北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案

北京市朝阳区高三年级第一学期期末统一考试
数学答案（理工类）
三、解答题
15．解：（Ⅰ）因为2
()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 2
11
(sin )2
4x =--
， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为1
4
-.…… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115
(sin )2416
α--=，
所以219
(sin )216α-=．
于是5sin 4α=（舍）或1
sin 4
α=-．
又2
217cos 212sin 12()48
αα=-=--=． ……………… 13分
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．
114411
5516
(0)25C C P X C C ===， 14115528
(1)25
C P X C C ===
， 11
5511
(2)25
P X C C ==
=， 8 7 5 6 9
8
2
6 甲 乙
5 5
7 2 5
8 5
随机变量X 的分布列是：
160122525255
EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分
17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
所以PA AC ⊥．
又因为AB AC ⊥，且PA AB=A ，
所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，
所以AC ⊥PB ． ……………… 4分
（Ⅱ）
解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥， 所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，
(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．
又因为1
3
OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33
a b G ． 于是(,,)33
a b DG c =-，
(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．
设平面PBC 的一个法向量
000(,,)x y z =n ，则有0,
0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．
即000
020,20.ax by by cz -=⎧⎨
-=⎩
不妨设01z =，则有002,c c y x b a =
=，所以2(,,1)c c
a b
=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333
c c a b c a c b
DG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ， 所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，
所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分
解法2：
取AB 中点E ，连OE ，则1
()2
OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）
可得2
3
OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .
因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .
又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．
……………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,
,1)(2,2,1)c c
a b
==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323
AC AC AC
⋅=
=
=⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，
所以二面角A PB C --的余弦值为2
3
． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．
当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1e
x =
． 当1(0,)e
x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)e
x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.
所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分
（Ⅱ）由已知得()ln x a
f x x x
-'=+．
因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x a
x x
-+
≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．
B
因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得2
1e x =． 当21
(0,)e
x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21
(
,)e
x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211
()e e
g =-．
故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21
(,]e
-∞-
…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．依题意
1224a PF PF =+==，所以2a =．
又c =222
1b a c =-=．
于是椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则
由22
14x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2
2
2
2
644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22
410k m -+>． ……………… ①
设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则1222
122841
4441km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
于是00022
4,4141
km m
x y kx m k k =-
=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，
00
1
1y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②
因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，
所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++
22
222448(1)(1)()2104141
m km
k k m m m k k -=+++-+++=++，
整理得2
5230m m +-=，解得3
5
m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去.
由①②知，3
5
m =
时，k =．
（2）当00x =时，
（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±
设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则
AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或3
5
m =
.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35
y =
. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有
AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.
综上，直线l 的方程为3
5
y =
530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b ac
b c b
-=．
因为,,a b c 成等差数列，所以2
a c
b +=，
则1223()()a a a a ---=2
4lg
()
ac
a c +， 因为22
2a c ac +≥，所以2
()4a c ac +≥，即
2
41()ac
a c ≤+，
则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．
……………… 4分
（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，
依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>． 故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >． 所以a b >且a c >． 故,,a b c 三个数中，a 最大． 解法2：依题意lg
lg lg a b c b c a >>，即a b c b c a
>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2
ac b >，2
a bc >，2
ab c >． 于是，3abc b >，3a abc >，3
abc c >， 所以33a b >，33
a c >．
因为3
y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．
故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分
（Ⅲ）依题意，lg t ，2
lg t ，3
lg t 的整数部分分别是,m 2
1,m +2
21m +，则l g 1m t m ≤<+，
所以22lg 22m t m ≤<+．
又2
lg 2lg t t =，则2
lg t 的整数部分是2m 或21m +． 当2
12m m +=时，1m =； 当2
121m m +=+时，0,2m =．
（1） 当0m =时，lg t ，2
lg t ，3
lg t 的整数部分分别是0,1,1，
所以0lg 1t ≤<，2
1lg 2t ≤<，3
1lg 2t ≤<．所以12
lg 23
t ≤<，解得21
321010t ≤<．
又因为()12103,4∈，()23
104,5∈，所以此时4t =．
（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，2
2lg 3t ≤<，3
3lg 4t ≤<．
所以4
1lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()4
31021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =．
（3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，3
9lg 10t ≤<，
同时满足条件的t 不存在．
t ．………………13分综上所述4,10,11,12,...20,21。