精品解析：福建省德化第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023年秋德化一中高一数学质检试题
一，单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.）
1. 下面关系中正确地是（ ）A. {}0=∅ B. {}
0∅⊆ C. {}(){}
0,10,1⊆
D.
(){}(){}
,,a b b a =【结果】B 【思路】
【思路】明确∅和{}0地含义,可判断A,B;说明{}0,1是数集,而(){}0,1是点集,判断C;
当在a b ¹时
(){}(){},,a b b a =不成立,判断D;
【详解】对于A, {}0是单圆素集合,圆素为0,而∅是空集,二者不相等,故A 错误。

对于B ,空集为任何一个集合子集,故{}0∅⊆正确。

对于C ,{}0,1 地圆素为0,1,而
(){}0,1地圆素为点()0,1,二者没有包含关系,故错误。

对于D, (,),(,)a b b a 当a b ¹ 表示不同地点,故(){}(){},,,a b b a 在a b ¹
时不相等,故错误,
故选：B
2. 命题“x ∃∈R ,220x x -<”地否定是（ ）A. x ∃∈R ,220x x -≥ B. x ∃∈R ,220x x ->C. x ∀∈R ,220x x -≥ D. x ∀∉R ,220
x x ->【结果】C 【思路】
【思路】依据存在量词命题地否定为全称量词命题即可得出结果.【详解】解：因为存在量词命题地否定为全称量词命题,所以命题“x ∃∈R ,220x x -<”地否定是x ∀∈R ,220x x -≥.故选：C.
3. 下面各组函数()()f x g x 与地图象相同地是（ ）
A. ()()
1,f x g x x ==
B. ()(),0
,,0
x x f x x g x x x ≥⎧==⎨
-<⎩
的
C. 0()1,()f x g x x ==
D. 22
(),()(1)f x x g x x ==+【结果】B 【思路】
【思路】依据相等函数地定义即可得出结果.
【详解】解：若函数()f x 与()g x 地图象相同则()f x 与()g x 表示同一个函数,则()f x 与()g x 地定义域和思路式相同.
A ：()f x 地定义域为{0}x x ≠,()g x 地定义域为()0+∞，
,故排除A 。

B ：0
()0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩
，，,与()g x 地定义域，思路式相同,故B 正确。

C ：()f x 定义域为R ,()g x 地定义域为{0}x x ≠,故排除C 。

D ：()f x 与()g x 思路式不相同,故排除D.故选：B 4. 函数1
()f x x
=
地单调递减区间是（ ）A. (,0),(0,)-∞+∞ B. (0,)
+∞ C. (,0)(0,)
-∞+∞ D. (,0)
-∞【结果】A 【思路】
【思路】依据反比例函数地性质得解。

【详解】解：因为1
()f x x
=
定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ,函数在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减,故函数地单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞。

故选：A
5. 已知全集U =R ,集合2{|2}A y y x ==+,集合{
}
2
90B x x =->,则阴影部分表示地集合为
A. []32-，
B. ()32-，
C. (]32-，
D. [)32-，
【结果】B 【思路】
的
的
【思路】依据Venn 图可知,阴影部分表示地集合为U B C A ⋂．求得集合A 与集合B ,即可表示出阴影部分地集合．
【详解】由图可知,阴影部分表示为U B C A
⋂因为全集U =R ,集合2
{|2}A y y x ==+,集合{
}
2
90
B x x =->所以{|2}A y y =≥,{}33
B x x =-<<则{}
{
}
33{|2}32U B C A x x y y x x ⋂=-<<⋂<=-<<即()3,2U B C A ⋂=-所以选B
【点睛】本题考查了集合交集，补集地运算,Venn 图表示地意义,属于基础题．
6. 函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减,若(1)1f =-,()11f -=,则满足()121f x -≤-≤地x 地取值范围是（ ）A. [2,2]- B. [1,1]
- C. [1,3]
D. [0,4]
【结果】C 【思路】
【思路】利用函数地单调性可得到不等式,求解即可．【详解】因为函数()f x 为(),-∞+∞上单调递减,则1(2)1f x --……可变形为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-,则121x -≤-≤,解得13x ≤≤,
所以x 地取值范围为[1,3],故选：C
7. 已知222,0()1
,0
x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
,若(0)f 是()f x 地最小值,则实数t 地取值范围为（ ）A. [1,2]- B. [1,0]
- C. [0,2]
D. [1,2]
【结果】C 【思路】
【思路】依题意,当0x ≤时得0t ≥,当0x >时得()20t f +≥,进而可解得结果.【详解】因为0x ≤时,()()2
222f x x tx t x t =-+=-,所以要使()0f 是()f x 地最小值,则0t ≥。

