2020高考数学课标二轮(天津专用)课件：第一部分 一、函数与方程思想

设g(m)=(x-2)m+(x-2)2.
因为该函数在区间[1,4]上恒大于0,
所以
������(1) ������(4)
> >
0, 0,
即
������-2 + (������-2)2 > 0, 4(������-2) + (������-2)2 > 0,
解得x<-2或x>2,故选D.
第一部分
一、函数与方程思想
一、函数与方程思想
数学思想•聚焦诠释 高频考点•探究突破
突破点二
突破点三
突破点四
核心归纳•预测演练
-8-
规律方法利用函数思想解决方程解的问题时,可根据方程的结构 特征通过分离参数,转化为a=f(x)的形式,则实数a的取值范围就是 函数f(x)的值域.然后根据函数解析式的结构特征,选用适当的方法 求解函数的值域即可.
立的实数x的取值范围为( D )
A.(-∞,-2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1-f'(x),f(0)=0,f'(x)是f(x)的
导函数,则关于x的不等式exf(x)>ex-1的解集是( C )
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
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解析:由方程可得a=cos 2x+2sin x.
令f(x)=cos 2x+2sin x(x∈(0,π)).
因为关于x的方程cos 2x=a-2sin x在区间(0,π)内有解,所以实数a
的取值范围就是函数f(x)=cos 2x+2sin x(x∈(0,π))的值域.
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(1)解:当 n=1 时,a1=S1=
������ 1 +1 2
2
,解得 a1=1.
因为 an>0,
所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=
������������ +1 2
π 4
,π
的值域.
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(方法一)∵函数f(x)=cos2x+2sin x=1-sin2x+2sin x=2-(sin x-1)2,
又 x∈
π 4
,π
,∴0≤sin
x≤1,
当sin x=1时,函数f(x)有最大值2.
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即时巩固2(2019山西太原一模)已知定义在(0,+∞)内的函数f(x)满
足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-x>0的解集是( A )
A.(-∞,ln 2) B.(ln 2,+∞)
C.(0,e2)
D.(e2,+∞)
解析:令 g(x)=������(������������),g'(x)=������������'(������������)2-������(������)<0,
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函数与方程思想在不等式中的应用
【例2】(1)已知函数f(x)=log2x,当x∈[2,16]时,函数f(x)的值域为A, 则对集合A内的任意实数m,使关于x的不等式x2+mx+4>2m+4x恒成
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解析:(1)因为x∈[2,16],
所以f(x)=log2x∈[1,4],即A=[1,4]. 因为关于x的不等式x2+mx+4>2m+4x对任意的m∈[1,4]恒成立,
所以m(x-2)+(x-2)2>0对任意的m∈[1,4]恒成立.
C.(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
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分析推理(1)首先根据对数函数的单调性确定集合A,然后以m为 变量构造与不等式对应的函数,根据函数的图象和性质确定参数所 满足的条件;(2)已知可化为f'(x)+f(x)>1,根据导数运算法则,需要构 造exf(x)型的函数,根据所解不等式,故可直接构造函数exf(x)-ex+1,即 可根据已知判断函数的单调性,然后求解不等式.
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(2)关于x的不等式exf(x)>ex-1可化为exf(x)-ex+1>0. 设g(x)=exf(x)-ex+1,则不等式即为g(x)>0. g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]. 由已知f(x)>1-f'(x),可知f(x)+f'(x)-1>0, 所以g'(x)>0,所以函数g(x)是R上的增函数. 又f(0)=0,所以g(0)=e0f(0)-e0+1=0, 则不等式g(x)>0=g(0)的解集为(0,+∞).故选C.
规律方法函数与不等式可以相互转化,把不等式问题转化为函数 问题,从而借助函数的图象和性质解决相关的问题.涉及不等式恒 成立问题、有解以及比较大小等问题,一般可根据不等式的结构特 征,利用函数思想构造新函数或函数关系式,利用函数的值域或单 调性求解.
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(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sin x,
设t=sin x,又x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],即t∈(0,1].
则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t∈(0,1]).
