x(2n)的离散时间傅里叶变换

x(2n)的离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（DTFT）是将一个离散序列转换为一个连续的频域信号的过程。

对于一个长度为N的离散序列x(n)，其DTFT X(ω)定义为：
X(ω) = Σn=0N-1 x(n) · e^(-jωn)
其中e^(-jωn)是一个复指数信号，表示频率ω的正弦波在n时刻的值。

对于一个偶数N的序列x(2n)，其长度为N/2，可以将其分为两个长度为N/2的子序列x_1(n) 和x_2(n)，其中：
x_1(n) = x(2n)
x_2(n) = x(2n+1)
则有：
X(ω) = Σn=0N-1 x(n) · e^(-jωn)
= Σn=0N/2-1 [x_1(n) · e^(-jω2n) + x_2(n) · e^(-jω(2n+1))]
= Σn=0N/2-1 x_1(n) · e^(-jω2n) + e^(-jω) Σn=0N/2-1
x_2(n) · e^(-jω2n)
注意到这是一个DTFT的形式，其中x_1(n)是一个偶数序列，x_2(n)是一个奇数序列。

因为偶数序列的傅里叶变换是实函数，奇数序列的傅里叶变换是虚函数，所以X(ω)可以
写成一个实部和虚部的形式：
X(ω) = Re{X_1(ω)} + e^(-jω) Im{X_2(ω)}
其中X_1(ω)和X_2(ω)分别是x_1(n)和x_2(n)的DTFT。

这个公式的物理意义是：x(2n)的频域表示是把x(n)的频域表示分成了两个部分，一
个是偶数次频率的部分，一个是奇数次频率的部分。

偶数次频率部分来源于原序列x(n)的偶数下标部分，因为e^(-jω2n)是以2为周期的，所以只有x(n)的偶数下标部分会对偶数次频率产生贡献；奇数次频率部分来源于原序列x(n)的奇数下标部分，因为
e^(-jω(2n+1))是以2为周期的，所以只有x(n)的奇数下标部分会对奇数次频率产生贡献。

这种方式分解出的偶数、奇数次频率部分的DTFT都是实函数，因为它们都是偶数、奇数序列的DTFT，它们的频谱是对称的。