又当0x >时,(
)12f x x t t t x =+
+≥=+（1x =时,取等号）,所以()20t f +≥,即220t t --≤,又0t ≥,所以02t ≤≤.故选：C.
8. 若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立,则a 地最小值为（ ）A. 0
B. -
C. 2
-- D. 5
-【结果】D 【思路】
【思路】依据二次函数地性质,依据对称轴地位置分类讨论可得..【详解】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-,要使不等式()2
110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立,则：
12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2
122()1024a a a f a ⎧
<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩
或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-,即5a ≥-.故选：D
二，多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出地四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对地得5分,选对但不全地得2分,有选错地得0分．）
9. 下面叙述中正确地是（ ）A. 若A B A = ,则A B ⊆。

B. 若x A B ∈ ,则x A B ∈U 。

C. 已知,a b ∈R ,则“b a
a b
<”是“0a b <<”地必要不充分款件。

D. 命题“2,0x Z x ∀∈>”地是真命题.【结果】ABC 【思路】
【思路】依据交集，并集地定义判断A ,B ,依据充分款件，必要款件地定义判断C ,利用特例判断D 。

【详解】解：对于A ：若A B A = ,则A B ⊆,故A 正确。

对于B ：若x A B ∈ ,则x A ∈且x B ∈,所以x A B ∈U ,故B 正确。

对于C ：由b a a b <,即()()220b a b a b a b a a b ab ab
-+--==<,所以0a b >>或0a b <<或0b a >->或0b a ->>,故充分性不成立,由0a b <<可以得到
b a a b <,故“b a
a b
<”是“0a b <<”必要不充分款件,故C 正确。

对于D ：当0x =时,20x =,故D 错误。

故选：ABC
10. 命题是真命题地是（ ）
A. 方程2(3)0x a x a +-+=地有一个正实根,一个负实根,则0a <。

B. 函数()f x 地定义域是[]22-,,则函数
()1f x +地定义域为[]3,1-。

C. 一款曲线2
1y x =-和直线(R)y a a =∈地公共点个数是m ,则m 地值不可能是1。

D. 若0,0a b c >><则c c
a b
<.【结果】ABC 【思路】
【思路】A ,运用判别式大于0且两根之积小于0,即可求出a 地范围。

B ,由函数地定义域地概念,令212x -+……,求出x 地范围,即为所求函数地定义域。

C ,画出曲线2||3y x =-,直线y a =,通过观察,即可得到交点个数。

D ,依据不等式地性质即可判断.
【详解】解：对于A ,若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根,一个负实根
则2Δ(3)400a a a ⎧=-->⎨<⎩
,解得0a <,故A 对。

对于B ,函数()f x 地定义域是[2-,2],令212x -+……,则31x -……,则函数(1)f x +地定义域为[3-,1],故B 对。

对于C ,画出曲线2
1y x =-,直线y a =,
则曲线2
1y x =-和直线(R)y a a =∈地公共点个数是m ,0m =,2,3,4,则m 地值不可能是1,故C 对。

的
对于D ,若0,0a b c >><,则
11
a b <,所以c c a b
>,故D 错.故选：ABC.
11. 已知函数()f x ,()g x 地图象分别如图1,2所示,方程()()()()
1,1f g x g f x ==-,1
(())2
g g x =-地实根个数分别为,,a b c ,则（ ）
A. a b c +=
B. 2b c a
+= C. b a c
= D. b c a
+=【结果】AB 【思路】
【思路】依据图象,确定a ,b ,c 地值,代入验证即可．
【详解】由图,方程(())1f g x =,1()0g x -<<,此时对应4个解,故4a =。

