上海理工大学高等代数试卷12
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上海理工大学
研究生试题
/学年第 1 学期
课程名称:高等代数
教师签章:年月日教研室主任审查意见:
签章:年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题* / 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分
一、(1)实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类;
(2)某四元二次型有标准形24
232221432y y y y ++-,求其规范形.(15分)
二、化λ-矩阵A(λ)为标准形. (15分)
22221()1A λλλλλ
λλλλλ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝
⎭
三、设12,,,m e e e 是n 维欧氏空间V 的标准正交向量组,
证明:对任意的向量u ∈V ,都有
()2
21,m i i u e u =≤∑.(14分)
四、已知三维线性空间V 有两组基:(Ⅰ)123{,,}e e e ,(Ⅱ)321{,2,3}e e e ---
(1)写出(Ⅰ)到(Ⅱ)的过渡矩阵; (2)若向量α在基(Ⅰ)下的坐标为123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,写出α在基(Ⅱ)下的坐标;
(3)定义线性变换s 为1122331(),()2,()3s e e s e e s e e e ===-,分别写出s 关于基(Ⅰ)、(Ⅱ)的矩阵.
(4)求()s α.(20分)
五、设100010312A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,33{|}W B P AB BA ⨯=∈=, 求W 维数和一组基. (12分)
六、设21,,W W W 是线性空间V 的子空间,,,,212121W W W W W W W W W W +=+=⊆ 证明:21W W =.(12分)
*注:考题全部写在框内,不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印,以便复印。
七、设A 是有限维线性空间V 上的线性变换,如果A A V Im ker +≠, 则{}0Im ker ≠A A .(12分)