第1讲-4-直角三角形的射影定理

四直角三角形的射影定理
1.了解射影定理的推导过程．
课标解读
2.会用射影定理进行相关计算与证明.
1．射影
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
2．射影定理
(1)文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)图形语言
如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
则有CD2＝AD·BD.
AC2＝AD·AB.
BC2＝BD·AB.
1．如何使用射影定理
【提示】运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可
直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．
2．如何用射影定理证明勾股定理
【提示】
如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，
则AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，
即AC2＋BC2＝AB2.
由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．
3．直角三角形射影定理的逆定理是什么如何证明
【提示】直角三角形射影定理的逆定理：
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．
证明如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
与射影定理有关的计算
已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD的值；
(2)若AB＝25 cm，求CD的长．
【思路探究】先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值；再根据斜边AB的长及AD∶BD的值分别确定AD与BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的长．
【自主解答】(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴AD·AB BD·AB ＝AC 2
BC
2， ∴AD BD ＝(AC BC )2＝(34)2＝916， 即AD ∶BD ＝9∶16.
(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝9
25×25＝9(cm)．
BD ＝
16
25
×25＝16(cm)， ∴CD ＝AD ·BD＝9×16＝12(cm)．
1．解答本题(1)时，关键是把AD BD 转化为(AC BC
)2
.
2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角 三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比 之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．
图1－4－2
如图1－4－2，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若AD ＝2 cm ，DB ＝6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长． 【解】 ∵CD 2
＝AD·DB＝2×6＝12， ∴CD ＝12＝23(cm)．
∵AC 2
＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC ＝16＝4(cm)．
∵BC 2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC ＝48＝43(cm)．
故CD 、AC 、BC 的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
与射影定理有关的证明
图1－4－3
已知如图1－4－3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F. 求证：CD 3
＝AE·BF·AB.
【思路探究】 ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB→CD 2
＝AD·DB→CD 3
＝AE·BF·AB. 【自主解答】 ∵∠BCA ＝90°，CD ⊥BA ， ∴CD 2
＝AD·BD. 又∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， ∴AD 2
＝AE·AC，BD 2
＝BF·BC，
∴CD 4
＝AD 2
·BD 2
＝AE·AC·BF·BC＝AE·BF·AC·BC. 而S △ABC ＝12AC·BC＝1
2AB·CD，
∴CD 4＝AE·BF·AB·CD. 即CD 3＝AE·BF·AB.
1．解答本题的关键是利用S △ABC ＝12AC·BC＝1
2
AB·CD 进行转化．
2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
在本例条件不变的情况下，求证：DE 3
DF 3＝AE
BF .
【证明】 根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ， DE 2
＝AE·CE， DF 2＝BF·CF，
∴DE 2
·BF·CF＝DF 2
·AE·CE， ∴DE 3
·BF＝DF 3
·AE， 即DE 3DF 3＝AE BF
.
(教材第22页习题第1题)在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，已知CD ＝
60，AD ＝25，求BD ，AB ，AC ，BC 的长．
(2018·商丘模拟)如图1－4－4，已知Rt △ABC 的两条直角边AC 、BC 的长分别为3 cm ，
4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______cm.
图1－4－4
【
【解析】 连接CD ，则CD ⊥AB. 由AC ＝3cm ，BC ＝4cm 得AB ＝5cm. 由射影定理得BC 2
＝BD·BA， 即42
＝5BD. 所以BD ＝16
5
cm.
【答案】 165
1. 如图1－4－5，在Rt △ABC 中，AC ⊥CB ，CD ⊥AB 于D 且CD ＝4，则AD·DB＝( ) A ．16 B ．4 C ．2 D ．不确定
图1－4－5
【解析】由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16.
【答案】A
2．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝15 cm，BD＝3 cm，则AD的长是( ) A．5 cm B．2 cm
C．6 cm D．24 cm
【解析】∵BC2＝BD·AB，
∴15＝3AB，即AB＝5，
∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．
【答案】B
3. 如图1－4－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________.
