B π=，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将a c +变形为sin sin A C +，然后利用三角函数即可求出取值范围. 【详解】（1）因为()2cos cos cos ⋅+=B a C c A b ，由正弦定理可得，()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ， 即()2cos sin sin +=B A C B ，所以2cos sin sin B B B =， 因为sin 0B ≠，故1cos 2B =， 又()0,B π∈，故3B π=，由正弦定理得21sin ===bR B ，即ABC 的外接圆直径为1； （2）由正弦定理可得，21sin sin a cR A C===，∴3sin sin sin sin sin 326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由题意可得022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴32⎛+∈ ⎝a c . 【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围. 变式1-3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， （1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长． 【答案】(1)见证明；(2) 4. 【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==而可得结果. 【详解】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=， ∴cos sin sin cos 0B C B C -=， ∴sin()0B C -=. ∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =， ∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =， ∴2sin 4a R A ==， ∵BC =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.考点二 内切圆问题典例2．在ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭. （1）求角A ；（2）若ABC 的内切圆面积为4π，求ABC 面积S 的最小值.【答案】(1) 3π(2) 【分析】（1)sin sin cos cos sin B C B C A -=，化简整理求出tan A =得出结果；（2）根据题意，得到ABC 内切圆的半径为2，作出图形，记内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，得到a b c =+-(222b c b c bc +-=+-，根据基本不等式，推出48≥bc ，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=即()sin B C A +=sin A A =，即tan A =3A π∴=； （2）由题意知ABC 内切圆的半径为2， 如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则4AI AM AN ===，从而a b c =+-由余弦定理得(222b c b c bc +-=+-，整理得)348bc b c +=+≥， 解得48≥bc 或163≤bc （舍去），从而11sin 4822S bc A =≥⨯=即ABC 面积S 的最小值为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型. 变式2-1．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2A Ca b B C +=+. （1）求B ；（2）若3a =，6b c +=，求ABC ∆的内切圆半径. 【答案】（1）3B π=；（2【分析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求1sin22B =，即可求解B 的值； （2）根据3a =，6b c +=以及余弦定理列方程，可求出,,a b c ，设ABC ∆内切圆半径为r ，利用面积公式()11sin 22ABC ac B c r S a b ∆==++，解方程即可求出内切圆半径为r . 【详解】（1）根据题意()sin sin 2A Ca b B C +=+，且A B C π++=， ∴sinsin 22A C Bπ+-=，()()sin sin sin B C A A π+=-=， 由正弦定理得sin sinsin sin 2BA B A π-=，因为0A π<<，故sin 0A >，即cos sin 2sin cos 222B B BB ==， ∵0B π<<，022B π<<，∴1sin 22B =，即26B π=，3B π=. （2）由题意可得：2221cos 2263a c b B ac b c a ⎧+-==⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：333a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设ABC ∆内切圆半径为r ，∴()119sin 222ABC ac B a b c r S r ∆==++=， 又19sin sin 223ABC ac B S π∆==，解得r =ABC ∆内切圆半径r =【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，重点在知道三角形的面积和内切圆半径之间的关系，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．变式2-2．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，ACAD．（1）求边BC 的长； （2）求△ABD 内切圆半径．【答案】（1）4；（2 【分析】（1）设BD BC m ==，利用两次余弦定理和ADB ADC π∠+∠=，化简计算得到答案.（2）利用余弦定理得到cos ADB ∠=sin ADB ∠=，再利用面积公式得到ABD S ∆=用1()2ABD S r AB BD AD ∆=++计算得到答案. 【详解】（1）设BD BC m ==，在,ABD ACD ∆∆中利用余弦定理得到：297cos m ADB =+-∠，2137m ADC =+-∠ADB ADC π∠+∠=解得2m =，则24BC m == （2）在ABD ∆中，利用余弦定理得到：2972ADB =+-∠，cos ADB ∠=sin ADB ∠=12sin 2ABD S ADB ∆=⨯∠=又1()2ABD S r AB BD AD ∆=++即1(52r =解得r =【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中1()2ABD S r AB BD AD ∆=++是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握.变式2-3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos c b Ba A -=. （1）求角A ；（2）若2a =，则当ABC 的面积最大时，求ABC 的内切圆半径.【答案】（1）3π；（2【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B =+，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得22222cos 3b c bc π=+-，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出ABC 的面积最大值，由等面积法即可求解. 【详解】 （1）由2cos cos c b Ba A-=得，2cos cos cos c A b A a B =+， 由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos C A B A A B =+， 所以2sin cos sin()sin C A A B C =+=， 又0C π<<，sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 又0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得22222cos 3b c bc π=+-，整理得2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤， 当且仅当2b c ==时取等号.所以，1sin 2ABC S bc A ∆==≤所以当且仅当2b c ==时，ABC ∆ 设ABC 的内切圆半径为r ， 则111222ABCSa rb rc r =⋅+⋅+⋅，所以2ABC S r a b c ∆===++. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.巩固练习练习一 外接圆问题1．已知ABC ∆外接圆直径是2，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()222sin sin ()sin A B a c C -=-．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的周长的最大值．【答案】（1）3B π=；（2）【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B 的大小；（2）根据正弦定理边化角得ABC ∆的周长6in L A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ABC ∆的周长的最大值.