方程(())1g f x =-,得()1f x =-或者()1f x =,此时有2个解,故2b =。

方程1
(())2
g g x =-
,()g x 取到4个值,如图所示：
即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<,则对应地x 地解,有6个,故6c =.依据选项,可得A ,B 成立.故选：AB ．
12. 函数()M f x 地定义域为R ,且定义如下：()2,0,M x M
f x x M ∈⎧=⎨∉⎩
,其中M 是实数集R 地非空真子集,在
实数集R 上有两个非空真子集,A B 满足A B =∅ ,则（ ）A. ()()R 2A A f x f x +=ð B. ()0
A B f x ⋃=C. ()()()A B A B f x f x f x ⋃+> D.
()()10,22A A B f x f x ⋃⎧⎫
∈⎨⎬+⎩⎭
【结果】AD 【思路】
【思路】依据题意,结合新定义依次讨论各选项即可得结果.
【详解】解：对于A 选项,对于任意地R x ∈,则一定满足x A ∈或R x A ∈ð,故()
()R 2A A f x f x +=ð一定成立,正确。

对于B 选项,实数集R 上地两个非空真子集,A B 满足A B =R 或()R A B Ü,故()2A B f x ⋃=或
()2,0,A B x A B
f x x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∉⋃⎩
,故错误。

对于C 选项,当x A B ∈U 时,则x A ∈或x B ∈,由于A B =∅ ,则()()()2A B A B f x f x f x ⋃+==,故错误。

对于D 选项,x A B ∈U 时,则x A ∈或x B ∈,故()2A B f x ⋃=,()0A f x =或2,此时
()()10,22A A B f x f x ⋃⎧⎫
∈⎨⎬+⎩⎭。

当x A B ∉U ,则x A ∉,故故()0A B f x ⋃=,()0A f x =,此时()()02A A B f x f x ⋃=+,故
()()10,22A A B f x f x ⋃⎧⎫
∈⎨⎬+
⎩⎭
,正确.
故选：AD
三，填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）
13. 不等式21
01x x -<+地解集是_______．（结果用集合或区间表示）【结果】1
(1,2
-【思路】【思路】不等式21
01
x x -<+地解集,即为不等式()()2110x x -+<地解集,依据一圆二次不等式地解法即可得解.
【详解】解：不等式
21
01
x x -<+地解集,即为不等式()()2110x x -+<地解集,
解得112x -<<,所以不等式
2101x x -<+地解集是1
(1,2-.故结果为：1
(1,)2
-.
14. 函数2
()24
x f x x +=
+-地定义域是______________．【结果】()()1,22,⋃+∞【思路】
【思路】依据偶次根式被开方数非负､分母不为零得出有关x 地不等式组,解不等式组即可得出该函数地定义域．
【详解】由题意可得10
240x x ->⎧⎨-≠⎩
,解得1x >-且2x ≠,
所以,函数()y f x =地定义域为()()1,22,⋃+∞．故结果为：()()1,22,⋃+∞．
15. 已知函数21,2
()(3),2x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩
,则()()13f f -=______,()f x 地最小值是_______
【结果】 ①. 7
②. 5
【思路】
【思路】依据函数思路式,分别求得()1f ，()3f 地函数值,再作差就可以得()()13f f -。

由题知当
2x <时,函数为周期函数,周期为3,进而结合题意讨论[)1,2x ∈-得最小值即可得当2x <时,()f x 有最
小值5,另一方面依据函数单调性得当2x ≥时,函数最小值为()25f =,进而得结果.【详解】解: 依题意()()2
144117f f ==+=,()2
33110f =+=,所以()()137f f -=,
因为当2x <时,()()3f x f x =+,即当2x <时,函数为周期函数,周期为3 当[)1,2x ∈-时,有[)32,5x +∈.
所以由()()3f x f x =+得[)1,2x ∈-与[)2,5x ∈时有相同地最小值,因为[)2,5x ∈时,()2
1f x x =+,最小值为5.
所以,当2x <时,()f x 有最小值5,
另一方面,当2x ≥时,()2
1f x x =+为单调递增函数,最小值为()25f =.
综上,()f x 地最小值是5.故结果为：7。

5.
16. 设正实数x ,y ,z 满足22220x y z ++-=,则当z xy 得到最小值时33y z
-地最大值为______．【结果】4【思路】
【思路】由已知款件可得22
2x z xy y
=++,代入z xy 化简,利用基本不等式求出该代数式地最小值并得
出等号成立地款件为x =,2
3z y =,33
y z
+-转化为有关1y 地函数,利用二次函数地性质即
可求最大值.
【详解】由2
2
220x y z +-=可得222x z xy y =+,
所以2222z x y x y xy xy xy y x =+=+
2≥==,
当且仅当
2x y y x =时即x =等号成立,z
xy
得到最小值,
此时2222223y z y y =++=,
22
21333342431y z y y y y y ⎛⎫
⎛⎫+-=-=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以当
12y =时33y z
-地最大值为4,故结果为：4.
四，解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 设全集U =R ,集合{}{}
24,3782A x x B x x x =≤<=->-（1）求()
,U A B A B ⋃⋂ð。

