人教版九年级数学下册第二十七章综合素质评价含答案

第二十七章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在下列各组线段中，不成比例
．．．．的是()
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝1，b＝2，c＝6，d＝ 3
2．【教材P27习题T2变式】下列两个图形一定相似的是()
A．任意两个矩形
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形
D．任意两个菱形
3．如图，已知△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为() A．36°B．117°C．143°D．153°
(第3题)(第4题)
4．【教材P29图27.2－2改编】如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交
于点A，B，C和点D，E，F，若AB
BC＝
2
3，DE＝6，则EF的长是()
A．8 B．9 C．10 D．12
5．【2022·湘潭】在△ABC中(如图)，点D，E分别为AB，AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝()
A．1：1 B．1：2
C．1：3 D．1：4
(第5题) (第6题)
6．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，下列条件中不能．．
判定△ABC ∽△AED 的是( ) A ．∠AED ＝∠B B ．∠ADE ＝∠C C.AD AE ＝AC
AB D.AD AB ＝DE BC
7．【教材P 42习题T 3(1)变式】下列选项中的四个三角形，与如图中的三角形相似
的是( )
8．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 的各边放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，
以下说法中错误．．的是( ) A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′
B ．点
C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ：AA ′＝1:2
D ．AB ∥A ′B ′
(第8题) (第10题)
9．【教材P 57复习题T 2改编】【2022·连云港】△ABC 的三边长分别为2，3，4，另
有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则△DEF 的周长是( ) A ．54 B ．36 C ．27 D ．21
10．【2021·淄博】如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在
同一条直线上，已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是( ) A.1r ＋1q ＝1
p
B.1p ＋1r ＝2
q C.1p ＋1q ＝1
r D.1q ＋1r ＝2p
二、填空题(每题3分，共24分) 11．如果x y ＝2
5，那么y －x y ＋x
＝________.
12．【教材P 31练习T 1变式】【2022·湖州】如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是
AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AD AB ＝1
3.若DE ＝2，则BC 的长是________．
(第12题) (第13题)
13．如图，请添加一个条件，使△ADB ∽△ABC ，你添加的条件是______________． 14．【2022·陕西】在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法
作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即BE 2＝AE ·AB .已知AB 为2米，则线段BE 的长为__________米．
(第14题) (第15题) (第16题)
15．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”
实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O ，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD (点A ，B 的对应点分别是C ，D )．若物体AB 的高度为6 cm ，实像CD 的高度为3 cm ，则小孔O 到BC 的距离OE 为__________cm.
16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5 m 有一棵树，
小华站在离南岸20 m的点P处，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平面内)．已知龙舟的长为18.5 m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为________m.
17．【教材P53材料变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为1
3的位似图形，点A与点C对应．若点A的坐标为(3，2)，则点C的坐标为______________________．
(第17题)(第18题)
18．【2022·武威】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG 的长为________cm.
三、解答题(19题8分，22题10分，其余每题12分，共66分)
19．【教材P31练习T2变式】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB＝AE:AC＝2:3.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE＝4，求BC的长．
20．如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，
3)，并求出点B的坐标；
(2)以原点O为位似中心，相似比为2:1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大
后的位似图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°.
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，BE＝2，求CD的长．
22．【教材P43习题T10变式】宝鸡电视塔是陕西省第二座水泥电视塔，是宝鸡地
标建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测量宝鸡电视塔的高度BD.小辉先在地面上A处放置了一块平面镜，从A点向后退了2.4 m 至F处，他的眼睛E恰好看到了平面镜中电视塔顶端B的像；然后从点F处沿水平方向前进52.4 m到达C点，此时测得电视塔顶端B的仰角∠BCD是45°.已知D，C，A，F在同一水平线上，BD⊥FD，EF⊥FD，EF＝1.8 m，求电视塔的高度BD(平面镜的大小忽略不计)．
23．【2022·滨州】如图，已知AC为⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2＝OM·PM.
24．【2022·清华附中月考】【问题提出】
(1)如图①，点C是线段AB上的一点，AC:CB＝2:1.若AC＝4，则AB的长为
________．【问题探究】
(2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点M，且AC⊥CD，AB
AC＝
3
4，四
边形ABCD的周长是32，求线段AM的长．
【问题解决】
(3)①如图③是一个商场平面示意图，由一个▱ABCD和一个△CDE组成，已知AB
＝300 m，AD＝500 m，AC⊥DC，点A，D，E在同一条直线上．因AB边所临的街道人流量较大，现要在AB边上找一点F作为商场大门，为了美观，需使得∠CED＝∠CDF.设AE的长为x(m)，BF的长为y(m)，求y关于x的函数关系式．
②当BF:F A＝1:2时，求△CDE的面积．
答案
一、1.C
2. C 点易错：虽然矩形的四个角都是直角，但是长与宽的比不固定，所以任意
两个矩形不一定相似；虽然菱形的四条边相等，但是内角不固定，所以任意两个菱形不一定相似；虽然等腰三角形两边相等，但是顶角不固定，所以任意两个等腰三角形不一定相似. 3．D 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C 10．C 点拨：∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC .
