2019年精选高考数学(理科)一轮复习达标检测(三十八) 双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质

高考达标检测（三十八） 双曲线命题3角度
——用定义、求方程、研性质
一、选择题
1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2
的焦距为45，则b ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B 由题意得，b
a ＝2⇒
b ＝2a ，C 2的焦距2
c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.
2．椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的公共焦点为F 1，F 2，若P
是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )
A ．m －a
B ．m 2－a 2 C.m －a
2
D.m －a
解析：选B 由题意，不妨设P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积为( )
A.2
4 B.22 C.28
D.
216
解析：选C 双曲线C 1：2x 2
－y 2
＝1，即x 212－y 2
＝1，
所以左顶点A ⎝⎛⎭
⎫－
22，0， 渐近线方程y ＝±2x ，
过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛
⎭
⎫
x ＋
22，即y ＝2x ＋1.
解方程组⎩⎨
⎧
y ＝－2x ，
y ＝2x ＋1，
得⎩⎨⎧
x ＝－24，y ＝1
2，
所以该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积S ＝12|OA |·|y |＝12×22×12＝2
8.
4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P
是E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆在边AF 2上的切点为Q ，若|AQ |＝3，则E 的离心率为( )
A ．2 3 B. 5 C. 3
D. 2
解析：选C 如图，设△PAF 2的内切圆在边PF 2上的切点为M ，在AP 上的切点为N ，
则|PM |＝|PN |，|AQ |＝|AN |＝3，|QF 2|＝|MF 2|， 由双曲线的对称性可得，
|AF 1|＝|AF 2|＝|AQ |＋|QF 2|＝3＋|QF 2|， 由双曲线的定义可得，
|PF 1|－|PF 2|＝|PA |＋|AF 1|－|PM |－|MF 2| ＝3＋|QF 2|＋|AN |＋|NP |－|PM |－|MF 2| ＝23＝2a ，
解得a ＝3，又|F 1F 2|＝6，则c ＝3， 故离心率e ＝c
a
＝ 3.
5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线
相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )
A.52
B. 5
C. 2
D ．2
解析：选C 将x ＝c 代入双曲线方程可得|y |＝b 2
a ，
因为以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为b 2
a ，
又双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，
所以bc b 2＋a 2＝b 2
a ，化简可得a ＝
b ，
则双曲线的离心离为 2.
6．(2018·东北四校联考)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦
点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，∠F 1F 2P ＝120°，则双曲线的离心率为( )
A.
3＋1
2
B.
5＋1
2
C. 3
D. 5
解析：选A 如图，在△PF
1F 2中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，
又∠F 1F 2P ＝120°，由余弦定理可得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2－2|F 1F 2|·|PF 2|·cos 120°＝12c 2，所以|PF 1|＝23c .
由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c . 故双曲线的离心率e ＝2c 2a ＝2c 2(3－1)c ＝3＋12
.
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为
右顶点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2
|PF 1|－|OA |存在最小值为12a ，则双曲线在一、三象限
的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )
A.15
B.12
C.265
D.35
解析：选A 设|PF 1|－|OA |＝m ，则|PF 2|2|PF 1|－|OA |＝(3a ＋m )2
m ＝m ＋9a 2
m ＋6a ≥12a ，
当且仅当m ＝3a 时取等号，∴|PF 1|＝4a ， ∴4a ≥c －a ，∴5a ≥c ， ∴25a 2≥a 2＋b 2，∴b
a
≤26，
设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α， 则0＜tan α≤26，∴cos α≥1
5
，
∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为1
5.
8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线
C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝60°且OQ ―→＝5OP ―→
，则双曲线C 的离心率为( )
A ．2 B.213
C.7
2
D ．3
解析：选B 如图，因为∠PAQ ＝60°，|AP |＝|AQ |，
所以△QAP 为等边三角形． 设|AQ |＝2R ，因为OQ ―→＝5OP ―→， 所以|PQ |＝2R ，|OP |＝1
2R .
又渐近线方程为y ＝b
a x ，A (a,0),
取PQ 的中点M ，则|AM |＝|ab |
a 2＋
b 2
， 由勾股定理可得(2R )2－R 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫|ab |a 2＋b 22
，
所以(ab )2＝3R 2(a 2＋b 2)． ①
在△OQA 中，
⎝⎛⎭⎫52R 2＋(2R )2－a 22·5
2
R ·2R ＝1
2
， 所以21
4R 2＝a 2. ②
联立①②并结合c 2＝a 2＋b 2，可得c 2＝74b 2＝7
4(c 2－a 2)，
即3c 2＝7a 2，所以e ＝c
a ＝ 73＝ 213
. 二、填空题
9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2
＝1的右准线与它的两条
渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫3
2，±32.
