2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修11

又－23<－35，∴－23－1>－35－1.
(3)∵函数 y1＝23x 为 R 上的减函数，又34>23，
∴23
2 3
>23
3 4
.
2
32
又∵函数 y2＝x 3 在(0，＋∞)上是增函数，且4>3，
∴34
2 3
>23
2 3
，∴34
2 3
>23
3 4
.
比较幂值大小的方法 (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数； (3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数， 使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数 与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较 的两数之间，进而比较大小．
( √)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)．
( ×)
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( × )
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝2x
D．y＝x－1
答案：C
3．已知 f(x)＝(m－1)x m2＋2m 是幂函数，则 m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
答案：A
4．已知幂函数
f(x) ＝ xα
图 象 过 点 2，
2 2
，
则
f(4) ＝
________.
答案：12
幂函数的概念
[例 1] 已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函 数的解析式，并指出定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0； 当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或 y＝x0， 定义域为{x|x≠0}．
∴3α＝－1，即 α＝－13，
∴函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x－13(x≠0)．
1
(2)∵y＝x 2 在[0，＋∞)上是增函数，且 1.2＜1.4，
1
1
∴1.2 2 ＜1.4 2 .
又∵y＝1.4x
为增函数，且21＜2，∴1.4
1 2
＜1.42，
∴1.2
1 2
＜1.4
1 2
＜1.42.
幂函数的图象与性质
[例 3] 已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点 P 2，14，试 画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
[解] 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P 2，14，所以 f(2) ＝14，即 2α＝14，得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的 图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单 调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，试判断 f(x)的奇偶性．
幂函数
预习课本 P77～78，思考并完成以下问题 （1）幂函数是如何定义的？ （2）幂函数的解析式具有什么特点？ （3）常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
1．幂函数的概念
[新知初探]
函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数．
[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量． 2．常见幂函数的图象与性质
解：由本例知，f(x)＝x－2，则 f(－x)＝(－x)－2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
2．[变条件]本例中点 P 变为8，12， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)判断函数 f(x)的单调性，
解：∵f(x)的图象过点 P 8，12，∴8α＝12，即 23α＝2－1，
调 性
上单调 递增
在(0，＋∞)上
单调 递增
＋ ∞) 上 单
调 递增
在(0，＋∞)上
单调 递减
上单调
递增
定
(1,1)
点
[点睛]幂函数在区间(0，＋∞)上，当 α>0 时，y＝xα 是
增函数；当 α<0 时，y＝xα 是减函数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝x0(x≠0)是幂函数．
解析式 y＝x
y＝x2
y＝x3 y＝1x
y＝x
1 2
图象
定义域 R
R
R {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇 函数 非奇非偶 函数
解
析
y＝x
式
y＝x2
y＝x3
y＝1x
y＝x
1 2
在(－∞，0]上
在(－∞，0)上
单 在(－∞，＋∞) 单调 递减 ， 在 (－∞， 单调 递减 ， 在 [0 ， ＋ ∞)
[活学活用]
2．比较下列各组值的大小：
6655来自(1)(－0.31) ，0.35 .
1
1
(2)1.2 2 ，1.4 2 ，1.42；
6
6
6
5
解：(1)∵y＝x 为 R 上的偶函数，∴(－0.31)
5 ＝0.31 5 .
6
又函数 y＝x 5 为[0，＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
∴0.31 5 ＜0.35 5 ，即(－0.31) 5 ＜0.35 5 .
与－35－1；(3)23
3 4
与34
2 3
.
[解] (1)∵幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递 增的，
又25
>
13，∴25
0.5 >
1 3
0.5.
(2)∵幂函数 y＝x－1 在(－∞，0)上是单调递减的，
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的 形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量； (3)系数为 1.
[活学活用] 1．下列函数中不是幂函数的是( A．y＝ x C．y＝22x
) B．y＝x 3 D．y＝x－1
解析：选 C 显然 C 中 y＝22x＝4x，不是 y＝xα 的形式， 所以不是幂函数，而 A、B、D 中的 α 分别为21， 3，－1，符 合幂函数的结构特征.
答案：C
比较幂值的大小
[例 2] 比较下列各组数中两个数的大小．
(1)25
0.5 与13
0.5；(2)－23－1