【详解】解：（1）由已知()222sin sin ()sin A B a c C -=-，由正弦定理2sin 2sin ,2sin 2sin ,2sin 2sin a R A A b R B B c R C C ======，得()222sin sin 2(sin sin )sin A B A C C -=-，由正弦定理角化边得22()b a a c c -=-， 则22221cos 222()a c b c B a c c a c c a +-+===-，又()0,B π∈ 所以3B π=；（2）ABC ∆的周长2sin 2sin 2sin L a b c A B C =++=++ 22sin 2sin2sin 33A A ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2sin sin A A A =+6A π⎛⎫=+⎪⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 5,666A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(L ∴∈，即ABC ∆的周长的最大值为 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角恒等变形及三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强.2．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ． （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）A 3π=（2． 【分析】（1）化边为角，利用两角和正弦公式，即可求解；（2）由正弦定理求出a ，a 和角A 应用余弦定理建立,b c 关系，再由基本不等式求出bc 最大值，即可求出结论. 【详解】（1）∵（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，∴由正弦定理可得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ， 可得：2sin B cos A ＝sin A cos C +sin C cos A ＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A 12=，∵0＜A ＜π，∴A 3π=，（2）∵△ABC 的外接圆面积为π，∴△ABC 的外接圆半径为1，∵2asinA=，∴a = ∵由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 可得3＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ，∴bc ≤3，当且仅当b ＝c =∴S △ABC 12=bc sin A ≤，当且仅当b ＝c =∴S △ABC 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和公式解三角形，注意应用基本不等式求最值，属于中档题. 3．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，在条件①222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，条件②sin cos()6c A a C π=-这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题. （1）若c =ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ∆的周长为6，求边c 的取值范围.【答案】（1）2 （2）[)2,3【分析】（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a 2+b 2﹣c 2＝ab ，再由由余弦定理，求得3C π=，然后由2sin c R C=可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得3C π=，然后由2sin c R C =可得解； （2）由（1）知3C π=，由正弦定理，知,a A b B ==，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出612sin()6c A π=++，然后根据正弦函数的图象与性质，得解． 【详解】解：（1）选择①：由正弦定理知，sin a A ＝sin b B ＝sin c C， ∵()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=∴()()222sin cos sin cos sin a b c A B B A ab C +-⋅+=∴()()222sin sin a b c A B ab C +-⋅+=，即()222sin sin a b c C ab C +-⋅=，∵sin C ≠0，所以222a b c ab +-=，由余弦定理知，cos C ＝2222a b c ab+-＝122ab ab =，又0C π<< ∴3C π=， 由2sin c R C =，知2Rsin 32 ，∴R ＝1， ∴△ABC 的外接圆直径为2． 选择②：由正弦定理知，sin a A ＝sin c C， ∵sin cos()6c A a C π=-，∴sin C sin A ＝sin A cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭， ∵sin A ≠0，∴sin C ＝cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴1sin sin 2C C C =+，即sin CC ， ∴tan C ＝sin cos C C∵0C π<< ∴3C π=，由2R ＝sin c C ，知2 Rsin 32，∴R ＝1， ∴△ABC 的外接圆直径为2．（2）由（1）知，3C π=， 由正弦定理知，sin a A ＝sin b B ＝sin c C ＝sin 3c π∴aA ，bB ， ∵△ABC 的周长为6，所以())266sin sin 6sin sin 3c a b A B A A π⎤⎛⎫=-+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦16sin sin 62sin 26A A A c A π⎡⎤⎛⎫=-++=-+⎥ ⎪⎝⎭⎦∴c ＝612sin()6A π++， ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴A +5,666πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 所以[)2,3c ∈ ．4．在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC的周长为5任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；CD =【分析】由cos23cos 1B B +=，结合二倍角公式进行化简可求cos B ，由3sin sin 4A C =，结合和差角公式及辅助角公式进行化简可求得ABC ∆为等边三角形，选①，结合正弦定理及余弦定理可求a ，c ，再由余弦定理即可求解CD ；选②，由已知可知ABC ∆的面积，然后结合面积公式可求a ，c ，然后结合余弦定理可求；选③，由已知可求AD ，进而可求2BD =，3BC =，由BDC ∆的周长为5CD ．【详解】解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=. 因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形. 因为1,3AD AB =所以在ADC 中，由余弦定理得CD =选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin 3aπ=所以 3.a =故CD =选择条件②：由ADC得ABC2=解得 3.a =故CD = 选择条件③：由BDC的周长为5得253a a += 所以 3.a =故CD =练习二 内切圆问题5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足22acosBsinA bsin A +=. （1）求tanC 的值;（2）设ABC 的内切圆半径为r ，若4,c =求ABC 的面积取最大值时r 的值.【答案】（1）tanC =（2【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及不等式可得面积最值，确定等号成立条件，利用内切圆的性质求半径即可.【详解】解：()1因为22,acosBsinA bsin A =＋故,acosBsinA bsinAcosA ＋整理得()acosB bcosA sinA =＋.由正弦定理得,()sinAcosB sinBcosA sinA =＋故),(sin A B sinA sinCsinA ＋＝因为0,sinA ≠故,sinC =即tanC =()2由()1知,tanC C π<<， 所以3C π＝，且23A B C ππ＋＝－＝因为4,c ＝ 由余弦定理得22222216,c a b abcosC a b ab ＝＋－＝＋－＝所以2216,a b ab ＋＝＋由基本不等式得22162,a b ab ab ≥＋＝＋即16,ab ≤当且仅当4a b ＝＝时，等号成立，故ABC 的面积取得最大值时，4,a b c ＝＝＝此时1144=22ABC S absinC ⨯⨯＝＝. 又ABC 的周长为12,a b c ＋＋＝设ABC 的内切圆的半径为,r 圆心为,O则1)2(ABC OAB OBC OAC SS S S a b c r ++＝＝＋＋＝解得()2a b r c ==++=故ABC 的面积取最大值时其内切圆半径r . 【点睛】关键点点睛：一般对于三角形中面积最值，周长最值时，需要利用余弦定理结合不等式求最值，同时本题对内切圆的性质分割三角形后求半径，属于中档题.6．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=． （Ⅰ）求A ；（Ⅰ）若7a =，且40bc =，求ABC 的内切圆半径．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅰ【分析】（Ⅰ）先利用正弦定理把cos sin 0a C C b c +--=都统一成角，然后消去角B ，将式子进一步整理，得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可求出角A 的值； （Ⅰ）根据余弦定理，由题中条件，先求出b c +；再由三角形面积公式，即可求出ABC 的内切圆半径.