高考数学总复习 5.1平面向量的概念及其线性运算课件 人教版

题，主要就是根据 相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解； 在将向量用坐标表示时，要看准向量的始点和终点坐标，也 就是要注意向量的方向，不要写错坐标．本题亦可先对向量 → → 进行坐标运算，可得AC＝DA＝(1,2)，由此求得点 C、D 的 → 坐标和CD的坐标．
→ → 由AP，AC共线的充要条件知 3 (4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得 t＝ . 4 → ∴OP＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． → → 解法二：设 P(x，y)，则OP＝(x，y)，OB＝(4,4)． → → ∵OP，OB共线，∴4x－4y＝0. ①
→ 解析： 如图以 AP 为对角线作平面四边形 AEPF， 则AP＝ → → AE＋AF. → → 2→ 又∵AP＝mAB＋ AC. 11 → 2→ → 1→ ∴AF＝ AC，又∵AN＝ NC， 11 3 → 1→ → 8 → → 3→ ∴AN＝4AC.∴AF＝11AN，∴NF＝11NA. 3 → 3→ → → 3→ ∴FP＝11AB，∴AE＝mAB＝11AB.∴m＝11.
角形法则求和时两个向量必须首尾相接．
3．实数与向量的积 (1) 定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa ，规 定： |λa| ＝ |λ||a|. 当 λ>0 时， λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa
二、平面向量的运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)法则： 三角形 法则； 平行四边形 法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． (2)法则：三角形法则． 要注意平行四边形法则和三角形法则适用的条件，运用 平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向 量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量，和向量以 两向量的起点为起点，差向量指向被减向量的终点；运用三
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标．即：如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → 有AB＝(x2－x1，y2－y1)． (3)两个向量相等的充要条件是它们的坐标相同，即：如 果 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 a＝b⇔x1＝x2 且 y1＝y2.
【活学活用】 1.
如图所示，已知点 A(4,0) ，
B(4,4) ， C(2,6) ，求 AC 和 OB 交点 P的坐标．
→ → → → 解：解法一：设OP＝tOB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－ → OA＝(4t,4t)－(4,0) ＝(4t－4,4t)， → AC＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
的一组基底．
平面向量基本定理是建立向量的坐标表示的基础，它保
证了向量与坐标是一一对应的，在应用时需注意构成基底的
两个向量是不共线的向量．
四、向量的坐标运算 1．向量的坐标表示 (1)在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj.我们把(x，y)叫做 向量 a 的 ( 直角 ) 坐标，记作 a ＝ (x ， y) ，这叫做向量 a 的坐标表
示，与a相等的向量的坐标也为(x，y)．
向量的坐标表示，实质是向量的代数表示，从而可使向
量运算代数化，将数与形紧密结合起来，使问题得以简化．
向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定， 则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线 段不唯一，这一点要特别注意． 向量的坐标表示向量的大小和方向，不表示向量的位
1．给出下列命题： → → ①向量AB与向量BA的长度相等，方向相反； → → ②AB＋BA＝0； ③a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； → → ⑤AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线．其 中不 正确的个数是( ． A．2 C．4 ) B．3 D．5
＋λb.
三、两个重要定理 1．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得b＝λa，即b∥a⇔b＝λa(a≠0)． 共线向量的概念及判定是个重点，也是一个经常考查的
知识点，在应用时要特别注意a为非零向量这一条件．
2．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数 λ1、λ2，使a＝λ1e1 ＋λ2e2. 我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量
→
6．共线向量
方向相同 或 相反 的向量叫共线向量，规定零向量与任何 向量共线． 向量共线与表示它们的有向线段共线不同．向量共线 时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直 线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．
7．相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量． 由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它 的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段 表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得 到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上．
→ → 解析：②中AB＋BA＝0，而不等于 0；③中 a 或 b 为零 向量满足 a 与 b 平行，但不能说 a 与 b 方向相同或相反，因 → → 为零向量方向是任意的； ⑤中AB与CD所在直线还可能平行， 故②③⑤错．
答案：B
→ 2．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC2 → → → → → ＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝( A．8 C．2 B．4 D．1 )
第一讲
平面向量的概念及其线性运算
考点 向量的线性 运算及几何 意义 向量共线
考纲要求
考查角度
向量的概念；向量 掌握向量的线性运 的线性运算；向量 算及几何意义 的几何意义 向量共线的含义； 理解两向量共线的 向量共线的几何表 含义及几何表示 示 了解平面向量的基 平面向量基本定 本定理及其意义； 理；平面向量的坐 掌握平面向量的坐 标运算 标运算
以平面图形为载 体考查线性运算
向量共线的几何 表示；证明三点 共线；判断平面 图形形状 基向量形式下的 定理表示；用已 知向量表示未知 向量
平面向量的 基本定理及 坐标运算
一、平面向量的概念 1．向量的定义 大小又有方向的量叫做向量． 既有
向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任
意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向 量的模可以比较大小．
1→ → 1→ → 因为AC＝3AB，DA＝－3BA，
x1＋1＝1， 所以有 y1－2＝2 x1＝0， 解得 y1＝4 －1－x2＝1， 和 2－y2＝2.
x2＝－2， 和 y2＝0.
