湘教版八年级数学上册2.三角形的内角与外角课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∠DCE是不是△ABC的一个外角？ A
∠BCE是△ABC的一个外
角，∠DCE不是△ABC
B
CD
的一个外角.
E 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点
处有多少个外角？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
在三角形的每个顶点处都有两个外角.
新知探究
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
新知探究
例：如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和 ∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_6_6__.5__°
解析：∵∠B=47°，
∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°，
∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，
又 AE和CE是角平分线，
B
∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
B
G 2 1 F
E ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
D C
从而有
3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
新知探究
为了证明三角形的内角和为180°,转化为 一个平角或同旁内角互补,这种转化思想 是数学中的常用方法.
∠ A=60°（已知），
∴ ∠ ADE=180°-60°-70= 50°.
A E C
新知探究
问题：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形ABC可以写成Rt△ABC； 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
E
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外 角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
新知探究
解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
1.下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（2）60°， 40°， 90°
（ 不是）
（3）30°， 60°， 50°
（ 不是）
2.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °则∠ C= 102 °.
3.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4. 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° .
新知探究
4.已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求证： ∠ADE=50°
证明： ∵ DE ∥ BC （已知），
∴ ∠ AED= ∠ C（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠ C=70°（已知），
D
∴ ∠ AED= 70° （等量代换）. B
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=180°（三角形的内角和定理），
A
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
E
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
C ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， B
∴ ∠BFC=88°.
新知探究
例： 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
A
锐角三角形
直 角 边 直角边
B 直角三角形
C 钝角三角形
新知探究
三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角 形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角.
新知探究
问题1 如图，延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？
新课导入
测量法
60°
锐角三角形
48°
72°
60°＋48°＋72°＝180°
新知探究 拼图法
可裁下它的三个角，拼在一起构成平角180°.
三角形的三个内角和等于180°.
新知探究
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC. 说明：∠A+∠B+∠C=180°.
方法1：过点A作l∥BC，
八年级数学湘教版·上册
第2章 三角形
2.1.3三角形的内角与外角
授课人：X
学习目标
1.三角形外角、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念；(重点) 2.三角形的内角和的性质．(难点)
新课导入
提出问题
在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形 的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？ 上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.
因为∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠我B觉+得∠可AC以B利=用18“0°三，角形
所以∠A的CD内-角∠和A 等-∠于B1=800°（” 的等结量减等量， 差相等）.
于是∠A论CD. =∠A +∠B.
B
由此得到:
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和.
A CD
新知探究
三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
∴∠ACD＞∠A ∠ACD＞ ∠B
三角形的一个外角大于任
何一个与它不相邻的内角.
B
A
C
D
新知探究
三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不 相邻的内角.
新知探究
例： 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC 的度数.
课堂小测
2.填空： （1）在△ABC中，∠A=60° ,∠B=∠C,则∠B= 60°. （2）在△ABC中， ∠A-∠B=50° , ∠C-∠B=40° ,则∠B= 30° .
课堂小测
3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
1 2
B
CD
在这里，为了证明的需要，在本来的图形上添画的线叫作辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
新知探究
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°， 求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °，
∴∠B=∠1， ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°.
l 12
新知探究
方法2：延长BC到点D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
A
E
(两直线平行，同位角相等)
∴∠E=180°–113.5°=66.5°.
D A
E
C F
课堂小结
三角形的内角与外角
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.
三角形外角的性质：三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和.
课堂小测
1.判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ × ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ √ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和.（ × ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ √ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角.（× ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ √ ）
解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
A
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 2
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
B
D
C
∠C=180º-40º-70º=70°.
课堂小测
4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A 解：∵∠1是△FBE的外角,
每一个三角形都有
A
6个外角．
每一个顶点相对应
的外角都有2个，且这
2个角为对顶角.
B
C
新知探究
三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点 ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 每一个三角形都有6个外角．
新知探究
在图中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
∠BCE是△ABC的一个外
角，∠DCE不是△ABC
B
CD
的一个外角.
E 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点
处有多少个外角？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
在三角形的每个顶点处都有两个外角.
新知探究
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
新知探究
例：如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和 ∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_6_6__.5__°
解析：∵∠B=47°，
∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°，
∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，
又 AE和CE是角平分线，
B
∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
B
G 2 1 F
E ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
D C
从而有
3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
新知探究
为了证明三角形的内角和为180°,转化为 一个平角或同旁内角互补,这种转化思想 是数学中的常用方法.
∠ A=60°（已知），
∴ ∠ ADE=180°-60°-70= 50°.
A E C
新知探究
问题：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形ABC可以写成Rt△ABC； 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
E
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外 角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
新知探究
解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
1.下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（2）60°， 40°， 90°
（ 不是）
（3）30°， 60°， 50°
（ 不是）
2.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °则∠ C= 102 °.
3.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4. 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° .
新知探究
4.已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求证： ∠ADE=50°
证明： ∵ DE ∥ BC （已知），
∴ ∠ AED= ∠ C（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠ C=70°（已知），
D
∴ ∠ AED= 70° （等量代换）. B
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=180°（三角形的内角和定理），
A
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
E
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
C ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， B
∴ ∠BFC=88°.
新知探究
例： 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
A
锐角三角形
直 角 边 直角边
B 直角三角形
C 钝角三角形
新知探究
三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角 形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角.
新知探究
问题1 如图，延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？
新课导入
测量法
60°
锐角三角形
48°
72°
60°＋48°＋72°＝180°
新知探究 拼图法
可裁下它的三个角，拼在一起构成平角180°.
三角形的三个内角和等于180°.
新知探究
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC. 说明：∠A+∠B+∠C=180°.
方法1：过点A作l∥BC，
八年级数学湘教版·上册
第2章 三角形
2.1.3三角形的内角与外角
授课人：X
学习目标
1.三角形外角、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念；(重点) 2.三角形的内角和的性质．(难点)
新课导入
提出问题
在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形 的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？ 上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.
因为∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠我B觉+得∠可AC以B利=用18“0°三，角形
所以∠A的CD内-角∠和A 等-∠于B1=800°（” 的等结量减等量， 差相等）.
于是∠A论CD. =∠A +∠B.
B
由此得到:
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和.
A CD
新知探究
三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
∴∠ACD＞∠A ∠ACD＞ ∠B
三角形的一个外角大于任
何一个与它不相邻的内角.
B
A
C
D
新知探究
三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不 相邻的内角.
新知探究
例： 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC 的度数.
课堂小测
2.填空： （1）在△ABC中，∠A=60° ,∠B=∠C,则∠B= 60°. （2）在△ABC中， ∠A-∠B=50° , ∠C-∠B=40° ,则∠B= 30° .
课堂小测
3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
1 2
B
CD
在这里，为了证明的需要，在本来的图形上添画的线叫作辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
新知探究
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°， 求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °，
∴∠B=∠1， ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°.
l 12
新知探究
方法2：延长BC到点D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
A
E
(两直线平行，同位角相等)
∴∠E=180°–113.5°=66.5°.
D A
E
C F
课堂小结
三角形的内角与外角
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.
三角形外角的性质：三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和.
课堂小测
1.判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ × ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ √ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和.（ × ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ √ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角.（× ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ √ ）
解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
A
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 2
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
B
D
C
∠C=180º-40º-70º=70°.
课堂小测
4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A 解：∵∠1是△FBE的外角,
每一个三角形都有
A
6个外角．
每一个顶点相对应
的外角都有2个，且这
2个角为对顶角.
B
C
新知探究
三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点 ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 每一个三角形都有6个外角．
新知探究
在图中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？