2010年广州市高三年级调研测试-数学(理科)

试卷类型：A
2010 年广州市高三年级调研测试
数学（理科）
2010.1
本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

参考公式：事件A 发生的条件下事件B 的概率为()
()
()
P AB P B A P A =．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，
则图中的阴影部分表示的集合为
A ．{}2
B ．{}4,6
C ．{}1,3,5
D ．{}4,6,7,8 2．函数()1f x x =-
A ．(]
[),11,-∞-+∞ B ．(],1-∞ C ．()1,1- D ．[]1,1-
3．在等差数列}{n a 中，686a a +=，则数列}{n a 的前13项之和为
A ．
239 B ．39 C ．1172
D ．78 4．命题“,x
x e x ∃∈>R ”的否定是
A ．,x
x e x ∃∈<R B ．,x
x e x ∀∈<R C ．,x
x e x ∀∈≤R D ．,x
x e x ∃∈≤R
5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是
A ．1
2
B ．22+
C ．23+
D ．6
6．设)(x f 是6
212x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭展开式的中间项，若mx x f ≤)(在区间⎥
⎦⎤⎢⎣⎡2,22 上恒成立，则实数m 的取值范围是
1
1
1
主视图
侧视图
1
1
2
A ．(),5-∞
B ．(],5-∞
C ．()5,+∞
D ．[)+∞,5
7．圆心在曲线2
(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为
A ．22(1)(2)5x y -+-=
B ．22
(2)(1)5x y -+-=
C ．2
2
(1)(2)25x y -+-= D ．2
2
(2)(1)25x y -+-=
8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234
依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足
A ．20101010a <<
B ．20101
110
a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >
二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．复数5
12i
+-（i 是虚数单位）的模等于 ． 10．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．
11．已知函数()cos 3()2f x x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭R ，给出如下结论： ①函数)(x f 的最小正周期为23π
； ②函数)(x f 是奇函数；
③函数)(x f 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称： ④函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
12．在平面区域
(){}
2
,2,0x y y x
x y ≤-+≥且内任意取一点P ，则所取的点P 恰是平面区域
(){},,2,0x y y x x y y ≤+≤≥且内的点的概率为 ．
13．在实数的原有运算法则中，定义新运算2a b a b ⊗=-，则()()113x x x x ⊗-+-⊗>的解集
为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）
如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的 边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的 大小为 ． 15．（《坐标系与参数方程》选做题）
以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y αα
α
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点
的直角坐标是 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设向量()
3,3OA =-，(cos ,sin )OB θθ=，其中02
π
θ≤≤．
（1）若13AB =，求tan θ的值； （2）求△AOB 面积的最大值． 17．（本小题满分12分）
某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．
（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；
（2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角
为6
π
？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）
已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆
22(2)4x y +-=的位置关系．
20．（本小题满分14分）
已知a ∈R ，函数()()2
f x x
x a =-．
（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫
⎪⎝
⎭
内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
有两个不相等的实数解，求实数m 的取 值范围．
21．（本小题满分14分）
设n S 为数列}{
n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >． （1）求证：数列}{
n a 是等比数列；
（2）设数列}{
n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *
)，求数
列{}n b 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}
2
n
b 的前n 项和8918
n T <
． A
B
C E
1
A 1
B
1
C 1
D D。