图1－4－6
【解析】由CD2＝BD·AD得AD＝4 3，
∴AB＝BD＋AD＝3＋4
3
＝
13
3
，
∴AC2＝AD·AB＝4
3
×
13
3
＝
52
9
，
∴AC＝2
3
13.
【答案】213 3
4．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm和 5 cm，则它们在斜边上的射影比为________．
【解析】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ 5 cm，
∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5，
∴AD BD ＝15
. 【答案】 1∶5
一、选择题
1．△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( ) A ．3∶2 B ．9∶4 ∶ 2 ∶3
【解析】 如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2
＝AD·AB， BC 2
＝BD·AB，
又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝5， ∴AC 2
＝3×5＝15，BC 2
＝2×5＝10. ∴AC BC ＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶2， 故选C. 【答案】 C 2.
图1－4－7
如图1－4－7所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )
A ．6
B ．32
C ．18
D ．36
【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
AD DB ＝12
，AD·DB＝36，
∴AD 2
＝18， ∴AD ＝3 2. 【答案】 B
3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD
CD
等于( )
【解析】 如图，由射影定理，得AC 2
＝CD·BC，AB 2
＝BD·BC， ∴AC 2
AB 2＝CD BD ＝(34)2
， 即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C
4．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD ＝1：4，则tan ∠BCD 的值是( ) A. 1
4
D ．2
【解析】 如图，由射影定理得CD 2
＝AD·BD，
又∵BD ：AD ＝1：4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x(x>0)． ∴CD 2
＝AD·BD＝4x 2
，∴CD ＝2x ， 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12
. 【答案】 C 二、填空题
图1－4－8
5．如图1－4－8，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________． 【解析】 ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a ， ∵AE ⊥BD ， ∴AD 2
＝DE·BD.
∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝1
4BD ，
∴AD 2
＝14
BD·BD .
∴BD 2
＝4AD 2
＝4×4a 2
＝16a 2
，∴BD ＝4a.
【答案】4a
6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝8 cm，
∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm.
∴CE＝错误!＝(cm)，
∴AD＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6 cm.
∴S梯形ABCD＝10＋×
2
＝(cm2)．
【答案】32.64 cm2
三、解答题
7．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝AC2
AB
＝
122
20
＝
36
5
(cm)；
同理：BF ＝BC 2AB ＝162
20＝64
5
(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，64
5
cm.
图1－4－9
8．如图1－4－9，Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上 ，E 、F 在斜边BC 上，求证：EF 2
＝BE·FC.
【证明】 如图，过点A 作AH ⊥BC 于H.
∴DE ∥AH ∥GF. ∴DE AH ＝BE
BH ， GF AH ＝FC CH
. ∵DE·GF AH 2
＝BE·FC BH·CH
. 又∵AH 2
＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC. 而DE ＝GF ＝EF.∴EF 2
＝BE·FC.
图1－4－10
9．如图1－4－10，已知：BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF ，求证：GD 2
＝GF·GH.
【证明】 ∵∠H ＝∠BCE ，∠EBC ＝∠GBH ， ∴△BCE ∽△BHG ， ∴∠BEC ＝∠BGH ＝90°， ∴HG ⊥BC.
∵BD ⊥AC ，在Rt △BCD 中， 由射影定理得，GD 2
＝BG·CG. ① ∵∠FGC ＝∠BGH ＝90°，∠GCF ＝∠H ， ∴△FCG ∽△BHG ，
∴FG BG ＝CG GH
， ∴BG·GC＝GH·FG. ②
由①②得，GD 2
＝GH·FG.
10.
如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足．求证：
(1)AE·AB＝AF·AC；
(2)△AEF ∽△ACB.
【证明】 (1)∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
在Rt △ABD 中，由射影定理得AD 2＝AE·AB，在Rt △ADC 中，由射影定理得AD 2＝AF·AC， ∴AE·AB＝AF·AC.
(2)∵AE·AB＝AF·AC，
∴AE AC ＝AF AB
. 又∵∠EAF ＝∠CAB ，
∴△AEF ∽△ACB.。