2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D题赛程安排参考答案

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）
D 题 赛程安排 参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

1) 多种方法 (甚至凑的方法) 都能给出一个达到要求的赛程, 如表1.
2) 当n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . 证明如下:
1. 设n 为奇数, n = 2k + 1. 共比赛 N = k (2k + 1)场. 考察前k + 1场, 有2k +2个队参赛, 于是至少有1个队两次参赛, 这个队在这两场比赛间相隔场次数r 不超过⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-=--+23111)1(n k k . 2. 设n 为偶数, n = 2k . 共比赛 N = k (2k - 1)场. 同上, 在前k + 1场中至少有1个队(记这样的一个队为A)两次参赛, 记A 第j 场比赛在赛程中是第a j 场, 于是1,121+≤≥k a a .
若12+<k a , 则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k a a r ; 若12+=k a , 但11>a , 同样有⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k a a r ; 若1,121+==k a a , 在前k + 1场中除A 外有2k 个队参赛, 于是至少又有1个队(记这样的一个队为B)两次参赛, 记B 第j 场比赛在赛程中是第b j 场, 则必有1,121+<≥k b b , 或1,121+≤>k b b (即不可能1,121+==k b b ), 故
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k b b r . 3) n =8, 相隔场次数的上限为r =2. 记8支球队为1,2, ⋯8, 共28场比赛. 一种编制赛 程的办法是将赛程分为7轮, 每轮4场, 各队在每轮中相遇, 具体如下:
1. 构造⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=864275311M 为第1轮, 即第1场1对2, 第2场3对4, ⋯, 第4场7对8. 2. 构造⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=642387512M 为第2轮, 方法是: M 1的1不动, 其余7个数字按逆时针转动, 换一个位置.
3. 依此构造M 3, ⋯, M 7, 将M 1, ⋯, M 7接起来, 就得到整个赛程M :
))
7
86457863578235
32132412461465742356423864281687187517531 ⎝
⎛=M
即第1场1对2, 第2场3对4, ⋯, 第28场5对7. 4. 容易得到赛程M 各队每两场比赛中间相隔的场次数及其总数, 如表2.
n =9, 相隔场次数的上限为r =3. 记9支球队为1,2, ⋯9, 共36场比赛. 一种编制赛 程的办法是
1. 画一4⨯9的表格, 如表3. 第i 行第j 列的格子记作(i ,j ), 在每格左侧先按行依次
填1, 3, 5, 7 ( 第1行1个1, 第2行3个3, ⋯, 第4行7个7), 后按行依次填8, 6, 4, 2 , 构成每场比赛的第1支队.
表3.
2. (1,6)
至(4,9)填1, 使1 的总数(包括格子左侧的)为8, 自(3,4)至(4,5), 跳过一列再自(1,7)至(3,9)填3, 使3 的总数(包括格子左侧的)为8, ⋯.
表4
3. 在格的右侧沿各对角线填2, 4, 6, 方法与上类似. 最后在未满的8个格中填9,
得到表5. 按照表5先列后行的顺序排列得到赛程M *
, 即第1场1对9, 第2场3对2, ⋯, 第36场2对1.
4. 如表6. 以上方法可以推广用于n 为奇数的情况.
4) 除每两场比赛间相隔场次数外, 还可给出以下指标:
1. 平均相隔场次数.
记第i 队第j 个间隔场次数为c ij , i=1,2, ⋯.,n , j =1,2, ⋯.,n -2, 则平均相隔场
次数为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1, r 是赛程整体意义下的指标, 它越大越好. 检查n =8的赛程M , 得r =3; n =9的赛程M *, 得r =220/63=3.49.
实际上, 可以得到r 的上限: ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=k n k k n k k k r 2,1
12,14222max , 上述
结果表明, 赛程M 和M *都已达到了这个上限.
2. 相隔场次的最大偏差.
定义r c f ij j i -=.max 为总体最大偏差, ∑-=--=21)2(max n j ij i r n c g 为球
队最大偏差, 它们都越小越好.
检查n =8的赛程M , 得f =1, g =1; n =9的赛程M *, 得f =0.5, g =5.5.
实际上, 可以得到f 的下限: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=k n k n k k f 2,1
12,14222min , 以及n=2k
时g 的下限: 1min =g .
结果表明, 赛程M 达到了f 和 g 下限, M *也达到了f 的下限.。