（2）若集合{}
20C x x a =+>,且C C =B ∪,求a 地取值范围．【结果】（1）{|2}A B x x ⋃=≥,()
{}|4U A B x x ⋂=≥ð （2）6a ≥-【思路】
【思路】（1）依据交集,并集和补集地定义即可得出结果。

（2）依据C C =B ∪,可得B C ⊆,从而可得出结果.【小问1详解】
解： {}|24,A x x =≤<{}{}
37823B x x x x x =->-=>,
∴{|2U A x x =<ð或4}x ≥,{|2}A B x x ∴⋃=≥,
(){}|4;
U
A B x x ⋂=≥ð【小问2详解】
解：{}
202a C x x a x x ⎧⎫
=+>=>-⎨⎬⎩⎭
,
B C C = ,B C ∴⊆,所以32
a -
≤,解得6a ≥-.18. 已知函数21()1x f x x -=+．（1）试判断函数()f x 在区间(1,)-+∞上地单调性,并证明。

（2）求函数()f x 在区间[2,)+∞上地值域.
【结果】（1）单调递增,证明见思路
（2）[)
1,2【思路】
【思路】（1）利用函数单调性地定义证明即可。

（2）利用函数地单调性求值域.
【小问1详解】解：函数()213213()2111
x x f x x x x +--===-+++在()1,-+∞上地为增函数,理由如下：任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,有
12121221123()3333()()221111(1)(1)
--=--+=-=++++++x x f x f x x x x x x x ∵121x x -<<,∴12120,10,10
x x x x -<+>+>∴12())0(f x f x -<即12()()
f x f x <∴函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递增
【小问2详解】
由（1）可知函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递增,
∴()(2)1f x f ≥=,又∵[2,)x ∈+∞时,301-
<+x ,∴3221-<+x ∴1()2
f x ≤<∴函数()f x 地值域为[)1,2.
19. 已知有关x 地不等式2320ax x -+>地解集为{
1x x <或}x b >．
（1）求,a b 地值。

（2）当0,0x y >>,且满足0ay bx xy +-=时,有221x y k +≥-恒成立,求k 地取值范围．
【结果】（1）1,2a b ==
（2）{|33}
k k -≤≤【思路】
【思路】（1）依据一圆二次方程与一圆二次不等式地关系,依据解集建立方程组可得。

（2）由（1）可得20y x xy +-=,然后直接使用基本不等式可得2x y +地最小值,然后可解.
【小问1详解】
由题知,1和b 是方程2320ax x -+=地两根,由韦达定理可得312
b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,解得1,2
a b ==【小问2详解】
由（1）知1,2a b ==,所以20y x xy +-=,
因为0,0x y >>,所以211222()222
y x y x xy xy ++==⨯≤⨯记2x y t +=,则280t t -≥,解得8t ≥,
当且仅当22x y x y xy =⎧⎨+=⎩,即24x y =⎧⎨=⎩
时取等号,故2x y +地最小值为8,
所以要使221x y k +≥-恒成立,则218k -≤,得33
k -≤≤所以k 地取值范围为{|33}k k -≤≤.
20. 已知函数21,0()1,0
x x f x ax bx x +<⎧=⎨++≥⎩,满足(1)(1)f f -=,且当0x >时,都有()0f x ≥．
（1）求f (x )地思路式,并画出地图象；
（2）利用图象讨论方程()0f x k -=实根情况.
【结果】（1）21,0()21,0x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩
,图象见思路 （2）结果见思路
【思路】
【思路】（1）由(1)(1)0f f =-=,得10a b ++=,又0x >时,都有()0f x ≥,则0a >,min ()(1)f x f =,可得12b a
-=,联立方程求解即可得结果。

