高中数学人教A版选修2-1高—上学期高二期中考试.docx

禹州市一高2012—2013学年度上学期高二期中考试
数学试题(理科) 2012-11-20
命题人：赵伟峰
一、选择题（每小题5分，共60分） 1. “02=-x x ”是“1=x ”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2.已知命题:,sin p x x x ∀∈>R ，则p 的否定形式为( ) A.:,sin p x x x ⌝∃∈<R B.:,sin p x x x ⌝∀∈≤R C.:,sin p x x x ⌝∃∈≤R
D.:,sin p x x x ⌝∀∈<R
3.在正项等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a ( ) A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
4.已知变量,x y 满足20
2300x y x y x -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则y x z +=2的最大值为( )
A ．16
B ．8
C ．6
D ．4
5.已知数列{}n a 的前n 项和222-+=n n S n ，那么它的通项公式为( )
A.⎩⎨⎧≥-==） 2(,14)1(,1n n n a n
B.⎩⎨⎧≥+==）
2(,14)1(,1n n n a n C.14-=n a n D.14+=n a n
6.下列说法中，正确的是( )
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．已知x ∈R ，则“2230x x --=”是“3x =”的必要不充分条件
C ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
7.已知等差数列{}n a 满足24354,10a a a a +=+=，则它的前10项和为（ ） A.138 B.135 C.95 D.23
8.已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2），（0，2），并且经过点)25
,23(--，
则椭圆的方程是( )
A ．14922=+y x
B ．19422=+y x
C ．161022=+y x
D ．110
62
2=+y x 9.已知,x y +∈R ，且满足
28
1x y
+=,则x y +的最小值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24
10.在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2123<<-
a D ．2
321<<-a 11.设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若
12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
2 B C ．21 12.各项均不为零的等差数列{}n a 中2*110(,2)n n n a a a n n N -+--=∈≥，则2012S 等于（ ）
A ．4024
B ．4018
C ．2009
D ．1006
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.若,1>a 则1
1
-+
a a 的最小值是_________. 14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式为 .
15.已知0,0x y >>，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值
范围是______.
16.过椭圆14
52
2=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，则弦AB 的长为_______. 三、解答题(6道题，共70分)
17．（本小题满分10分）
已知点(3,0)A 为圆221x y +=外一点，P 为圆上任意一点，若AP 的中点为
M ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
18．（本小题满分12分）
已知命题p ：“2[1,2],0x x a ∀∈-≥”，
命题q ：“2000,220x x ax a ∃∈++-=R ”， 若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
cos 3
A =
，sin B C =.
（1）求tan C 的值；
（2
）若a =ABC ∆的面积. 20．（本小题满分12分）
等比数列{a n }的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和．
21．(本小题满分12分)
设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的*n ∈N ，都有2)2(8+=n n a S .
（1）写出数列{}n a 的前3项；
（2）求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)； （3）设14+⋅=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
m
T n <对所有
*n ∈N 都成立的最小正整数m 的值.
22．（本小题满分12分）
已知中心在原点O ，焦点在x
轴上，离心率为2
，
2
）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，
OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
禹州一高高二数学（理）期中试题参考答案
一、选择题：
BCCDA ， BCDCD ， DA 二、填空题：
13. 3 14. 2n n a = 15.(4,2)- 16. 3
5
5 三、解答题：
17．（10分）41
)23(22=+-y x 表示以3(,0)2为圆心，12
为半径的圆.
18．（12分）解：由“p q ∧”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．
若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，
∵x ∈[1,2]，∴a ≤1. …………………6分 若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，
Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2， ……………10分 综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1. ……………12分 19. （12分） 解：（1）由2cos ,(0,)3A A π=
∈
，得sin 3
A ==.
又2
sin sin()sin 33
C B A C C C ==+=+
，所以tan C =.┄┄6
分
（2
）由tan C =
sin C C ==
，∴sin cos B C ==.
由a =
sin sin a C
c A
==所以ABC ∆
的面积为1sin 22
S ac B =
=
.┄┄┄┄12分 20．（12分）（1）解：设等比数列的公比为q ，由题意知0q >， ∴112232
11231()9()
a a q a q a q +=⎧⎨=⎩解得113a q == 故1()3n
n a =…………………6分 （2）1231231
(1)
log ()log ()
32
n
n n n n b a a a ++++=⋅⋅⋅==-L L ∴
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ ┄┄┄┄8分
故数列1{}n
b 的前n 项和为
11111122[(1)()()]2(1)223111
n n n n n ---+-+-=--=+++L …………12分
21. （12分）解:(1) n =1时 2118(2)a a =+ ∴12a =
n =2时 21228()(2)a a a +=+ ∴26a =
n =3时 212338()(2)a a a a ++=+ ∴310a = …………4分 (2)∵28(2)n n S a =+ ∴2118(2)(1)n n S a n --=+>
两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即2211440n n n n a a a a -----= 也即11()(4)0n n n n a a a a --+--=
∵0n a > ∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列
∴2(1)442n a n n =+-⋅=- ………… 8分
(3)1441111()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)
n n n b a a n n n n n n +=
===-⋅-+-+-+
∴12111111
[(1)()(
)]2335(21)(21)
n n T b b b n n =+++=-+-++--+L L 11111
(1)2212422
n n =
-=-<++ ∵20n m T <对所有*n N ∈都成立 ∴1
202
m ≥ 即10m ≥
故m 的最小值是10 . …………12分
22．（12分）解：（1）由题意可设椭圆方程为 222
2
1x y a
b
+
= （a ＞b ＞0），
则22,2211,
2c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故 2,1a b ==⎧⎨⎩，所以，椭圆方程为 2214x y +=． ………6分
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，
故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
由22
,440,
y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ 消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0，
则△＝64 k 2b 2－16（1＋4k 2b 2）（b 2－1）＝16（4k 2－m 2＋1）＞0， 且122
814km x x k
-+=
+，2122
4(1)14m x x k
-=
+．……………8分
故 y 1 y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2
因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以，
1212
y y x x ⋅＝
22
121212
()k x x km x x m x x +++＝k 2，
即，
222
814k m k -+＋m 2＝0，又m ≠0，所以 k 2＝
14，即 k ＝2
±． 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1． 设d 为点O 到直线l 的距离，
则 S △OPQ ＝1
2
d | PQ |＝1
2
| x 1－x 2 | | m |
所以 S △OPQ 的取值范围为 （0，1）． ……………12分
(第22题)。