【详解】（Ⅰ）因为cos sin 0a C C b c --=，所以sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为()B A C π=-+，所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+，所以sin cos sin (sin cos cos sin )sin 0A C A C A C A C C -+-=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为sin 0C ≠cos 1A A -=， 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，得3A π=； （Ⅰ）因为7a =，3A π=，40bc =， 由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=，所以2249cos 380b c π+-=，则2289b c +=，所以13b c +===，设ABC 的内切圆半径为r ， 则()11sin 22ABCS bc A a b c r ==++，所以40sin 2137bc A r a b c ===+++ 【点睛】关键点点睛： 求解本题第二问的关键在于熟记三角形的面积公式，根据()11sin 22ABC Sbc A a b c r ==++（r 为三角形内切圆半径），列出等式，即可求解.7．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3A π∠=，且满足22a b bc =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC 的内切圆半径.【答案】（1）6B π∠=；（21.【分析】（1）根据题中条件，由余弦定理，得到2c b =，3a b ，进而可得出B ；（2）先由（1）根据题中条件，得出a =4c =，设ABC 内切圆半径为r ，由三角形面积公式，得到()11sin 22ac B a b c r ⋅=++⋅，即可求出结果.【详解】（1）由22222cos a b bc b c bc A =+=+-得22cos c bc bc A =+，又1cos 2A =，所以2c b =又22a b bc =+∴3ab ，故三角形是以c 为斜边的直角三角形， 所以6B π∠=.（2）因为2b =，由（1）易知a =4c =，设ABC 内切圆半径为r ，由()11sin 22ABC S ac B a b c r =⋅=++⋅得sin ac B r a b c ⋅=++，即1r =. 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于常考题型. 8．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足22a b bc =+.（1）求证：2A B =；（2）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC 的内切圆半径.【答案】（1）证明见解析；（21.【分析】（1）由正余弦定理，结合已知条件可得sin sin 2sin cos C B B A =+，进而有sin()sin A B B -=，由三角形内角性质即可证2A B =；（2）由已知条件知sin cos A B =，结合（1）的结论有ABC 为直角三角形进而求内切圆半径；【详解】（1）证明：由22222cos a b bc b c bc A =+=+-得22cos c bc bc A =+，即2cos c b b A =+sin sin 2sin cos C B B A ∴=+，即sin()A B +sin 2sin cos B B A =+sin()sin 0A B B ∴-=>又0B π<<，A B ππ-<-<A B B ∴-=或A B B π-=-(舍去)2A B ∴=（2）由sin cos sin cos sin tan cos 1cos C B B C C B C B ++==，得sin()cos B C B +=， sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C π=.因为2b =，可知4a c ==有ABC 内切圆半径12a b c r +-=【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角恒等变换求三角形内角关系，并由直角三角形三边与内切圆半径关系求半径；。
专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版
专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形的综合题是高中数学中的重点难点之一。
一般来说，这类题目需要我们掌握以下的解题技巧：
一、圆相关定理
1.圆的性质：圆周上任意两点距离相等，圆心到圆周上任意一点的距离相等。
2.圆心角定理：圆周上两点的连线所对的圆心角是不变量。
3.圆的切线定理：切线与半径垂直，切点在圆心角的平分线上。
二、相似三角形相关定理
1.角度相等定理：若两个角分别相等，则两个三角形相似。
2.比例定理：若两个角分别相等，则两个三角形对应边的长度成比例。
3.三角形内角和定理：一个三角形内角的度数和是180度。
基于以上的定理，我们可以通过以下步骤解决圆与相似三角形的综合题：
1.根据圆心角定理，求出圆心角。
2.根据角度相等定理或比例定理，确定相似三角形的相似比例。
3.利用三角形内角和定理，求出三角形另一个角的度数。
4.根据三角形内角和定理和已知角度，求出第三个角的度数。
5.利用已知角度和比例定理，求出相似三角形的边长。
6.应用圆的切线定理、圆心角定理或其他定理，求出需要求解的量。
需要注意的是，在解题过程中，我们需要注意角度单位是否一致，如角度一般用度数表示，而弧度制需要换算。
同时，我们还需要注意图形的几何位置关系，如切线与圆周、圆心角的平分线等。
综上所述，圆与相似三角形的综合题需要我们掌握相关的定理和解题技巧，同时需要注意单位和几何位置关系。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
最新圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)
2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。
圆与三角函数及相似三角形综合训练题
圆与三角函数及相似三角形综合训练题1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、BC相切于D、E。
⑴求⊙O的半径。
⑵求sin∠BOC的值。
2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4.⑴求证：直线DM是⊙O的切线。
⑵求tan∠E的值。
3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。
4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=54.求CE 和DE 的长。
5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。
6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3.⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。
7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。
8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。
2023年九年级中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合(含解析)
2023年中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合1．如图，△ABC 内接于△O ，且AB 为△O 的直径，OD△AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的△O 的切线交于点D ．（1）若AC=4，BC=2，求OE 的长．（2）试判断△A 与△CDE 的数量关系，并说明理由．2．如图，已知三角形ABC 的边AB 是△0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CB 平分△ACE 。
