福建省宁德市2019-2020学年中考二诊数学试题含解析

福建省宁德市2019-2020学年中考二诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在实数0，2-，1，5中，其中最小的实数是（ ） A ．0
B ．2-
C ．1
D ．5
2．在六张卡片上分别写有1
3，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．
16
B ．13
C ．12
D ．
56
3．二次函数y=﹣1
2
（x+2）2﹣1的图象的对称轴是（ ） A ．直线x=1
B ．直线x=﹣1
C ．直线x=2
D ．直线x=﹣2
4．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元
C ．225元
D ．259.2元
5．已知443y x x =-+-+，则
y
x
的值为()n n A ．
4
3 B ．43
-
C ．34
D ．34
-
6．如图，向四个形状不同高同为h 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V （升）与水深h （厘米）的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列各数：1.4142，﹣1
3
，0，其中是无理数的为（ ） A ．1.414
B ． 2
C ．﹣1
3
D ．0
8．已知∠BAC=45。

，一动点O 在射线AB 上运动（点O 与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的⊙O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） A ．0＜x≤1
B ．1≤x 2
C ．0＜2
D ．x 2
9．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列分式是最简分式的是（ ）
A ．223a a b
B ．23a a a -
C ．22a b a b ++
D ．222
a a
b a b --
11．如图，等腰△ABC 的底边BC 与底边上的高AD 相等，高AD 在数轴上，其中点A ，D 分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC 的长度为（ ）
A ．2
B ．4
C ．25
D ．45
12．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()2
2y x =+
B ．222y x =-
C ．222y x =--
D ．()2
22y x =-
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，tan ∠ACB=2，D 在△ABC 内部，且AD=CD ，∠ADC=90°，连接BD ，若△BCD 的面积为10，则AD 的长为_____．
14．在Rt △ABC 内有边长分别为2，x ，3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x 的值为_____．
16．|-3|=_________；
17．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM 的周长为_____．
18．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
20．（6分）计算：2sin30°﹣（π﹣2）0+|3﹣1|+（1
2
）﹣1
21．（6分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，
再分别以E，F为圆心，大于1
2
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若
∠ACD=110°，求∠CMA的度数______．
端必须各栽一棵），并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，求购买了桂花树苗多少棵？
23．（8分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．“从中
任意抽取1个球不是红球就是白球”是
事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；从中
任意抽取1个球恰好是红球的概率是；学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
24．（10分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
销售单价x（元/kg）120 130 (180)
每天销量y（kg）100 95 (70)
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m
x
的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，
－6）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；求△AOB的面积．
26．（12分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围．
27．（12分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
由正数大于一切负数，负数小于0，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可求解．
【详解】
解：∵0，-2，15-2＜0＜15，
∴其中最小的实数为-2；
故选：B．
本题考查了实数的大小比较，关键是掌握：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．
2．B
【解析】
【分析】
无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】
∵这组数中无理数有 ，共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是21
=
63
.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算. 3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式的性质解答即可. 【详解】
∵y=﹣1
2
（x+2）2﹣1是顶点式，
∴对称轴是：x=-2，
故选D.
【点睛】
本题考查二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）熟练掌握顶点式的性质是解题关键.
4．A
【解析】
【分析】
设这种商品每件进价为x元，根据题中的等量关系列方程求解.
【详解】
设这种商品每件进价为x元，则根据题意可列方程270×0.8－x＝0.2x，解得x＝180.故选A.
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 5．C
【解析】
由题意得，4−x⩾0，x−4⩾0，
解得x=4，则y=3，则y
x
=
3
4
，
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质结合题目中的条件解答即可.
【详解】
解：由题可得，水深与注水量之间成正比例关系，
∴随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，
∴水瓶的形状是圆柱，
故选：D．
【点睛】
此题重点考查学生对一次函数的性质的理解，掌握一次函数的性质是解题的关键.
7．B
【解析】
试题分析：根据无理数的定义可得是无理数．故答案选B.
考点：无理数的定义.
