高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》全集汇编含解析

【最新】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，
内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在内单调递增，则
，即
在(0)+∞，
上恒成立，令,由于
，则
， ，则
，则
，设
的最大值为N ，则必
有，则
的取值范围是
，所以p 是q 的必要不充分条件．
考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含
关系；
2．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；
②“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，001
2x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x
+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断
③的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，二次函数()()2
4f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=，
该函数为偶函数，则
4
02
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4
x k k Z π
π=+∈，
所以，tan 14
x x π
=⇒=，tan 14
x x π
=
⇐=/，
则“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
3．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
4．已知集合307x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =（ ）
A ．{}0,1,3
B ．{}3,2,1,3--
C ．{}0,1,3,7
D ．{}3,2,0,1,3--
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解,A B ，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合[)303,77x A x
x +⎧⎫=≤=-⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
{}0,1,3,7=，
所以{}0,1,3A B =I ． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
5．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}
0.5,1x
B y y x ==>，则A B =U （ ）
A ．()0.5,+∞
B ．[)0,+∞
C ．()0,0.5
D ．[)0,0.5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】
0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥
1111,0,|0222x
x B y y ⎛⎫⎧
⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭Q
1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫
∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩
⎭
故选B 【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.
6．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…
；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆
22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题
的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛
⎫++=
++ ⎪⎝
⎭，
可知当34x π=-104x π⎛
⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假；
命题:q 直线:0l x y m -+=与圆2
2
:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是
5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22
:(2)(1)8C x y -+-=相切，则
d =
= 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
7．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.
【详解】
因为方程2
2
117x y
m m +=+-表示椭圆，所以1070
17m m m m
+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩
，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
8．已知集合{}2log 1A x x =>，{}
1B x x =≥，则A B =U （） A ．(]1,2 B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．[
)1,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果. 【详解】
由{}{}
2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[
)1,A B ∞=+U ， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
9．已知集合，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 由题意，集合，
，再根据集合的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合
，
，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
10．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈> ③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据四种命题的关系进行判断． 【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确； ③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确． 因此4个命题均正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
11．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故
22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
12．给出如下四个命题：
①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；
②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<； 所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数()2
21f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，
符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()2
21f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-，
故命题“若1a =-，则函数()2
21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数
()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误；
③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；
④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有
sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于
A B π+<，必有2
B A π
π<-≤
，此时有()sin sin sin A A B π-=>；
若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误. 综上，命题③正确. 故选：A. 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
13．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
14．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】
22,0
,0
x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，
所以a b >时，a a b b >，
反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
15．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4
x π
=
”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001
,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当4
x π
=
时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k ππ=+
∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4
x π
=
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以
5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001
,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】
本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
16．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
17．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－3,1)
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1,1)． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知集合{}
2
60A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{}{}
26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
20．已知命题0:(0,)
p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）
A ．q ⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.
【详解】
取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=12
x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】 本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。