（2）若BE=3，CE=4，求△O 的半径．3．如图，在 ABC 中， CA CB = ，BC 与 A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交 A 于点F ，连结BF.（1）求证：BF 是 A 的切线.（2）若 5BE = ， 20AC = ，求EF 的长.4．如图，已知BC 是△O 的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB=AD ，AC=CD ．（1）求证：△ACD△△BAD；（2）求证：AD是△O的切线．5．如图，AB是△O的直径，BC切△O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE△AB 于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）PE=PD（2）AC•PD=AP•BC6．如图，AB是△O的直径，弦CD△AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG△AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．（1）求证：EG是△O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH ，求OM的长．7．如图，O是ABC的外接圆，直线EG与O相切于点E EG BC，连接AE交BC于点D．,//（1）求证： AE 平分 BAC ∠ ；（2）若 ABC ∠ 的平分线 BF 交 AD 于点F ，且 3DE = ， 2DF = ，求 AF 的长．8．如图，以 Rt ABC ∆ 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D ，过圆心 O 作 //OE AC ，交 BC 于点 E ，连接 DE .（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由；（2）求证： 22DE CD OE =⋅ ；（3）若 4tan 3C =， 52DE = ，求 AD 的长. 9．如图， ABC 内接于,O AB 是 O 的直径， BD 与 O 相切于点B ， BD 交 AC 的延长线于点D ，E 为 BD 的中点，连接 CE ．（1）求证： CE 是 O 的切线．（2）已知 5BD CD == ，求O ，E 两点之间的距离．10．如图，已知直线PT 与△O 相切于点T ，直线PO 与△O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT 2=PA•PB ；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE△OA 交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE.（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若PA ＝2，PC ＝4，求AE 的长.12．如图，AB 是△O 的直径，点C 、D 在圆上， BC ＝ CD ，过点C 作CE△AD 延长线于点E.（1）求证：CE 是△O 的切线；（2）若BC ＝3，AC ＝4，求CE 和AD 的长.13．将一副三角板Rt△ABD 与Rt△ACB （其中△ABD=90°，△D=60°，△ACB=90°，△ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD 中△D 所对直角边与Rt△ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ．（1）求证：EC 平分△AEB ；（2）求 ACE BEC SS 的值．14．如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB ＝AC ，过点B 作BD△AC 于D ，延长BD 交△ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF△CE 于F ，AE ，BC 的延长线交于点G.（1）判断EA 是否平分△DEF ，并说明理由；（2）求证：①BD ＝CF ；②BD 2＝DE 2+AE•EG.15．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，点E 是BC 的中点，以AC 为直径的△O 与AB 边交于点D ，连接DE.（1）判断直线DE 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD ＝3，DE ＝ 52，求△O 的直径. 16．如图，已知BC△AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与△O 的交点，点D 是MB 与△O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且 AD AP =AM AO．（1）求证：PD是△O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求BPMD的值．17．如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分△ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径.18．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作△O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是△O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若△C=45°，求证：GF2=DG•OE．19．已知：如图，MN为△O的直径，ME是△O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分△DMN．求证：（1）DE 是△O 的切线；（2）ME 2=MD•MN ．20．如图，在 ABC ∆ 中， 90C ∠=︒ ， AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段 AB 上， O 交 AB 于点E ，交 AC 于点F ．（1）判断 BC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 8AD = ， 10AE = ，求 BD 的长．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的△O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：BE=CE ；（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵AB 为△O 的直径，∴△ACB=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB== =2 ，∴OA= 12 AB= ，∵OD△AB ，∴△AOE=△ACB=90°，又∵△A=△A ，∴△AOE△△ACB ，∴OE OA BC AC = ，即 24OE = ，解得：OE= （2）解：△CDE=2△A ，理由如下：连接OC ，如图所示：∵OA=OC ，∴△1=△A ，∵CD 是△O 的切线，∴OC△CD ，∴△OCD=90°，∴△2+△CDE=90°，∵OD△AB ，∴△2+△3=90°，∴△3=△CDE ，∵△3=△A+△1=2△A ，∴△CDE=2△A ．【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出△ACB=90°，由勾股定理求出AB==2 ，得出OA= 12 AB= ，证明△AOE△△ACB ，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC ，由等腰三角形的性质得出△1=△A ，由切线的性质得出OC△CD ，得出△2+△CDE=90°，证出△3=△CDE ，再由三角形的外角性质即可得出结论．2．【答案】（1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是△0的切线，∴OB△AB ，∵CE 丄AB ，∴OB△CE ，∴△1=△3，∵OB=OC ，∴△1=△2，∴△2=△3，∴CB 平分△ACE ；（2）解：如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴△E=90°，∴，∵CD 是△O 的直径，∴△DBC=90°，∴△E=△DBC ，∴△DBC△△CBE ，∴CD BC =BC EC，∴BC 2=CD•CE ，∴CD=254=254，∴OC=12CD=258， ∴△O 的半径=258【解析】【解答】（1）证明：如图1，连接OB ，由AB 是△0的切线，得到OB△AB ，由于CE 丄AB ，的OB△CE ，于是得到△1=△3，根据等腰三角形的性质得到△1=△2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD 通过△DBC△△CBE ，得到比例式CD BC =BC EC，列方程可得结果． 【分析】此题是圆的应用，涉及有切线性质，等腰三角形性质和三角形相似对应边成比例进而求得线段的值、3．【答案】（1）证明：如图，连接 AD ，CA CB = ，CAB ABC ∴∠=∠ ，AE AC ⊥ ，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又 A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒ ，90ABD BAD ∴∠+∠=︒ ，BAE BAD ∴∠=∠ .又 AB AB = ， AF AD = ，()ABF ABD SAS ∴≌ ，90AFB ADB ∴∠=∠=︒ ，BF ∴ 是 A 的切线（2）解：由（1）得： 90AFB FAC ∠=∠=︒ ， //BF AC ∴ ，BEF CEA ∴∽ ，BE BF CE CA∴= ， 20CB CA == ， 5BE = ，552020BF ∴=+ ， 4BF ∴= ，3EF ∴==【解析】【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形的性质可证得△CAB=△ABC ，利用垂直的定义可求出△CAB+△EAB=90°；再利用切线的性质和余角的性质去证明△BAE=△BAD；然后根据SAS证明△ABF△△ABD，利用全等三角形的性质，可求出△AFB=90°，利用切线的判定定理，可证得结论.（2）由BF△AC，可证得△BEF△△CEA，利用相似三角形的性质可求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长.4．【答案】（1）证明：∵AB=AD，∴△B=△D，∵AC=CD，∴△CAD=△D，∴△CAD=△B，∵△D=△D，∴△ACD△△BAD（2）证明：连接OA，∵OA=OB，∴△B=△OAB，∴△OAB=△CAD，∵BC是△O的直径，∴△BAC=90°，∴OA△AD，∴AD是△O的切线．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到△CAD=△B，由于△D=△D，于是得到△ACD△△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到△B=△OAB，得到△OAB=△CAD，由BC是△O的直径，得到△BAC=90°即可得到结论．5．【答案】（1）证明：∵AB是△O的直径，BC是切线，∴AB△BC，∵DE△AB，∴DE△BC，∴△AEP△△ABC，∴EP AEBC AB…①，又∵AD△OC，∴△DAE=△COB，∴△AED△△OBC，∴212ED AE AE AE BC OB AB AB ===…②，由①②，可得ED=2EP ，∴PE=PD ．