函数不定式极限的洛必达法则

函数不定式极限的洛必达法则
需要熟记的几个重要极限：
需要知道的极限四则运算法则：
设则
（1）
（2）
（3）
（4）
注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。

另外，它对数列极限也实用。

需要知道的定理:
1.若函数在点连续，
2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。

用极限来表述就是如下：
注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有
上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，
这些类型的极限也都成立。

比方说：
3.若函数函数当时的极限存在，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.
注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。

比方说：，那么
目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。

当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限
存在（或无穷大）称为不定式极限
对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。

下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。

一、洛必达法则
1．“”型不定式
当，时极限称为“” 型不定式
定理1.若(1，；
(2与在点的附近（点可除外）可导，且；
(3存在(或无穷大
则=
注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，
，，这些类型的极限也都成立。

例1. 求
解：由洛必达法则知
原式=
例2. 求
解：原式=
例3. 求
解：原式=
例4. 求
解：原式 ===．
例5. 求
解：原式=
例6. 求
解:原式==1
2．“”型不定式
当，时极限称为“” 型不定式
(1，；
(2与在点的附近可导，且；
(3存在（若无穷大），
则＝
注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。

例7．求
解：原式＝
＝
＝
＝１
例8．求
解：原式＝＝０
例9．求（为正整数）
解：原式＝
＝＝…＝
＝＝0
3．其它型不定式
除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。

例10．求
分析：这是一个型的不定式极限，利用恒等变形，就可将它转化为型的不定式极限，然后根据洛比达法则求之即可。

解：原式＝
例11．求
解：这是未定型，作恒等变形，通过“通分”将
转化为未定型．
原式====
例12.求
解：这是型不定式极限，作恒等变形，其指数部分的极限是不定式极限，可先求得，
从而，再根据的连续性知，
例13.求
解：这是型不定式极限，恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得，
，
然后，再根据的连续性知，
.
例13.求
解：这是型不定式极限，恒等变形
，其指数部分的极限
是型不定式极限，可先求得，
这里
然后，再根据的连续性知，
二、练习：
1.求
2.求
3.求
4.求.
5.求
6.求.
7.求 (n为正整数, 8.求
9.求10.求.
1.求
2.求
3.求
4.求
三、小结；
(1使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
(2如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；
(3当不存在(不包括的情况时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限．
练习解答
型
例1（E01）求
解原式
例2（E02）求
解原式
例3（E03）求
解
例4（E04）求.
解
注: 若求为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得
.
型
例5（E05）求
解
例6（E06）求.
解原式
例7（E07）求 (n为正整数,
解反复应用洛必达法则次，得
原式
注：对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.
注: 对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大, 但它们增大的速度很不一样, 幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.
洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.
例8 求
解注意到则有
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.
例9（E08）求
解当时,
故
例10（E09）求.
解所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为
此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:。