2018届高考数学文一轮总复习检测：第一章 第三节 简单

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【最新考纲】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”、“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
2.
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．
(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()
(2)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()
(3)“长方形的对角线相等”是全称命题．()
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．(2015·湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.
答案：A
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：依题意得綈p：甲没有降落在指定范围，綈q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
答案：A
4．下列命题中假命题是()
A．∀x∈R，2x－1＞0
B．∃x0∈R，－(x0－1)2≥0
C．∀x∈(1，＋∞)，log 2x＞0
D．∃x0∈R，cos x0＞x20＋2x0＋2
解析：根据函数的性质可知A、C正确，对于B，当x0＝1时，－(x0－1)2≥0成立，故B正确，对于D，x20＋2x0＋2＝(x0＋1)2＋1≥1，故D错．
答案：D
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，
Δ＝a 2
＋8a ≤0，
得－8≤a ＜0. 综上，－8≤a ≤0. 答案：[－8，0]
一种关系
逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
一种区别
正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p 的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
两类否定
1．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，綈p ：∃x 0∈M ，綈p(x 0)．
(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p ：∃x 0∈M ，p(x 0)，綈p ：∀x ∈M ，綈p(x)．
2．由逻辑联结词构成的新命题的否定
(1)綈(p ∧q)⇔(綈p)∨(綈q)；(2)綈(p ∨q)⇔(綈p)∧(綈p)．
一、选择题
1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数
y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2
对称．则下列判断正确的是( )
A ．p 为真
B ．綈p 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∧q 为真
解析：p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 答案：C
2．(2017·北京朝阳区高三一模)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧
比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A ．p ∨q
B ．p ∨(綈q)
C ．(綈p)∧(綈q)
D ．(綈p)∨(綈q)
解析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p ∧q ，而p ∧q 的否定是(綈p)∨(綈q)．
答案：D
3．(2015·浙江卷)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )
A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n
B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n
C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0
D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0
解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
答案：D
4．(2017·山西忻州四校第三次联考)已知命题p ：∃x ∈R ，2x ＞
3x
；命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π2，tan x ＞sin x ，则下列是真命题的是( )
A ．(綈p )∧q
B ．(綈p )∨(綈q )
C ．p ∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：当x ＝－1时，2－1
＞3－1
，所以p 为真命题；当x ∈⎝
⎛⎭⎪
⎫
0，π2
时，tan x －sin x ＝sin x （1－cos x ）
cos x
＞0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈
q )是真命题．
答案：D
5．下列命题中是假命题的是( )
A ．∀x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，
π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0
解析：对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪
⎫
0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x
＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π
4)≤2＜2
知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．
答案：B
6．(2014·湖南卷)已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解析：先判断命题p ，q 的真假，再根据真值表求解． 当x ＞y 时，－x ＜－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题．
当x ＞y 时，x 2＞y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．
由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q 为假命题．
答案：C
二、填空题
7．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．
答案：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π2，tan x ≤sin x
8．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R)，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：
①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．
其中正确的是____________(填正确命题的序号)
解析：命题p 、q 均为真命题，则綈p 、綈q 为假命题．从而结论①②③④均正确．
答案：①②③④
9．若命题“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：因为“∃x 0∈R ，2x 2
0－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x
∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.
答案：[－22，22] 三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀T ＝2k π，k ∈Z ，sin(x ＋T )＝sin x ； (2)若直线l ⊥平面α，则对任意l ′⊂α，l ⊥l ′； (3)若a n ＝－2n ＋10，则∃n ∈N *，使S n ＜0.
解：(1)原命题的否定为：∃T ＝2k π，k ∈Z ，sin(x ＋T )≠sin x ，假命题．
(2)原命题的否定为：若直线l ⊥平面α，则存在l ′⊂α，l 与l ′不垂直，假命题．
(3)若a n ＝－2n ＋10，则对∀n ∈N *，S n ≥0，假命题． 11．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0
∈R ，使x 2
0＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，试求实
数a 的取值范围．
解：要使p 成立，由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p 且q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即
⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1. 故实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ＝1}．。