（2）证明：∵AB 是△O 的直径，BC 是切线，∴AB△BC ，∵DE△AB ，∴DE△BC ，∴△AEP△△ABC ，∴AP PE AC BC =， ∵PE=PD ，∴AP PD AC BC=，∴AC•PD=AP•BC ． 【解析】【解答】首先根据AB 是△O 的直径，BC 是切线，可得AB△BC ，再根据DE△AB ，判断出DE△BC ，△AEP△△ABC ，所以EP AE BC AB =；然后判断出2ED AE BC AB=，即可判断出ED=2EP ，据此判断出PE=PD 即可． 【分析】首先根据△AEP△△ABC ，判断出AP PE AC BC=；然后根据PE=PD ，可得AP PD AC BC=，据此判断出AC•PD=AP•BC 即可． 6．【答案】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE=GF ，∴△GEF=△GFE ，而△GFE=△AFH ，∴△GEF=△AFH ，∵AB△CD ，∴△OAF+△AFH=90°，∴△GEA+△OAF=90°，∵OA=OE ，∴△OEA=△OAF ，∴△GEA+△OEA=90°，即△GEO=90°，∴OE△GE ，∴EG 是△O 的切线（2）解：连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，在Rt△OCH 中， 2222)r r -+=（ ，解得r=3，在Rt△ACH 中，AC===， ∵AC△GE ，∴△M=△CAH ，∴Rt△OEM△Rt△CHA ， ∴OM OE AC CH= ， 即= ，解得：OM= ． 【解析】【分析】（1）连接OE ，如图，通过证明△GEA+△OEA=90°得到OE△GE ，然后根据切线的判定定理得到EG 是△O 的切线；（2）连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，利用勾股定理得到 2222)r r -+=（ ，解得r=3，然后证明Rt△OEM△Rt△CHA ，再利用相似比计算OM 的长．7．【答案】（1）解：连接OE ．∵直线EG与△O相切于E，∴OE△EG．∵EG△BC，∴OE△BC，∴BE CE=，∴△BAE=△CAE．∴AE平分△BAC；（2）解：如图，∵AE平分△BAC，∴△1=△4，∵△1=△5，∴△4=△5，∵BF平分△ABC，∴△2=△3，∵△6=△3+△4=△2+△5，即△6=△EBF，∴EB=EF，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵△5=△4，△BED=△AEB，∴△EBD△△EAB，∴BE DEEA BE=，即535EA=，∴AE= 253，∴AF=AE-EF= 253-5=103．【解析】【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE=EF ，得到BE 的长，再证明△EBD△△EAB 得到BE DE EA BE= ， 求出AE ，从而得到AF ． 8．【答案】（1）解：DE 是圆O 的切线证明：连接OD∵OE△AC∴△1=△3，△2=△A∵OA=OD∴△1=△A∴△2=△3在△BOE 和△DOE 中OE=OD ，△2=△3，OE=OE∴△BOE△△DOE （SAS ）∴△ODE=△OBE=90°∴OD△DE∴DE 是圆O 的切线（2）解：证明：连接BD∵AB 是直径∴△BDC=△ADB=△ABC=90°∵OE△AC ，O 是AB 的中点∴OE 是△ABC 的中位线∴AC=2OE∵△BDC=△ABC ，△C=△C∴△ABC△△BDC ∴2BC AC BC AC CD CD BC==⋅，即 ∴BC 2=2CD•OE∵BC=2DE，∴（2DE）2=2CD•OE ∴22DE CD OE=⋅（3）解：∵4tan3BD CDC==设：BD=4x，CD=3x∵在△BDC中，52DE=，∴BC=2DE=5∴（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）∴BD=4∵△ABD=△C∴AD=BD•tan△ABD=416 433⨯=【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明△2=△3，再证明△BOE△△DOE，可证出OD△DE，即可得证。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
初三数学综合题：圆解三角形相似全等，中考重点，解法精妙，收藏
初三数学综合题：圆解三角形相似全等，中考重点，解法精妙，收藏考进这里也好经典例题及附图如图，平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，-4）和（8，0），圆心为（3，0）的⊙P与x轴交于O，Q两点，MP的延长线交⊙P于点A，NA的延长线交y轴于点E，点B为x轴下方弧OQ的中点，连接AB交x轴于点C，连接EP交⊙P于点F，QF交y轴于点G。
（1）判断NA是否为⊙P的切线并证明（要求用两种方法）；（2）求线段AC和AB的比值和乘积（要求至少用两种方法）；（3）经测量，EF=OG，请证明（要求尽量用两种方法）。
经典例题附图第一问的分析和求解请注意两点：第一，紧抓证切线的精髓：切线垂直于经过切点的半径。
第二，做第一问时，必须画出第一问的图！其它花里胡哨的都别画！否则引起思路混乱！证法一：证全等。
∵点O和A都在⊙P上，∴PA=PO=3，Rt△POM中由勾股定理PM=5，而PN=ON-OP=8-3=5，∴PN=PM，在△PAN和△POM中，PA=PO，∠1=∠2，PN=PM，∴△PAN≌△POM（SAS）∴∠PAN=∠POM=90°，∴NA⊥半径PA，即NA是⊙P的切线。
第一问证切线附图证法二：连接MN，通过SAS证△MAN≌△NOM即可。
第二问的分析和求解问得刁钻，要求又高，使人情迷意乱、不知从何下手。
新中考精准辅导解法一：死板板地求出AC和AB。
连接BP，过点A作AD⊥x轴于D，先求AD：求法一是根据Rt△APN面积转换，AP×AN÷2=PN×AD÷2，即3×4=5×AD，AD=12/5。
求法二是根据三角函数转换，Sin∠1=sin∠2，AD:AP=OM:MP，AD:3=4:5。
求法三是根据平行，AD∥OM，AD:OM=AP:MP，AD:4=3:5。
第二问解法一附图求出AD之后，根据勾股定理或三角函数PD=9/5，即CD+PC=9/5------①欲求出PC和CD的具体值，还需要再找一个PC和CD的关系式，∵点B为x轴下方弧OQ的中点，∴BP⊥x轴，则AD∥BP，∴CD:PC=AD:BP=(12/5):3=4:5---②由①②知，CD=4/5，PC=1，第二问的解法一结束解法二：利用相似，如下图。
圆和三角函数结合经典例题
圆和三角函数结合经典例题很多朋友在学习数学课程时，都会遇到圆和三角函数，它们有很多共同之处，也能互相结合起来，被广泛应用在物理、化学、生物等科学方面，这篇文章将通过一些经典例题，阐述圆和三角函数之间的联系。
首先，让我们来介绍一下什么是圆和三角函数，圆是一种几何图形，由一个圆心和一个固定的半径构成，而三角函数则是一种数学模型，包括正弦、余弦和正切函数等。
而圆和三角函数之间的结合，主要体现在图形方面，例如：<b>例题1：在半径为1的圆上，求圆周上一点A的正弦函数值？</b>解：这里的点A的极坐标形式为（1,），其中α代表该点A与圆心构成的直线与正半轴之间的夹角，那么A点的正弦函数就是：sin α = y/1 = 1/1 = 1可以看出，圆的半径就是正弦函数的分母，其他情况也类似，比如：<b>例题2：在半径为2的圆上，求圆周上一点B的余弦函数值？</b>解：这里的点B的极坐标形式为（2,），其中β代表该点B与圆心构成的直线与正半轴之间的夹角，那么B点的余弦函数就是：cos β = x/2 = 2/2 = 1从上面的例题可以看出，圆与三角函数之间的结合，可以把圆周上的每一点看成是一个正弦、余弦和正切函数，由此可以用这些函数来表示和求解圆上的点与特定角度之间的距离。
此外，圆与三角函数结合还可以用来描述圆上椭圆的长短轴，其中长轴是圆周长，短轴是半径，因此椭圆的长短轴可以用圆的半径和圆周长来近似表示：2πR（R为半径）。
最后，圆也可以用三角函数的方法来绘制，比如，要想在极坐标系中绘制一个半径为2的圆，只需要将极坐标系中的点（x,y）替换成（2cosα,2sinα），即可把圆表示为三角函数，这样，圆就可以用三角函数的方式绘制出来。
综上所述，圆和三角函数之间的结合，可以应用在几何、物理、化学、生物等诸多学科中，它们的结合还可以用来描述圆上椭圆的长轴和短轴，也可以用来表示圆周上点与某个角度之间的距离，并且可以把圆绘制成三角函数的形式。
圆与相似,解直角三角形综合题精选有答案
解直1. （2012江苏镇江6分）如图，AB 是⊙O 的直径，DF ⊥AB 于点D ，交弦AC 于点E ，FC =FE 。
（1）求证：FC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，2cos FCE=5，求弦AC 的长。
【答案】解：（1）连接OC，∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），∴∠FCE=∠AED（等量代换）。
又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。
∴∠OCA＋∠FCE =900（等量代换），即∠OCF =900。
∴OC⊥CF（垂直定义）。
又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。
（2）连接BC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。
∵OB=OC。
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO=∠FCE，∴∠OBC=∠FCE。
又∵2cos FCE=5∠，∴2cos OBC=5∠。
又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。
在Rt△ABC中，2 BC AB cos OBC=1045 =⋅∠⋅=∴AC=【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。
由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。
