2020年上海中学高一数学文下学期期末试卷含解析
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2020年上海中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,,,若为实数,,则()
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
利用向量加法、减法的坐标表示得出的坐标,根据向量平行坐标交叉相乘且相等计算即可。
【详解】,,由向量平行的坐标计算公式可知:,解得。
【点睛】本题考查了向量坐标的基本运算和向量平行的坐标关系,属于基础题。
2. 已知,则的大小关系是()
A.B. C.D.
参考答案:
B
3. 圆锥的表面积是底面积的倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()
A.B.C.D.
参考答案:
4. (5分)函数f(x)=2x+log3x﹣1的零点在下列区间内的是()
A.(0,)B.(,)C.(,)D.(,1)
参考答案:
C
考点:函数零点的判定定理.
专题:计算题;函数的性质及应用.
分析:函数f(x)=2x+log3x﹣1在定义域上连续,且为增函数;从而由函数的零点的判定定理求解.
解答:解:函数f(x)=2x+log3x﹣1在定义域上连续,且为增函数;
f()=1+log3﹣1<0,
f()=+log3﹣1
=﹣log34>0;
故函数f(x)=2x+log3x﹣1的零点在(,)上,
故选C.
点评:本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
5. (文科做)在数列中,,,则的值为
A.B.C.D.
参考答案:
略
6. 已知集合M=,N=,给出下列四个对应关系:①,②,
③,④,其中能构成从M到N的函数是()
A.①B.②C.③D.④参考答案:
D
7. 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若,则△ABC一定是()
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
参考答案:
C
【分析】
由,再根据余弦定理可得,即可得出是等边三角形.
【详解】解: 在中,
化简得:
,则
,△ABC是等边三角形.
故选C.
【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理是解此类题目的关键.
8. 已知,,,那么()
(A)(B)(C)(D)
参考答案:
C
略
9. (5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的部分图象,如图所示,则φ=()
A.B.C.D.
参考答案:
B
考点:正弦函数的图象.
专题:计算题;三角函数的图像与性质.
分析:由题意1=sin(2×+φ),可解得:φ+=2k,k∈Z,根据0<φ<π,即可解得φ的值.
解答:∵由图象可知,点(,1)在函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上,
∴1=sin(2×+φ),
∴可解得:φ+=2k,k∈Z,
∵0<φ<π,
∴φ=,
故选:B.
点评:本题主要考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.
10. 关于函数,有下列说法:
①它的极大值点为-3,极小值点为3;②它的单调递减区间为[-2,2];
③方程有且仅有3个实根时,a的取值范围是(18,54). 其中正确的说法有()个
A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案:
C
函数,∴,
令,解得;
当x<﹣3或x>3时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
﹣3<x<3时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
∴f(x)的极大值点为﹣3,极小值点为3,∴①正确;
f(x)的单调递减区间为[﹣3,3],∴②错误;
f(x)的极大值是,
极小值是,
画出f(x)的图象如图所示,
∴方程f(x)=a有且仅有3个实根时,
a的取值范围是(18,54),③正确.
综上,其中正确的说法是①③,共2个.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数a、b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是.
参考答案:6
【考点】基本不等式.
【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案.
【解答】解:∵a+b=2
∴3a+3b≥2=2=6
当且仅当a=b=1时等号成立
故答案为:6
【点评】本题主要考查基本不等式的应用,应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”,为要满足的条件.
12. 已知函数,若,则实数a
的取值范围为。
参考答案:
(-∞,-2)∪(3,+∞)
13. 函数的最小正周期为。
参考答案:
π
14. 如图是一个柱体的三视图,它的体积等于底面积乘以高,该柱体的体积等于 .
参考答案:
3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱,求出底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱, 其底面面积S==
,
高h=3,
故该柱体的体积V=Sh=3, 故答案为:3
15. 已知正四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为
,则此球的体积为
.
参考答案:
36π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】利用勾股定理求出正四棱锥的高PM ,再用射影定理求出球的半径,代入面积公式计算即可.
【解答】解:如图所示,
设球的半径为r ,正方形的ABCD 的对角线的交点为M ,
则球心在直线PM 上, MC=AC=2
,
由勾股定理得PM==
=4,
再由射影定理得PC 2=PM×2r,
即24=4×2r, 解得r=3,
所以此球的表面积为4πr 2
=36π.
故答案为:36π.
【点评】本题考查了勾股定理、射影定理的应用以及球的表面积公式问题,是基础题目. 16. 化简
= .
参考答案:
【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】根据向量的线性运算的性质判断即可. 【解答】解: =
+
+
=
+
=
,
故答案为:
.
17. 已知是与4的等差中项,则的最小值为____.
参考答案:
8 【分析】
根据等差数列的性质得到,原式可化为进而得到
结果.
【详解】是与的等差中项,故得到
等号成立的条件是
故答案为:8.
【点睛】本题考查了二元化一元的思想,以及均值不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设的内角,,所对的边分别为,,,且,.
(1)若,求角的度数.
(2)求面积的最大值.
参考答案:
(1)30°.
(2)3.
(1)∵,,
由正弦定理,
∴,
∴.
(2)∵,
∴,
∵,∴,
∴,当且仅当时,等号成立,
,
∴的面积的最大值为.
19. 已知函数f(x)=a x﹣a+1,(a>0且a≠1)恒过定点(,2),
(Ⅰ)求实数a;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x+)﹣1,求:函数g(x)的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数F(x)=g(2x)﹣mg(x﹣1),求F(x)在[﹣1,0]的最小值h (m).
参考答案:
【考点】指数函数的图象与性质;函数解析式的求解及常用方法;指数函数综合题.
【分析】(Ⅰ)代入即可求出实数a;
(Ⅱ)代入即可求出函数g(x)的解析式;
(Ⅲ)先化简F(x),再令t=,t∈[1,2],y=t2﹣2mt=(t﹣m)2﹣m2,分类讨论即可求出最小值
【解答】解:(Ⅰ)由+1=2,解得a=,
(Ⅱ)∵g(x)=f(x+)﹣1,
∴g(x)=﹣1+1=(
(Ⅲ)∵F(x)=g(2x)﹣mg(x﹣1),
∴F(x)=﹣2m,
令t=,t∈[1,2],
∴y=t2﹣2mt=(t﹣m)2﹣m2,
①当m≤1时,y=t2﹣2mt在[1,2]单调递增,
∴t=1时,y min=1﹣2m,
②当1<m<2时,∴当t=m时,y min=﹣m2,
③①当m≥2时,y=t2﹣2mt在[1,2]单调递减,
∴t=2时,y min=4﹣4m,
综上所述h(m)=.
20. 若y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(I)求函数y=f(x)的解析式;
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象;若y=g (x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.
【分析】(I)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.
(II)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,求得θ的最小值.
【解答】解:(I)根据y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,的部分图象知,
周期,∴ω=2,且A=2.
再根据五点法作图可得ω?(﹣)+φ=0,求得φ=,∴f(x)=2sin(2x+).
把x=0,y=1代入上式求得.
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=的图象,
若y=g(x)图象的一个对称中心为,则2?+2θ+=kπ,k∈Z,即θ=﹣,故要求θ的最小值为.
21. 已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明:函数在区间上为增函数;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
(1)证明:任取,且
则……3分
∵,∴,有
即∴函数在区间上为增函数……………………………5分
(2)∵
………………8分
∴恒成立,设,显然在上为增函数,的最大值为
故的取值范围是………………………………………………10分
22. (本小题满分14分)
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且(a+b+c)(b+c a)=3bc.
(1)求角A的度数;
(2)若2b=3c,求tan C的值.
参考答案:。