诱导公式及典型例题

α
α
+ 180x y
P(x,y)
P′(-x ，-y)
M
M′
O
(4-5-1)
三角函数诱导公式及典型例题
【知识梳理】
1.公式(一)
α
παsin )sin(=∙+2k
απαcos )cos(=∙+2k
απαtan )tan(=∙+2k （其中Z ∈k ）
2．公式（二）:αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）
推导：在单位圆中画出α角与－α角，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)，观察出角的终边关于x 轴对称，结合三角函数定义可得到公式。

3.公式(三)
[]απαcos 2(cos -=++1)k []απαsin 2(sin -=++1)k
[]απαtan 2(tan =++1)k
注：⎩⎨
⎧-=+为偶数
，为奇数
，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数
，ααααπαcos cos )cos(n
απαtan )tan(=+n 【典型例题】
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 4
5π
例2．求下列各式的值： （1）sin(－3
4π
)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)
例3．化简 )
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα
例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）2
3
(B) 21 (C)－23 (D)±2
3
求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ） （A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 公式（四）
απ
αsin )2
cos(-=+
απ
αcos )2
sin(=+ απ
αsin )2
cos(=+- απ
αcos )2
sin(=+
-
απ
αcot )2
tan(-=+
απ
αtan )2
cot(-=+ απ
αcot )2
tan(=+
- απ
αtan )2
cot(=+
-
例5、求证： )
2
cos()5cos()
2sin()4sin()
cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=
+-+---+k k k
例6 的值。

求)4
(cos )4(cos 22α+π
+α-π
例7 )2sin(,1)sin(3
1
sin β+α=β+α=β求，已知解：
例8 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=
【能力拓展】
例1．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛-310π－sin
1011π
1、求值：sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º
例2．化简：
)()
2cos()2sin(]
)12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-⋅+++⋅αππαπαπα
同步训练：化简：
)
sin()5cos()
4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+
例3、已知 )3
2t a n ()0()3c o s (326
αππαπαπ
-≠=+<
<，求，m m 的值．
同步训练：已知παπ
απ22
321)cos(<<-=+，
．求：)2sin(απ-的值．。