（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到2 cos OBC=5∠，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。
2 （2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。
突破专题 圆与相似锐角三角函数的综合-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)
突破专题圆与相似锐角三角函数的综合[TOC]引言本文档旨在对于圆与相似锐角三角函数的综合问题进行探讨和解析。
圆与三角函数是初中数学中的重要内容，相似锐角三角函数则是其中的深入拓展。
通过本文档的学习，我们将更加深入地了解圆和三角函数之间的关系，并且能够灵活运用相似锐角三角函数的知识解决实际问题。
一、圆的性质与三角函数1.1 重要定义圆：平面上到一点距离相等的所有点构成的图形。
圆心：圆上所有点到某一点的距离相等，称为圆的圆心。
半径：圆心到圆上任一点的距离。
直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段。
弧：圆上两点间的部分。
弦：圆上两点间的线段。
弧长：圆上两点间弧所对的弧长。
1.2 三角函数与圆在平面直角坐标系中，可以将角x引出到单位圆上对应的弧上，并以此来定义各种三角函数。
正弦函数：$\\sin x$ 是x角（简称x）终边上纵坐标与半径长的比值。
在单位圆上，纵坐标就是 $\\sin x$。
余弦函数：$\\cos x$ 是x角（简称x）终边上横坐标与半径长的比值。
在单位圆上，横坐标就是 $\\cos x$。
正切函数：$\\tan x$ 是x角（简称x）终边上纵坐标与横坐标的比值。
在单位圆上，纵坐标就是 $\\tan x$。
1.3 三角函数的基本性质三角函数的基本性质如下：•对于任意角x，有 $\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1$。
•对于任意角x，有 $\\sin x = \\cos (\\frac{\\pi}{2} - x)$ 和$\\cos x = \\sin (\\frac{\\pi}{2} - x)$。
•对于任意角x，有 $\\tan x = \\frac{\\sin x}{\\cos x}$。
二、相似锐角三角函数2.1 相似三角形在解决一些实际问题时，我们经常会遇到两个或多个三角形具有相似的情况。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的判定条件：•AAA 判定法：两个三角形的对应角相等，则它们为相似三角形。
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备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且»AN＝»BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．思路点拨（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得AC CNCM BC，即可求CM的长．满分解答（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM 平分∠ABD ，∴∠OBM ＝∠MBF ，∴∠OMB ＝∠MBF ，∴OM ∥BF ，∵MF ⊥BD ，∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°，∴MF 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AN ，ONQ ¶¶AN BN=， 4AN BN ∴==AB Q 是直径，¶¶AN BN=， 90ANB ∴∠=︒，ON AB ⊥2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-=221AC ∴=，221BC =A NMB ∠=∠Q ，ANC MBC ∠=∠ACN MCB ∴∆∆∽ ∴AC CN CM BC= AC BC CM CN ∴=g g73CM ∴=g73CM ∴=【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cos D=35，请求出AC的长．思路点拨（1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=35，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．满分解答解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=35，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OHOC=2rr=35，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5【例3】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=23，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．思路点拨（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=23，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．满分解答解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=4，∴AB=6，∵E是»AB的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，∴AE=∵E是»AB的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE EG AE，即EG•ED=2AE=18．【例4】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．思路点拨（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．满分解答（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=2195，由垂径定理可求知：FG=2EF=419；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当30 11＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【例5】如图，△ABC内接于⊙O，2,BC AB AC==，点D为»AC上的动点，且10cos10B=.(1)求AB的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH CD DH=+.思路点拨（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得A D•AE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.满分解答（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=10cos10BFB==（2）连接DG，∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，∴AD ：AF=AG ：AE ，∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，∵AF=22AB BF =3， ∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ，∴△ADC ≌△ADN ，∴AC=AN ，∵AB=AC ，∴AB=AN ，∵AH ⊥BN ，∴BH=HN=HD+CD.【例6】已知如图，抛物线与轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y 轴的正半轴相交于A 点，过A ，B ，C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ，M 为轴负半轴上的一个动点，直线MB 交抛物线于N ，交⊙P 于D ．(1)填空:A 点坐标是____，⊙P 半径的长是_______，=____，=____，=____；(2)若S △BNC :S △AOB ＝48:5，求N 点的坐标；(3)若△AOB 与以A ，B ，D 为顶点的三角形相似，求MB·MD 的值．思路点拨（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；（2）根据S△BNC：S△AOB=48：5求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．满分解答(1) ⊙P的半径=3,=,=,=；（2）由（1）知抛物线的解析式为=，∴A点的坐标为（0，），所以OA=，而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,,∵S△BNC:S△AOB＝48:5,∴,设点N的纵坐标为，则有，解得，而抛物线最小值是，∴，在中，时，（不合题意，舍去），，∴符合条件的N点的坐标是（7，）；…（3）过点A作直径AQ联接BQ，∴∠ABQ=90º,∠BAO+∠AOB=90º,∵MA与⊙P相切于点A，∴∠OAB+∠BAO=90º,∴∠OAB=∠AOB,而∠AQB=∠ADB,∴∠OAB=∠ADB,而∠AMB=AMD,∴△MAB∽△MDA,∴,∴…ⅰ当△AOB∽△DBA时，∠ABD=∠AOB=90º,易证△AOB∽△BOM,则∴OM=,,∴;ⅱ当△AOB∽△DAB时，∠BAD=∠AOB=90º,∴BD是⊙P的直径，∴∠DCB=90º,而BD=2×3=6,BC=4,∴∵∠DCB=∠MOB=90º,∴OM∥CD,∴△MOB∽△DCB, ∴,∴,∴,∴;所以，若△AOB 与以A,B,D 为顶点的三角形相似，MB·MD 等于或 【变式训练】1．