→ 所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－ 2，－4)．
2．向量的坐标运算 (1)向量的和与差的坐标表示： 两个向量和与差的坐标分 别等于这两个向量相应坐标的和与差，即：若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a± b＝(x1± x2，y1± y2)． (2)实数与向量积的坐标表示： 实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘以原来向量的相应坐标，即：若 a＝(x，y)， λ∈R，则 λa＝(λx，λy)．
2＝2λ 于是 k＝－λ λ＝1 ，∴ k＝－1
，∴k＝－1.
答案：－1
→ → → 5．如图|OA|＝1，|OB|＝ 3，|OC|＝2， → → → ∠AOB＝∠BOC＝30° ，用OA、OB表示OC， → 则OC＝______. → → 解析： 作OA的相反向量OA′， 过 C 作 CD∥OB 交 OA′
置，这与用坐标表示的点不同，要注意区别．相等的向量的
坐标虽然是相等的，但起点和终点的坐标可以不同．
向量的坐标与点的坐标的表示形式是不同的，向量的坐 标的表示形式是先写上向量的名称，再写上等号，然后写上 它的坐标，如a＝(x，y)；而点的坐标的表示形式中，点的名
称和它的坐标之间不能写等号，如A(x，y)．
【题后总结】用已知向量来表示另外的一些向量是用向 量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应 充分利用平面几何的一些定理．因此，在求向量时，要尽可
能地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从同一顶点
出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数 乘运算来求解．另外，在解题时还要注意共线关系、中点关 系、平面向量基本定理的应用.
→2 → → → → 解析：∵BC ＝16，∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4， → → → 1 → → ∴|AB＋AC|＝4.∵M 为 BC 中点，∴AM＝ (AB＋AC)， 2 → 1→ → ∴|AM|＝2|AB＋AC|＝2.
答案：C
→ 1→ 3．如图，在△ABC 中，AN＝3NC，P 是 BN 上的一点，若 → → 2→ AP＝mAB＋ AC，则实数 m 的值为( 11 9 A.11 3 C. 11 5 B.11 2 D. 11 )
2．表示方法 向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的 大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母 a， → → b，…或AB，BC，…表示．
3．模 向量的长度叫向量的模，记作|a|或| AB|. 4．零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向不 确定． 5．单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量．
1→ → 1→ → 已知点 A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝3AB，DA＝－3BA，求 → 点 C、D 的坐标和CD的坐标．
【自主解答】设点 C、D 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)， → 由题意得AC＝x1＋1，y1－2， → AB＝3，6， → DA＝－1－x2，2－y2， → BA＝－3，－6.
答案：C
→ → 4．设 a、b 是不共线的两个向量，已知AB＝2a＋kb，BC → ＝a＋b，CD＝a－2b，若 A、B、D 三点共线，则 k＝______. → → 解析：由已知，必存在实数 λ，使AB＝λBD，
→ → → 而BD＝BC＋CD＝(a＋b)＋(a－2b)， ∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b 的充要条 件是： x1y2－x2y1＝0 .
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b 的充要条件 x1 y1 不能表示成 ＝ ，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x2 y2 x1y2－x2y1＝0. 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 a＝ λb(b≠0)，这与 x1y2－x2y1＝0 在本质上是没有差异的，只是 形式上不同．
→ → → 于 D，作 CE∥OD 交 OB 于 E，则OC＝OD＋OE. 在△OCE 中，CE＝2，OE＝2 3， → → → → → ∴OD＝2OA′＝－2OA，OE＝2OB， → → → ∴OC＝－2OA＋2OB. → → 答案：－2OA＋2OB
→ 如图， OADB 是一个平行四边形， 设OA 1 1 → ＝a，OB＝b，又 BM＝3BC，CN＝3CD，试 → → → 用 a，b 表示OM，ON，MN.
→ 1→ 1→ 【自主解答】由题意可知，BM＝3BC＝6BA 1 → → 1 ＝6(OA－OB)＝6(a－b)． 1 → → → ∴OM＝OB＋BM＝b＋ a－b 6 1 5 ＝6a＋6b. → 1→ 1→ 又CN＝ CD＝ OD， 3 6
→ → → 1→ 1→ 2→ ∴ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD＝3OD 2 → → 2 ＝ (OA＋OB)＝ (a＋b)． 3 3 1 5 1 1 → → → 2 ∴MN＝ON－OM＝ (a＋b)－ a－ b＝ a－ b. 3 6 6 2 6