（2）()0f x k -=等价于()f x k =,则原问题可转化为直线y k =与函数()f x 图象地交点即可求解.
【小问1详解】
解：由(1)(1)0f f =-=,得10a b ++=,
又当0x >时,都有()0f x ≥,则0a >,min ()(1)f x f =,所以12b a
-
=,所以联立方程求解得1,2a b ==-,∴21,0()21,0x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩
,函数()f x 地图象如图所示：
.
【小问2详解】
解：由函数()f x 地图象可知：
当1k >或0k <时,方程()0f x k -=有1个实根。

当1k =或0k =时,方程()0f x k -=有2个实根。

当01k <<时,方程()0f x k -=有3个实根.
21. 某市地铁项目正在如火如荼地进行中,全部通车后将给市民带来很大便利．已知地铁7号线通车后,列车地发车时长间隔(t 单位：分钟)满足220t ≤≤,经市场调研测算,地铁地载客量与发车地时长间隔t 相关,当1020t ≤≤时,地铁为满载状态,载客量为500人。

当210t ≤<时,载客量会减少,减少地人数与2(10)t -成正比,且发车时长间隔为2分钟时地载客量为372人,记地铁地载客量为()s t ．
（1）求()s t 地表达式,并求发车时长间隔为5分钟时列车地载客量。

（2）若该线路每分钟地净收益为8()265660s t Q t
-=
-(圆).问：当列车发车时长间隔为多少时,该线路每分钟地净收益最大？【结果】（1）()25002(10)2105001020t t s t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩
，，,450人 （2）间隔为4时,该线路每分钟地净收益最大为132圆
【思路】
【思路】（1）依据发车时长间隔为2分钟时地载客量为372人可求得比例系数,分段写出地铁地载客量()s t 地思路式即可。

（2）结合二次函数地性质以及对勾函数地单调性,分段求出每分钟净收益地最大值,比较可得结果
.的
【小问1详解】
当1020t ≤≤时,()500s t =,
当210t ≤<时,()2
500(10)s t k t =--,()2372s = ,
2372500(102)k ∴=-⨯-,解得2k =,
()25002(10)s t t ∴=--,
()25002(10),210500,1020t t s t t ⎧--≤<∴=⎨≤≤⎩
,()2550025450s ∴=-⨯= (人).
【小问2详解】
当1020t ≤≤时,()500s t =,
850026561344134460606074.410
Q t t ⨯-∴=-=-≤-=,可得74.4max Q =．
当210t ≤<时,()2
5002(10)s t t =--,2400016(10)2656166016260t Q t t t ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝
⎭, 函数16y t t
=+在[)2,4t ∈上为减函数,在()4,10t ∈上为增函数,∴当4t =时,132max Q =,
∴当列车发车时长间隔为4分钟时,该线路每分钟地净收益最大为132圆
22. 定义在实数集R 上地函数()f x ,假如存在函数()g x Ax B =+,(,A B 为常数),使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立,那么称()g x 为函数()f x 地一个承托函数.
（1）判断函数()1g x x =-是不是函数2()2f x x =地一个承托函数？并说明理由.
（2）若函数()()22g x a x =--是函数()()
2232f x a a x =-+地一个承托函数,求实数a 地取值范围.【结果】（1）是,理由见思路
（2）{2x x ≥或67x π⎫≤
⎬⎭
【思路】【思路】（1）依据承托函数地定义,只需判断()2
()()210f x g x x x -=--≥对一切实数x 都成立即可。

（2）由题意,()()223222a a x a x -+≥--,即()()()2
21220a a x a x --+-+≥对x R ∀∈恒成立,对a 分2a =，1a =和()()120a a --≠讨论即可求解.
【小问1详解】
解：函数()1g x x =-是函数2()2f x x =地一个承托函数,理由如下：
()2
21772120488x x x ⎛⎫--=-+≥> ⎪⎝⎭ ,∴依据承托函数地定义,可得函数()1g x x =-是函数2()2f x x =地一个承托函数。

【小问2详解】
解： 函数()()22g x a x =--是函数()()
2232f x a a x =-+地一个承托函数,∴对x R ∀∈都有()()223222a a x a x -+≥--,即对x R ∀∈都有
()()()221220a a x a x --+-+≥成立,
①当2a =时,不等式可化为20,≥恒成立；
②当1a =时,不等式可化为20,x -+≥不恒成立；
③当()()120a a --≠时,不等式恒成立须满足：
()()()()()212028120
a a a a a ⎧-->⎪⎨=----≤⎪⎩ ,627a a >≤解得或.综上,实数a 地取值范围是627x x x ⎧
⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或.。