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3【答案】D【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠，∴3)sin 603OMOC cm ︒==．∵30OCN ∠=o ，∴123,223ON OC CN ===，∴24CE CN ==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯⨯=故选：D ．2．如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O e 与AC 相切于点D ，BD 平分ABC ∠，3AD OD =，12AB =，CD 的长是（ ）A ．3B ．2C ．33D ．3【答案】A【详解】 解：∵O e 与AC 相切于点D ，9033 30//90160636323033623AC ODADOAD ODODtanAADABD ABCOBD CBDOB ODOBD ODBODB CBDOD BCC ADOABC BC AB AC BCCBDCD BC∴⊥∴∠︒∴∴∠︒∠∴∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∠∠︒∴∠︒∴∠︒∴⨯QQQ，＝，＝，＝＝，＝，平分，＝，＝，＝，＝，，＝＝，＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝＝；故选A．3．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC⊥⊥，于点D，连接AP，设AP x PA PD y＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C ．D ．【答案】C【详解】设：圆的半径为R ，连接PB ，则1sin 22AP ABP x R R∠==， CA AB ⊥Q ，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝， 则2122x PD APsin x x R R α⨯=＝＝ 则212y PA PD x x R-+＝＝- 图象为开口向下的抛物线，故选：C ．4．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为A ．4B ．C ．6D ．【答案】B【详解】连结OD ，如图， ∵DF 是圆的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF=90°，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC ， 而OD=OC ， ∴∠ODC=60°，∴∠ODC=∠A ， ∴OD ∥AB ， ∴DF ⊥AB在Rt △ADF 中，∠A=60°， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF=2×2=4， 而OD ∥AB ，点O 为BC 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴AD=CD=4，即AC=8，∴AB=8， ∴BF=AB-AF=6， ∵FG ⊥BC ， ∴∠BGF=90°，在Rt △BFG 中，sinB=sin60°=， ∴FG=6×=3.5．如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC ，则PA 的长为（ ）A ．4B ．3C ．3D ．2.5【答案】A【详解】连接OD ， ∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥PD ，∴∠PDO=90°，∵∠BCP=90°，∴∠PDO=∠PCB ，∵∠P=∠P ，∴△POD ∽△PBC ，∴PO ：PB=OD ：BC ，即PO ：（PO+4）=4：6，∴PO=8，∴PA=PO-OA=8-4=4，故选A.6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，2222++=BE EC4845∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即5445OF=，解得：OF=5．故选D．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．35D．25【答案】D【详解】如图：连接BE，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB=，∴5553DB =，∴DB＝35，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝25，故选D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=_____．【答案】23【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB=ADcos30︒=43，∴在Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=43×12=23．故答案为23．9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____．【答案】3．【详解】连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为．10．如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且60BPC ︒∠=，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是___．【答案】633+．【详解】过O 作OM AC ⊥于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 距离的最大，且点P 到AC 距离的最大值PM =，∵OM AC ⊥，60A BPC ︒∠=∠=，⊙O 的半径为6，∴6OP OA ==， ∴3363322OM ==⨯= ∴633PM OP OM =+=+，∴则点P 到AC 距离的最大值是633+，故答案为：633+．11．如图，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为___．【答案】12【详解】 解：作OH ⊥AB ，延长DC 交⊙O 于E ，如图，∴AH=BH=12AB=12， ∵CD ⊥OC ，∴CD=CE ， ∵∠ABD=∠DEA ，∠BCD=∠ECA ，∴△BCD ∽△ECA ，∴BC CD CE AC=， ∴CD•CE=BC•AC ，∴CD 2=（BH-CH ）（AH+CH ）=（12-CH ）（12+CH ）=14-CH 2， ∴214CH - ∴当CH 最小时，CD 最大，而C 点运动到H 点时，CH 最小，此时CD=12，即CD 的最大值为12．故答案为12． 12．如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC =，则AE BE ⋅=___________.【答案】1【详解】如图，连接 OE ，∵AD 、AB 与半圆 O 相切，∴ OE ⊥AB ，OA 平分∠DOE ，∴∠AOE=12∠DOE ， 同理∠BOE=12∠EOC ， ∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE ，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO ∽△OEB ，∴AE ：OE=OE ：BE ，∴AE•BE=OE²=1，故答案为1.13．如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB ＝18，∠A ＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①¶¶BC BD=；②扇形OBC的面积为274π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．【答案】①③④．【详解】∵弦CD⊥AB，AB是直径，∴»»BC BD=，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面积=2609273602ππ⨯⨯=，所以②错误；∵⊙O与CE相切于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正确；∵AP•OP=(9-OP)•OP= -(OP-92)2+814，当OP=92时，AP•OP的最大值为814=20.25，所以④正确，故答案为：①③④．14．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧¶AC上取一点D，使¶¶CD AB=，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE 3= C D ，劣弧¶CD的弧长为π，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．【详解】（1）∵¶¶CD AB =，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α＝∠EAD ，设：∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ，则△ACE 中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE 是⊙O 的切线；（2）过点A 作AM ⊥BC ，延长AD 交CE 于点N ，则DN ⊥CE ，∴四边形AMCN 为矩形， 设：AB ＝CD ＝x ，则CE 3=， 则CN 12=CE 3=＝AM ，而AB ＝x ， 则sin ∠ABM 3=ABM ＝60°， ∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，¶¶60360CD AB ︒==⨯︒2πr ＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）7 9 .【详解】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝45，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝79（另一负值舍去）．