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)，
故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝1
2×4×3＝2 3.
答案：2 3
10．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右支与
焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p
2，
由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p
2＝y 1＋y 2＋p
＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
b 2＝1，
x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，
所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2
2x .
答案：y ＝±2
2
x
11．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作双曲线渐近线
的垂线，垂足为P ，若|PF 1|2－|PF 2|2＝c 2，则双曲线的离心率e ＝__________.
解析：设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝b
a x ，F 2(c,0)到渐近线的
距离为d ＝|PF 2|＝bc
a 2＋
b 2
＝b ，cos ∠POF 2＝c 2－b 2c ＝a c ，
在△POF 1中，|PF 1|2＝|PO |2＋|OF 1|2－2|PO |·|OF 1|·cos ∠POF 1
＝a 2＋c 2－2ac ·⎝⎛⎭
⎫－a c ＝3a 2＋c 2， 则|PF 1|2－|PF 2|2＝3a 2＋c 2－b 2＝4a 2＝c 2， ∴e ＝c
a ＝2. 答案：2
12．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B
两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥3
5
|CD |，则双曲线的离心率e 的取值范
围为__________．
解析：设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(c,0)，
将x ＝c 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2
a ，
令A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2
a ，B ⎝⎛⎭
⎫c ，－b
2
a ， ∴|AB |＝2
b 2a .将x ＝
c 代入y ＝±b a x ，得y ＝±bc a ， 令C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc
a ， ∴|CD |＝2bc a .
∵|AB |≥35|CD |，∴2b 2a ≥35·2bc a ，即b ≥3
5c ，
则b 2＝c 2－a 2≥
925
c 2
， 即1625c 2≥a 2，∴e 2
＝c 2a 2≥2516，即e ≥54. 答案：⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 三、解答题
13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.
解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 2
6
＝1.
(2)双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点为F 2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝
3
3
(x －3)．
联立⎩⎨⎧
x 23－y 2
6
＝1，y ＝3
3(x －3)，
得5x 2＋6x －27＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－27
5.
所以|AB |＝
1＋13
× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635
. 14．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，
而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→
＞2，求k 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，
得⎩⎨⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，
∴k 2＜1且k 2≠1
3.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k
1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2
. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1
. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，
∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2
－1
＞0，解得13＜k 2＜3.②
由①②得1
3＜k 2＜1，
故k 的取值范围为⎝⎛
⎭⎫－1，－
33∪⎝⎛⎭
⎫33，1.
1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝2，|AD |＝1，|CD |＝2x ，其中x ∈(0,1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，则t 的最大值为( )
A. 3
B. 5 C ．2
D. 2
解析：选B 由平面几何知识可得|BD |＝|AC |＝1＋4x ， 所以e 1＝
2
1＋4x －1，e 2＝2x 1＋4x ＋1
，所以e 1e 2＝1.
因为e 1＋e 2＝e 1＋1e 1＝2
1＋4x －1＋1＋4x －12在x ∈(0,1)上单调递减，
所以e 1＋e 2>
2
1＋4－1
＋1＋4－12＝ 5.
因为对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立， 所以t ≤5，即t 的最大值为 5.
2．设A 1，A 2分别为双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在
点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )
A.⎝⎛
⎭
⎫0，62 B.⎝⎛⎭
⎫1，
62 C.
⎝⎛⎭⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭
⎫1，3
2 解析：选B 设M (x 0，y 0)，A 1(0，a )，A 2(0，－a )， 则k MA 1
＝y 0－a x 0，k MA 2
＝y 0＋a
x 0
，
∴k MA 1
·k MA 2
＝y 20－a
2
x 20
>2.(*)
又点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1上，
∴y 20＝a
2
⎝⎛⎭⎫x 20b 2＋1，代入(*)式化简得，a 2b 2＞2，∴b 2
a 2＜12
， ∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＜12，解得1＜e ＜62
.
3．已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，则|PM |＋1
2|PF |
的最小值为__________．
解析：双曲线x 29－y 2
27＝1，焦点在x 轴上，a ＝3，b ＝33，c ＝a 2＋b 2＝6.
∴双曲线的离心率e ＝c a ＝2，右准线l ：x ＝a 2c ＝3
2，
过P 作PN ⊥l 于点N ，
由双曲线的第二定义可知：|PF |
|PN |
＝e ， ∴|PF |＝e |PN |＝2|PN |, ∴|PN |＝1
2
|PF |，
因此|PM |＋1
2
|PF |＝|PM |＋|PN |，
当且仅当M ，N ，P 三点共线时，|PM |＋1
2|PF |＝|MN |时取得最小值，
∴|PM |＋12|PF |的最小值为5－32＝7
2.
答案：7
2。