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高考命题聚焦 素养思想诠释
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2.函数与方程思想在解题中的应用 (1)与数列有关的基本量的运算,常采用方程思想解决;与数列有 关的最值问题,常先建立有关变量的函数,再用函数的观点给予解 决. (2)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用 列方程或建立函数表达式的方法加以解决. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这 都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
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即时巩固 1 已知关于 x 的方程 cos2x=m-2sin x 在区间 π ,π 上有解,
4
则实数 m 的取值范围是( A )
A.[1,2] C.[-∞,2]
B.
1,
1 2
+
2
当sin x=0时,函数f(x)有最小值2-1=1.
故函数f(x)的值域为[1,2],即实数m的取值范围为[1,2].故选A.
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(方法二)∵函数f(x)=cos2x+2sin x=1-sin2x+2sin x,
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利用函数思想解决与方程有关的问题
【例1】若关于x的方程cos 2x=a-2sin x在区间(0,π)内有解,则实
数a的取值范围为( D )
A.
-1,
1 2
B.(2,2 2)
C.
2 2
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函数与方程思想在数列中的应用
【例3】已知数列{an}的各项为正数,其前n项和Sn满足
Sn=
������������ +1 2
2
.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设
bn=(������������
4 +1)(������������
+1
+1),求数列
������������
D.[-2,2]
解析:由方程分离参数得m=cos2x+2sin x.
令 f(x)=cos2x+2sin x ������∈ π ,π .
4
由题意知关于 x 的方程 cos2x=m-2sin x 在区间 π ,π 上有解,则实数
4
m 的取值范围就是函数 f(x)=cos2x+2sin x
������∈
(方法一)因为 f(x)=1-2sin2x+2sin x=-2 sin x-12 2+32,
又 x∈(0,π),所以 sin x∈(0,1],sin x-12 ∈
-
1 2
,
1 2
,
Hale Waihona Puke 所以sin������- 1
2
∈
0, 1 ,
2
4
故 f(x)∈
1,
3 2
,即实数
a
的取值范围为
1,
3 2
.故选
D.
突破点一
,2
D.
1,
3 2
分析推理首先根据已知方程可分离出参数a,便可将方程在指定 区间内有解转化为对应函数在该区间内的值域问题,进而根据函数
解析式的结构特征,将其转化为关于sin x的一个二次型函数值域问 题,可以直接求解,也可以利用换元法转化为二次函数的值域问题
求解.
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高考命题聚焦 素养思想诠释
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函数与方程思想是思想方法中的命题重点,主要体现在有关函数、 三角函数、数列、不等式、解析几何等题目中.考试时,经常在客 观题中考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深 的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角 度深入考查.
令 t=sin x,又 x∈
π 4
,π
,
∴0≤sin x≤1,即t∈[0,1].
故y=1-t2+2t(t∈[0,1]).
如图,作出函数y=1-t2+2t的图象.
由图知函数图象与y轴交于点A(0,1),
与直线t=1的交点为B(1,2).
则该函数在区间[0,1]上的值域为[1,2].
故实数m的取值范围为[1,2],故选A.
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高考命题聚焦 素养思想诠释
1.函数与方程思想的含义 (1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关 系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数 的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想 方法. (2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或 方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质 去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法. (3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的 值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象.
由图可知函数图象与y轴交于点A(0,1);
与直线t=1交于点C(1,1),
对称轴为直线 t=1,顶点坐标为 B 1 , 3 .
2
22
故函数 y=-2t2+2t+1(t∈(0,1])的值域为 1, 3 ,
2
即实数 a 的取值范围为 1, 3 .
2
突破点一
第一部分
的前 n 项和 Tn.
(3)在(2)的条件下,证明:1+ln Tn<Tn.
分析推理(1)首先根据Sn与an的关系将已知转化为an与an-1的关系, 进而确定数列的性质,求其通项;(2)根据第(1)问的结果,写出bn的表 达式,然后利用裂项相消法求和即可;(3)先确定Tn的取值范围,再将 Tn看作一个变量,构造函数f(x)=1-x+ln x,则可利用函数知识证明 f(x)<0即可.
所以 g(x)是减函数,且 g(2)=������(2)=1.
2
所以
f(ex)-x>0
等价为������(e������ )
������
>
������(22),
即g(ex)>g(2),故ex<2,解得x<ln 2.故f(ex)-x>0的解集为(-∞,ln 2).故
选A.
第一部分
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2
−
������������ -1+1
2
,
2