∴5759 AF xFC==．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=11 2.【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴»AB=»AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC＝45，设AE＝x, CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE CEBE⋅=648⨯=3,∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12BD•AE，∴DH＝•11633105 BD AABE⨯==，∴BH＝2244 5BD DH-=，∴AH＝AB−BH＝10−446 55=，∴tan∠BAD=DHAH=336=112.17．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DFCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【详解】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴AD DF DF AC CE CF==，∵BD=43 DC，∴tan∠ABC=CDBD=34∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34，∴sin∠ACD=35 ADAC=，∴DFCF=35ADAC=．18．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.【答案】(1)证明见解析；(2)DA=1607，DE=1207；(3)MD＝35235.【详解】(1)DE2＝DB·DA，∴DE DB DA DE=，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE；(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，又∵AE=EF，BF=10，∴AB=BF=10，∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=45，∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=45，在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝45，得AE=ABcos∠EAD=8，∴226 BE AB AE=-=，∵△DEB ∽△DAE，∴6384 DE DB EBDA DE AE====，∵DB=DA-AB=DA-10，∴341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩的解，∴DA=1607，DE=1207；(3)连接FM，∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，∴点M在以BF为直径的圆上，∴FM⊥AB，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝AM AF得AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×45＝645，∴MD＝DA－AM＝16064352 7535-=.19．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=2．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE ∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴2DE=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴PD POPE PB=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴23PDPE=，即223PDPD=+，∴PD=4．20．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且CFCP=34时，求劣弧»BD的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）433．【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，∴∠FAC=∠EAC，即AC平分∠FAB；（2）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2=CE•CP；（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BM CM PM BM=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=3a，∴tan∠BCM=3 BMCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴»BD的长=1202343ππ⨯⨯=．21．如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP =60°，PA =PD ． （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若点C 是弧AB 的中点，已知AB =4，求CE •CP 的值．【答案】（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）8.【详解】（1）如图，PD 是⊙O 的切线．证明如下：连结OP ，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP ，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD ，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD 是⊙O 的切线．（2）连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵C 为弧AB 的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C ，∠CAB=∠APC ，∴△CAE ∽△CPA ，∴，∴CP•CE=CA 2=（）2=8．22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．23．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O e 的切线；（2）求证：24BC CF AC =g ；（3）若O e 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16433π- 【详解】解：（1）如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O e 的切线；（2）连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =， 则12DB DC BC ==， ∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA V V ∽，∴2•CD CF AC =，即24BC CF AC =g ；（3）连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 4322OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠=V ， 212016443433603OAES OAE S S ππ︒︒=-=⨯⨯-=-V 阴影部分扇形 24．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：B D 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】解：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD AC BQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=2105，∴BE=610，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2105，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2105）2+（610）2，解得：R=210，∴⊙O的半径为210．25．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1）AD=26；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣26．【详解】（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=12AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE=22OD OE-=22；在Rt△ADE中，AD=22AE DE-=26；（2）当DP=DF时，如图2，点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，∴∠DPF=∠C，∵∠PDF=∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP=∠DPC，∴∠CDP=∠CPD，∴CP=CD，∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣26；当PF=DF时，如图3，∴∠FDP=∠FPD，∵∠DPF=∠DAC=∠C，∴△DAC∽△PDC，∴PC CDCD AC=，26 26=，∴AP=5，即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣6．。