8．C
【解析】
如下图，设⊙O与射线AC相切于点D，连接OD，
∴∠ADO=90°，
∵∠BAC=45°，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴AD=DO=1，
∴2O与射线AC有唯一公共点点D，若⊙O再向右移动，则⊙O与射线AC就没有公共点了，
∴x的取值范围是02
<≤
x
9．B 【解析】 【分析】
根据左视图的定义,从左侧会发现两个正方形摞在一起. 【详解】
从左边看上下各一个小正方形，如图
故选B ． 10．C 【解析】 解：A ．222
33a a b ab
=，故本选项错误； B ．21
33
a a a a =--，故本选项错误；
C ．
22
a b
a b ++，不能约分，故本选项正确；
D ．222
()()()a ab a a b a
a b a b a b a b
--==-+-+，故本选项错误． 故选C ．
点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键． 11．C 【解析】 【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】
∵等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，
∴BC＝4，
∴CD＝2，
在Rt△ACD中，AC＝2222
4225
AD CD
+=+=，
故选：C．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
12．A
【解析】
y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；
y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；
y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；
y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．
1．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．52
【解析】
【分析】
作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的
长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝10
a
，AG＝CH
＝a＋10
a
，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．，AG＝CH＝a＋
10
a
，根据AM＝AG＋MG，列方程
可得结论．
【详解】
解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝2，
∴AM
CM
＝2，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC
，
S△BDC＝1
2
BC•DH＝10，
1
2
•2a•DH＝10，
DH＝10
a
，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC＋∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，∵∠ADC＝90°＝∠ADG＋∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵
90
AGD CHD
ADG CDH
AD CD
∠∠︒⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝＝
＝
＝
，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝10
a
，AG＝CH＝a＋
10
a
，
∴AM＝AG＋MG，
即2a＝a＋10
a
＋
10
a
，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝
或−
（舍），
故答案为
．
【点睛】
14．1
【解析】
解：如图．∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别2，3，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF．∵EF=x，MO=2，PN=3，∴OE=x﹣2，PF=x﹣3，∴（x﹣2）：3=2：（x﹣3），∴x=0（不符合题意，舍去），x=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边是解题的关键．
x≥
15．1
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
1
x-
∴x-1≥2，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于2．
16．1
【解析】
分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
解答：解：|-1|=1．
故答案为1．
17．1．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=90°，
∴2210
+=，
AC AB BC
∵AO=OC，
∴
1
5
2
BO AC
==，
∵AO=OC，AM=MD=4，
∴
1
3
2
OM CD
==，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=1．
故答案为:1．
【点睛】
本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．
18．3 2
【解析】【分析】
设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得BC
BA
=
BD
BC
，列出方程即可解决问题．
【详解】
∵△BCD∽△BAC，
∴BC
BA
=
BD
BC
，
设AB=x，
∴22=x，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AC=AD=4-1=3，∵△BCD∽△BAC，
∴CD
AC
=
BD
BC
＝
1
2
，
∴CD=3
2
．
故答案为3 2
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）
13
；（2）5
9.
【解析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°， 所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°， ∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为
120360︒︒＝1
3
； （2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为1
，所有可能性如下表所示：
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为
9
. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．【解析】
分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
详解：原式=2×1
2
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 21．∠CMA =35°． 【解析】 【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补得出70CAB ∠=︒，再根据AM 是CAB ∠的平分线，即可得出MAB ∠的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得出结论． 【详解】
∵AB ∥CD ，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，由作法知，AM 是CAB ∠的平分线，∴1
352
MAB CAB ∠=∠=︒． 又∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠BAM=35°． 【点睛】
本题考查了角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．
22．购买了桂花树苗1棵 【解析】
分析：首先设购买了桂花树苗x 棵，然后根据题意列出一元一次方程，从而得出答案． 详解：设购买了桂花树苗x 棵，根据题意，得：5(x+11-1)=6(x-1)， 解得x=1． 答：购买了桂花树苗1棵．
点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系以及路的长度与树的棵树之间的关系． 23．（1）必然，不可能；（2）3
5
；（3）此游戏不公平． 【解析】 【分析】
（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案； （2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案． 【详解】
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件； 故答案为必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：35
； 故答案为
35
； （3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82205
=； 则选择乙的概率为：35
， 故此游戏不公平． 【点睛】
此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
24．(1)y=﹣0.5x+160，120≤x≤180；(2)当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】
试题分析：（1）首先由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；
（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．
试题解析：（1）∵由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg，∴y与x是一次函数关系，∴y与x 的函数关系式为：y=100﹣0.5（x﹣120）=﹣0.5x+160，∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；
（2）设销售利润为w元，则w=（x﹣80）（﹣0.5x+160）=，∵a=＜0，∴当x＜200时，y随x的增大而增大，∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w==7000
（元）．
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
25．（1）y=-6
x
，y=-2x-1（2）1
【解析】
试题分析：（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
试题解析：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B 的坐标为（1，﹣6），
将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣1； （2）设AB 与x 轴相交于点C ， 令﹣2x ﹣1=0解得x=﹣2， 所以，点C 的坐标为（﹣2，0）， 所以，OC=2， S △AOB =S △AOC +S △BOC ， =
×2×3+
×2×1，
=3+1， =1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 26．（1）y=-2x+31，（2）20≤x≤1 【解析】
试题分析：（1）根据函数图象经过点（20，300）和点（30，280），利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；
（2）根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，结合草莓的成本价即可得出x 的取值范围． 试题解析：
（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，根据题意，得：
20300
30280k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得：2
340
k b =-⎧⎨
=⎩
∴y 与x 的函数解析式为y=-2x+31，
(2) ∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，且草莓的成本为每千克20元， ∴自变量x 的取值范围是20≤x≤1．
27．（1）该一次函数解析式为y=﹣x+1．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油
站的路程是10千米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案. 【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得
，解得：，
∴该一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）当y=﹣x+1=8时，
解得x=520，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.。