上海理工大学高等代数试卷12

上海理工大学

研究生试题

/学年第 1 学期

课程名称：高等代数

教师签章：年月日教研室主任审查意见：

签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。

上海理工大学研究生课程试题* / 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分

一、（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；

（2）某四元二次型有标准形24

232221432y y y y ++-，求其规范形.（15分）

二、化λ－矩阵A(λ)为标准形. （15分）

22221()1A λλλλλ

λλλλλ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝

⎭

三、设12,,,m e e e 是n 维欧氏空间V 的标准正交向量组，

证明：对任意的向量u ∈V ，都有

()2

21,m i i u e u =≤∑.（14分）

四、已知三维线性空间V 有两组基：（Ⅰ）123{,,}e e e ，（Ⅱ）321{,2,3}e e e ---

（1）写出（Ⅰ）到（Ⅱ）的过渡矩阵； （2）若向量α在基（Ⅰ）下的坐标为123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，写出α在基（Ⅱ）下的坐标；

（3）定义线性变换s 为1122331(),()2,()3s e e s e e s e e e ===-，分别写出s 关于基（Ⅰ）、（Ⅱ）的矩阵.

（4）求()s α.（20分）

五、设100010312A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，33{|}W B P AB BA ⨯=∈=， 求W 维数和一组基. （12分）

六、设21,,W W W 是线性空间V 的子空间，,,,212121W W W W W W W W W W +=+=⊆ 证明：21W W =.（12分）

*注：考题全部写在框内，不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。

七、设A 是有限维线性空间V 上的线性变换，如果A A V Im ker +≠， 则{}0Im ker ≠A A .（12分）