∴EF AC ＝BF BC .
∵EF ∥DB ，∴△CEF ∽△CDB . ∴EF BD ＝CF BC .
∴EF AC ＋EF BD ＝BF BC ＋CF BC ＝BF ＋CF BC ＝BC
BC ＝1， 即r p ＋r
q ＝1. ∴1p ＋1q ＝1r . 二、11.3
7 12.6 13.∠A B D ＝∠C (答案不唯一) 14．(－1＋5) 15.2 16. 108
点思路：利用平行线得到三角形相似，从而得线段成比例，进而求解． 17. ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，23或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－23
点易错：注意点C 有两处，分别在第一、第三象限，不要漏解． 18.13 点拨：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ＝6 cm ，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥CD . ∴∠ABD ＝∠BDC . ∵AE ＝2 cm ，
∴BE ＝AB －AE ＝6－2＝4(cm)． ∵G 是EF 的中点，
∴EG＝BG＝1
2EF.
∴∠BEG＝∠ABD. ∴∠BEG＝∠BDC. ∴△EBF∽△DCB.
∴EB
DC＝
BF
CB.
∴4
6＝
BF
9，解得BF＝6 cm.
∴EF＝BE2＋BF2＝42＋62＝213(cm)．
∴BG＝1
2EF＝13cm.
三、19.(1)证明：∵∠A＝∠A，AD：AB＝AE：AC＝2：3，
∴△ADE∽△ABC.
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴AD
AB＝
DE
BC，即
2
3＝
4
BC，
解得BC＝6.
20．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
点B的坐标为(3，2)．
(2)如图所示．
(3)△A′B′C′的面积为1
2×4×8＝16.
21．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED.
∴△ABE∽△ECD.
(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4 2.
∵BE＝2，∴EC＝3 2. ∵△ABE∽△ECD，
∴AB
EC＝
BE
CD，即
4
32
＝
2
CD，解得CD＝
3
2.
22．解：由题意得AF＝2.4 m，CF＝52.4 m，∴AC＝50 m.
设BD＝x m.
∵BD⊥FD，EF⊥FD，∴∠EF A＝∠BDA＝90°.
∵∠BCD＝45°，∴∠C B D＝45°.
∴CD＝BD＝x m.
∵∠EF A＝∠BDA，∠EAF＝∠BAD，
∴△EF A∽△BDA.
∴EF
AF＝
BD
CD＋AC
，即
1.8
2.4＝
x
x＋50
，
解得x＝150.
答：电视塔的高度BD为150 m. 23．证明：(1)如图，连接OB.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°.
∴∠CAB＋∠OCB＝90°.
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD＋∠OBC＝90°.∴∠OBD＝90°.
又∵OB是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)由PD是⊙O的切线，直线P A与⊙O相切，易得PO垂直平分AB. ∴∠AMP＝∠AMO＝90°.
∴∠APM＋∠P AM＝90°.
∵∠OAP＝90°，
∴∠P AM＋∠OAM＝90°.
∴∠APM＝∠OAM.
∴△OAM∽△APM.
∴AM
PM＝
OM
AM.
∴AM2＝OM·PM.
24．解：(1)6
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点M，
∴AB＝CD，AD＝BC，AM＝CM.
∵AB
AC＝
3
4，∴可设AB＝CD＝3x，AC＝4x.
∵AC⊥CD，∴AD＝AC2＋CD2＝5x. ∵四边形ABCD的周长是32，
∴AD＋CD＝8x＝16，解得x＝2.
∴AC＝4x＝8.
∵AM＝CM，∴AM＝1
2AC＝4.
(3)①∵四边形A B CD是平行四边形，∴AB∥DC.
∴∠CDF＝∠DF A，∠CDE＝∠DAF. ∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠DF A. ∴△CDE∽△DAF.
∴CD
DA＝
DE
AF，即
300
500＝
x－500
300－y
，
解得y＝－5
3x＋
3 400
3.
∵⎩⎪⎨⎪⎧－53x ＋3 4003≥0，x －500＞0，
∴500＜x ≤680.
∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－53x ＋3 4003(500＜x ≤680)．
②∵B F ：F A ＝1：2，且A B ＝300 m ， ∴F A ＝200 m.
∵AC ⊥CD ，且AD ＝500 m ，CD ＝AB ＝300 m ， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝400 m.
由①可得△CDE ∽△DAF ，
∴CD DA ＝35.
∴S △CDE S △DAF ＝925
. ∵S △DAF ＝12·AC ·AF ＝12×400×200＝40 000(m 2)，
∴S △CDE ＝925×40 000＝14 400(m 2)．。